Ra´ızes primitivas

Consideremos m um inteiro maior do que 1 e a um inteiro primo com m. Definimos r = ordm(a), a ordem de a m´odulo m, como o menor inteiro r tal que ar ≡ 1 (mod m).

Pelo Teorema de Euler, temos que aϕ(m) _{≡ 1 (mod m). Daqui resulta que a ordem de}

a ´e menor ou igual a ϕ(m), para todo a primo com m.

Defini¸c˜ao 1.2.2 Diz-se que g ´e uma raiz primitiva de m se ordm(a) = ϕ(m).

Notemos que existe uma raiz primitiva m´odulo m se, e s´_{o se, Z}∗_m ´e um grupo c´ıclico. Exemplo 1.2.6 Os n´umeros 2 e 7 s˜ao ra´ızes primitivas de 11, porque ord11(2) = ord11(7) =

ϕ(11) = 10. O n´umero 12 n˜ao tem ra´ızes primitivas. Algumas propriedades de ordm(a):

(i) Se ordm(a) = r, ent˜ao r | ϕ(m).

Pelo algoritmo da divis˜ao, temos ϕ(m) = rq + s, com 0 ≤ s < r. Se s > 0, ent˜ao 1 ≡ aϕ(m) _{≡ a}rq+s _{≡ (a}r₎q_{· a}s _{≡ a}s _{(mod m), com s < r. Isto contradiz a hip´otese}

de ordm(a) = r.

(ii) Se ordm(a) | k se, e s´o se, ak≡ 1 (mod m).

Suponhamos que k = ordm(a)·q+r, com 0 ≤ r < ordm(a). Como ak = aordm(a)·q+r ≡

ar _{(mod m), com r < ord}

m(a), vem que ak ≡ 1 (mod m) equivale a r = 0, ou seja,

ordm(a) | r.

(iii) Se ordm(a) = r e i, j s˜ao inteiros n˜ao negativos, ent˜ao tem-se ai ≡ aj (mod m) se,

e s´o se, i ≡ j (mod r).

Se ai _{≡ a}j _{(mod m) e i > j, ent˜ao tem-se a}i−j _{≡ 1 (mod m), logo r | i − j, ou seja,}

i ≡ j (mod r). Inversamente, se i ≡ j (mod r), ent˜ao ai−j ≡ 1 (mod m), portanto, ai _{≡ a}j _{(mod m).}

(iv) ordm(a) = ϕ(m), ou seja, a ´e um raiz primitiva de m se, e s´o se, {a, a2, . . . , aϕ(m)}

´

(v) Se ordm(a) = r e k ´e um inteiro positivo, ent˜ao ordm(ak) = _(k,r)r .

Seja d = (r, k), k = dq1 e r = dq2, com (q1, q2) = 1. Queremos mostrar que

ordm(ak) = q2. Seja ordm(ak) = s.

Por um lado, aks ≡ (ak₎s _{≡ 1 (mod m), logo r | ks ou dq}

2 | dq1s, ou seja, q2 | q1s.

Como (q1, q2) = 1 vem que q2 | s.

Por outro lado, (ak)q2 _{≡ a}kq2 _{≡ a}dq1q2 _{≡ (a}r₎q1 _{≡ 1 (mod m). Daqui resulta que}

s | q2. Ficou provado que s = q2.

Nota: ak tem a mesma ordem m´odulo m que a se, e s´o se, (k, r) = 1.

Os pr´oximos resultados s˜ao essenciais para enunciar Teorema das ra´ızes primitivas que nos d´a informa¸c˜oes acerca da existˆencia de ra´ızes primitivas para um inteiro m.

Inteiros que tˆem raiz primitiva Dizer que g ´e uma raiz primitiva de m, ´e dizer que ordm(g) = ϕ(m), ou, por outras palavras, que o conjunto

g, g2

, g3, . . . , gϕ(m) ´

e um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m.

Para os inteiros que n˜ao tˆem raiz primitiva n˜ao ´e poss´ıvel escrever os elementos de um sistema reduzido de res´ıduos como potˆencia de um elemento.

Lema 1.2.8 Se k ≥ 3, ent˜ao n˜ao existe nenhuma raiz primitiva m´odulo 2k.

Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar, por indu¸c˜ao sobre n, que para todo o inteiro ´ımpar a, a2n−2 ≡ 1 (mod 2n_{), porque ϕ(n) = 2}n−1_.

