Raiz Unitária

A principal dificuldade na identificação de um PDE consiste no fato de os correlogramas de um processo de raiz unitária e de outro com raízes próximas a um serem praticamente idênticos.

A alternativa mais imediata seria a de se aplicar diretamente um teste t nas raízes da equação. Por exemplo, num processo AR(1) do tipo:

(11)

Tem-se, sob a hipótese nula, que _{. No caso da hipótese ser rejeitada, a} única conclusão possível é a de que a raiz é estatisticamente diferente zero. Dessa forma, a hipótese nula deveria ser alterada _{, se a intenção é detectar a presença de}

raiz unitária. Contudo, a aceitação dessa hipótese implica que o processo gerador dessa série é . Em tal situação, demonstra-se que a variância de tende ao infinito conforme _{aumenta, o que contraria um dos pressupostos básicos da estimação} por mínimos quadrados, invalidando seus resultados.

Em vista disso, Dickey e Fuller (Dickey e Fuller, 1976), utilizando experimentos de Monte Carlo, desenvolveram um teste capaz de substituir o teste t na detecção da presença de raiz unitária, que recebe o nome de teste _(tau).

Por razões de conveniência e praticidade, o procedimento inicia-se a partir de uma versão modificada da equação (11). Subtraindo de ambos os lados da equação, vem que:

(12)

Agora, testar a hipótese _{equivale a testar se . Outros} modelos igualmente válidos incluem a adição de um termo de drift ( _{e/ou tendência} ( _{. No entanto, os valores críticos dependem da forma da regressão e do tamanho da} amostra utilizada. No caso mais simples da equação acima, aplica-se a estatística _{; na} presença de drift, a ; e na presença de drift e termo de tendência, a .

Noutro estudo, os mesmos autores também propuseram testes conjuntos para os coeficientes dos modelos (Dickey e Fuller, 1981). A hipótese _{pode ser} testada utilizando-se a estatística . A aceitação dessa hipótese implica que o modelo restrito, ou o modelo sem drift, deva ser adotado no lugar do modelo irrestrito, ou com drift. Para testar o modelo completo (com drift e tendência) contra o modelo simples, isto é, , utiliza-se a estatística ; já contra o modelo com drift, isto é, , utiliza-se a estatística .

Além destes, o presente trabalho igualmente faz uso de testes de coeficientes condicionados à presença de uma raiz unitária ( _{. No modelo completo, as} estatísticas e avaliam a presença dos termos de drift e tendência, respectivamente. No modelo com drift, a estatística avalia a presença deste termo.

Muitas vezes a especificação dos modelos mostra-se inadequada para a realização do teste DF. Isto ocorre quando os termos de erro não apresentam uma distribuição do tipo ruído branco. Para sanar o problema, são acrescentados termos defasados em primeira diferença, como segue:

(13)

O número de termos defasados pode ser determinados por testes de especificação como AIC e BIC. O procedimento mais recomendado, contudo, consiste em aplicar os testes t e F num modelo com um grande número de defasagens e ir reduzindo gradativamente esse número até encontrar um coeficiente significativo. Após isso, são efetuados testes de diagnóstico para verificar se os resíduos apresentam

distribuição ruído branco. Quando aplicado neste formato, o teste é chamado de teste aumentado de Dickey-Fuller (ADF). As estatísticas dos testes DF e ADF têm a mesma distribuição assintótica, de maneira que os valores críticos continuam os mesmos.

Seleção dos Termos Determinísticos no Teste ADF

No parágrafo anterior, foi apresentado um método para a determinação do número de defasagens a ser incluídas no teste ADF. A questão agora recai sobre a inclusão dos termos de drift e/ou tendência. Uma inapropriada especificação com relação a esses termos pode levar o poder do teste (definido como a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa) a zero, enviesando fortemente as estimativas do coeficiente _{, o que compromete as conclusões sobre a presença de raiz unitária. O} problema central resume-se a que “os teste de raiz unitária estão condicionados à presença dos regressores determinísticos, e os testes para os regressores determinísticos estão condicionados à presença da raiz unitária” (Enders, 1995, p.255).

É evidente que, realizados os testes para os três tipos de especificação (com drift, com tendência e sem ambos), um resultado simultâneo positivo para a presença de raiz unitária, por exemplo, é garantia suficiente para a aceitação dessa hipótese, uma vez que um dos modelos estará corretamente especificado. Contudo, não pode haver qualquer decisão quando ao menos um dos resultados diferir dos demais.