Claro que ´e verdade para n = 3. Suponhamos que ´e verdade para n = k, ou seja, para todo o inteiro ´ımpar a, a2k−2 = 2kb + 1 para algum inteiro b. Elevando ambos membros da equa¸c˜ao ao quadrado, obtemos a2k−1

= 2k+1 ₂k−1_b2<sub>+ b
+ 1 ≡ 1 (mod 2</sub>k+1_{), o que}

completa a prova. _

Lema 1.2.9 Se m ≥ 3 e n ≥ 3 s˜ao inteiros primos entre si, (m, n) = 1, ent˜ao n˜ao existem ra´ızes primitivas m´odulo mn.

Demonstra¸c˜ao. Seja d = (ϕ(m), ϕ(m)) e k = [ϕ(m), ϕ(m)]. Por um lado, para todo o inteiro a primo com mn, (a, mn) = 1, pelo Teorema de Euler temos,

ak ≡ 1 (mod m) e ak ≡ 1 (mod n).

Por outro lado, como (m, n) = 1, o Teorema Chinˆes dos Restos implica que

ak ≡ 1 (mod mn). (1.3)

Notando que ϕ(m) e que ϕ(n) s˜ao inteiros pares, temos k = ϕ(m)ϕ(n)_d = ϕ(mn)_d ≤ ϕ(mn)₂ . Logo, a congruˆencia 1.3 implica que n˜ao existem ra´ızes primitivas m´odulo mn. _ Dos dois Lemas anteriores resulta que, se m > 1 ´e um inteiro que tem alguma raiz primitiva, ent˜ao m n˜ao ´e o produto de dois factores, primos entre si e maiores que 2, e nem ´e uma potˆencia de 2 maior que 4.

Os inteiros que podem ter alguma raiz primitiva s˜ao precisamente 2, 4, pα e 2pα, com p primo e ´ımpar e α inteiro positivo.

´

E imediato que 2 tem 1 como raiz primitiva e que 4 tem 3 como raiz primitiva. Resta ver os casos pα _{e 2p}α_.

Primeiro, vamos provar o resultado auxiliar seguinte.

Teorema 1.2.10 (Teorema de Gauss) Se n ´e um inteiro positivo, ent˜ao X

d|n

ϕ(d) = n

Demonstra¸c˜ao. Vejamos primeiro que se d | n, ent˜ao h´a ϕ(n_d) elementos do conjunto S = {1, 2, . . . , n} cujo m´aximo divisor comum com n ´e d.

O subconjunto de S cujos elementos s˜ao divis´ıveis por d ´e S0 = {d, 2d, . . . ,n_dd}. Seja kd ∈ S0. Ent˜ao (kd, n) = (kd,n_dd) = d · (k,n_d). Logo, (kd, n) = d se, e s´o se, (k,n_d) = 1. Ou seja, o n´umero de inteiros existentes em S cujo m´aximo divisor comum com n ´e igual a d, ´e igual ao n´umero de inteiros k que n˜ao excedem n_d e s˜ao primos com n_d. Tal n´umero ´

e ϕ(n_d).

Como cada um dos inteiros de S tem, para m´aximo divisor comum com n, um divisor d de n, ent˜ao n =X d|n ϕn d  .

Mas, temos d | n se, e s´o se, n

d | n, isto ´e, se os divisores positivos de n s˜ao d1, . . . , dt,

ent˜ao os divisores positivos de n s˜ao _dn

t, . . . , n d1. Logo, n = X d|n ϕ(d).  Vejamos que, se p ´e primo, ent˜ao existem ra´ızes primitivas m´odulo p.

Lema 1.2.11 Seja p um n´umero primo ´ımpar e d | p − 1. Ent˜ao h´a ϕ(d) inteiros incon- gruentes m´odulo p, cuja ordem ´e d.

Demonstra¸c˜ao. Seja a ´e um n´umero inteiro. Se ordp(a) = d, ent˜ao pela propriedade

(i) d | p − 1. Consideremos o conjunto S = {a, a2, . . . , ad}, os seus elementos tˆem ordem ordp(ak) = _(k,d)d , para 1 ≤ k ≤ d, pela propriedade (vi). Como ordp(ak) = d se, e s´o se,

(k, d) = 1, se existir um elemento com ordem d, ent˜ao o n´umero de elementos de S cuja ordem ´e igual a d ´e ϕ(d).

Falta provar que se d | p − 1, ent˜ao h´a pelo menos um inteiro a tal que ordp(a) = d.

Sejam d1, d2, . . . , dt todos os divisores de p − 1 e, para cada di, seja ψ(di) o n´umero de

elementos do conjunto R = {1, 2, . . . , p − 1} cuja ordem m´odulo p ´e di. (Todo o elemento

de R ´e primo com p e tem ordem m´odulo p que divide p − 1). Portanto,

t

X

i=1

ψ(di) = p − 1.

Mas pelo Teorema de Gauss 1.2.10, temos

t X i=1 ϕ(di) = p − 1, isto ´e, t X i=1 ψ(di) = t X i=1 ϕ(di). (1.4)

Por outro lado, sabemos que para cada di se tem ψ(di) = 0 ou ψ(di) = ϕ(di). Pela

equa¸c˜ao 1.4, resulta que se tem necessariamente ψ(di) = ϕ(di), para cada di. Caso

contr´ario, ter´ıamos

t X i=1 ψ(di) < t X i=1 ϕ(di).

Logo, h´a ϕ(d) elementos cuja ordem ´e d. _ Em particular, se p ´e primo, o Lema anterior diz que h´a ϕ(p − 1) ra´ızes primitivas de p.

Lema 1.2.12 Seja p ´e um n´umero primo ´ımpar. Ent˜ao existem ra´ızes primitivas g m´odulo p tais que

gp−16≡ 1 (mod p2). (1.5) Demonstra¸c˜ao. Seja g uma raiz primitiva de p tal que gp−1_{≡ 1 (mod p}2_{) e considere-}

mos o inteiro g + p. ´

E claro que o inteiro g + p ´e raiz primitiva de p. Temos

(g + p)p−1 = gp−1+ pgp−2+ p−1₂
p2gp−3+ · · · + pp−1 ≡ 1 − pgp−2 _{(mod p}2_).

Como (g, p) = 1, tem-se que pgp−2 6≡ 0 (mod p2_{) e, consequentemente, (g + p)}p−1 _{6≡ 1}

(mod p2_{). }

Lema 1.2.13 Se g ´e uma raiz primitiva m´odulo pk e

gϕ(pk)6≡ 1 (mod pk+1), (1.6) ent˜ao g ´e uma raiz primitiva m´odulo pk+1_{, e}

gϕ(pk+1)6≡ 1 (mod pk+2).

Demonstra¸c˜ao. Seja n a ordem de g m´odulo pk+1_{. Visto que g}ϕ(pk+1₎

≡ 1 (mod pk+1_),

vem que n | ϕ(pk+1) = pk(p − 1). Por outro lado, gn≡ 1 (mod pk+1_{) implica que g}n _{≡ 1}

(mod pk_{). Como g ´e uma raiz primitiva m´odulo p}k_{, vemos que ϕ(p}k_{) = p}k−1_{(p − 1) | n.}

Portanto, n ´e igual a ϕ(pk) ou ϕ(pk+1).

Mas, pela equa¸c˜ao 1.6 segue que a ordem de g ´e ϕ(pk+1_{), ou seja, g ´e uma raiz primitiva}

m´odulo pk+1. _

Corol´ario 1.2.14 Se p ´e um n´umero primo ´ımpar, ent˜ao para todo k ≥ 1 existem ra´ızes primitivas m´odulo pk.

Corol´ario 1.2.15 Se p ´e um primo ´ımpar, ent˜ao para todo k ≥ 1 existem ra´ızes primi- tivas m´odulo 2pk_.

Demonstra¸c˜ao. Seja g uma raiz primitiva m´odulo pk. Consideremos que g ´e ´ımpar. Seja n = ord_2pk(g). Ent˜ao n | ϕ(2pk) = ϕ(pk).

Por outro lado, gn≡ 1 (mod 2pk_{), o que implica que g}n_{≡ 1 (mod p}k_{). Como g ´e uma}

raiz primitiva m´odulo pk_{, ϕ(p}k_{) | n. Isto implica que n = ϕ(2p}k_{), ou seja, que g ´e uma}

raiz primitiva m´odulo 2pk. _

Finalmente, os resultados anteriores permitem enunciar o Teorema das ra´ızes primiti- vas.

Teorema 1.2.16 (Teorema das raizes primitivas) Seja m um inteiro positivo. Ent˜ao uma raiz primitiva m´odulo m existe se, e s´o se, m ´e igual a 2, 4, pk _{ou 2p}k_{, em que p ´e}

um n´umero primo maior que 2 e k ´e um inteiro positivo.

Seja m um inteiro que tem alguma raiz primitiva g. Pela propriedade (iv), {g, g2_{, . . . , g}ϕ(m)_}

´

e um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m. Se a ´e um inteiro primo com m, ent˜ao existe um, e um s´o, inteiro i tal que

a ≡ gi (mod m), 0 ≤ i ≤ ϕ(m) − 1.

Defini¸c˜ao 1.2.3 Definimos o ´ındice de a com respeito `a raiz primitiva g, denotado indga,

ao menor inteiro n˜ao negativo i tal que a ≡ gi _{(mod m).}

1.2.1.4 Lei da reciprocidade quadr´atica