Em razão disso, optou-se, no presente trabalho, por privilegiar os resultados oriundos do teste ADF conforme o procedimento exposto a seguir, em detrimento de outros testes de raiz unitária como Phillips-Perron (PP) ou Kwiatkowski-Phillips- Schmidt-Shin (KPSS). Estes também são empregados aqui e apresentam algumas vantagens com relação ao ADF, como se verá adiante. No entanto, os resultados foram inconclusivos na maioria das séries analisadas, justamente por diferirem dependendo da especificação adotada.

Abaixo expõe-se uma tabela sintética. A descrição completa do procedimento pode ser encontrada em Enders (1995). Basicamente, constitui-se de sucessivas regressões iniciando do modelo mais completo (com drift, tendência e número de defasagens selecionado pelo critério AIC e BIC). A partir deste, realiza-se o teste de raiz unitária. O poder do teste em rejeitar _{é muito baixo, e caso isto ocorra a} conclusão de ausência de raiz unitária é muito segura. Se, pelo contrário, o resultado desse teste for de aceitação da hipótese nula, então o próximo passo consiste no teste dos termos determinísticos. O modelo selecionado será aquele em que os termos de drift e/ou tendência forem significantes na aplicação dos testes condicionais ( . Em

caso de rejeição do regressor, um novo modelo sem a sua presença é estimado, reiniciando o processo. A fim de reforçar as conclusões encontradas, os testes conjuntos de significância também são empregados ( . Tais testes são construídos exatamente da mesma maneira que os testes-F comuns:

(13A)

Onde,

SQR = soma dos quadrados dos resíduos r = número de restrições

T = número de observações

k = número de parâmetros estimados no modelo irrestrito

Uma observação: devido ao fato das distribuições de Dickey-Fuller e convergirem para a normal, esta será aplicada em alguns testes de raiz unitária. Tabela 1: Procedimento para a seleção dos termos determinísticos

Estimar Não Conclusão: não há raiz unitária Sim: testar a tendência Não dado que Não utilizando dist. Normal? Sim Conclusão: há raiz unitária Sim Estimar Não Conclusão: não há raiz unitária

Sim: testar o drift

Não dado que Não utilizando dist. Normal? Sim Conclusão: há raiz unitária Sim Estimar Não Sim

Não há raiz unitária Há raiz unitária

Teste para mais de uma raiz unitária

Na maioria das séries econômicas que apresentam tendência estocástica, uma diferenciação é suficiente para torná-las estacionárias, ou seja, contêm apenas uma raiz unitária. Casos de duas raízes unitárias são mais raros, e de três, raríssimos. Dickey e Pantula (1989) desenvolveram uma extensão do teste DF para checar essas situações. Como o presente trabalho lida com um grande número de variáveis, optou-se por aplicar também este teste. Inicia-se testando a hipótese nula de três raízes unitárias através do modelo:

Os valores críticos são os mesmos do teste ADF, e o teste é efetuado sobre o coeficiente . A hipótese alternativa considera a presença de duas raízes unitárias. No caso de rejeição da hipótese nula, um novo teste é aplicado, desta vez com duas raízes na hipótese nula e uma na hipótese alternativa. O modelo aplicado é o que segue:

O coeficiente avaliado é . Finalmente, para testar a hipótese de uma raiz unitária contra a estacionariedade da série, é utilizado o modelo mais extenso levando em consideração o coeficiente :

Os testes PP e KPSS

Uma hipótese fundamental dos testes DF é a de que os termos de erro seguem uma distribuição do tipo ruído branco. Para atingir este objetivo, aplica-se a versão aumentada do teste, incluindo defasagens em primeira diferença até que os resíduos sejam não autocorrelacionados com média e variância condicionais constantes.

Phillips e Perron (1988) desenvolveram um teste que permite relaxar esta hipótese, validando os resultados qualquer que seja a distribuição dos resíduos. Com isso, o teste PP também possui a vantagem de dispensar uma precisa especificação ARIMA, como se exige do teste DF, sendo seus resultados independentes do número de defasagens empregado. Vale destacar que, por construção, o teste DF é um caso particular do teste PP, quando a variância dos resíduos equivale à variância dos resíduos de longo prazo. Justamente no cálculo desta última surgem problemas de distorção ligados ao tamanho da amostra, que podem ser minimizados pela ponderação das observações através de uma função conhecida como função janela e da determinação de uma banda de truncagem. No pacote do EViews, emprega-se como procedimento padrão a janela de Bartlett e o critério de Newey-West (1994) para delimitação da banda (Bueno, 2008).

Outra dificuldade ao se empregar o teste DF é o seu baixo poder. A intenção dos autores neste estudo (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin, 1992) seria a de complementar os testes tradicionais nas situações em que a identificação da raiz unitária não é muito clara. Difere dos demais ao propor a hipótese nula de estacionariedade com ou sem a presença de termos determinísticos.