RAST CUSUM

Uma proposta apresentada por Sego, Reynolds e Woodall (2009) foi o monitora- mento de tempos de sobrevivência levando em consideração as covariáveis associadas a cada indivíduo, o que acarreta em uma verossimilhança para cada indivíduo através de um MTFA. A ideia principal que propõe a realização de testes da razão de verossimilhanças para cada indivíduo, considerando o parâmetro monitorado fora de controle e sob controle, para medir quão verossímel é admitir que o processo está sob controle, com base nas informações daquele indivíduo. O gráfico CUSUM Ajustado ao Risco proposto por Sego et al. (2009) (RAST CUSUM) é dado da seguinte forma:

Define-se L(θ|ri) como a verossimilhança do i-ésimo indivíduo, em que θ um vetor de parâmetros e ri representando as características do indivíduo i , isto é, o tempo

observado, indicador de falha ou censura e covariáveis. Um modelo ajustado ao risco para os dados históricos é usado para predizer θ0 para cada novo paciente no estudo. No estado

de controle, espera-se que θ seja igual a θ0. O modelo ajustado ao risco é escrito abaixo:

θ0 = g(Ψ,Ui),

sendo Ui um vetor de covariáveis que reflete os fatores de risco para o i-ésimo paciente e Ψ um vetor de parâmetros de regressão correspondentes. A forma básica do gráfico é dada por:

Z0 = 0

Zi = max(0,Zi−1+ Wi), i = 1,2, . . . (3.3) sendo Zi a estatística CUSUM que acumula a cada nova observação na amostra uma contribuição do indivíduo que está descrito como Wi, o escore CUSUM. Um alarme é sinalizado quando Zi > h, sendo h o limite de controle. O escore CUSUM é dado por:

Wi = log " L(ξi1|Di) L(ξi0|Di) # (3.4)

Sego, Reynolds e Woodall (2009) citam os estudos de Steiner et al. (2000) nos quais o gráfico CUSUM é considerado para uma variável aleatória com distribuição Bernoulli,

que indica se o indivíduo sobrevive mais que 30 dias após a cirurgia ou não. Os autores propõem um modelo de regressão logística para estimar as chances de cada indivíduo sobreviver mais que 30 dias.

Sego, Reynolds e Woodall (2009) compararam a performance do RAST CUSUM com o RA Bernoulli CUSUM usando dados de cirurgia cardíaca. As comparações mostraram que o RAST é mais eficiente na detecção de um aumento repentino na chance de mortalidade do que o RA Bernoulli, especialmente quando a porcentagem de censura é relativamente baixa ou quando ocorre um pequeno aumento na chance de mortalidade.

Gráfico RAST CUSUM Weibull

Para o caso em que T ∼ W eibull(λ,α) o modelo de tempo de falha acelerado é da forma:

log(T ) = µ + γ0X + σV, (3.5)

em que α = 1/σ e λ = exp(µ) são os parâmetros de forma e escala de T ignorando a presença de covariáveis, γ é um vetor de coeficientes de regressão e V segue uma distribuição valor extremo padrão. Dessa maneira, tomando β = −γ, a função de sobrevivência condicionada as covariáveis do indivíduo i é dada por:

S(ti|xi) = exp ( − " tiexp(β0Xi) λ #α) . (3.6)

Com o processo sob controle, consideramos que o parâmetro de forma é constante e o parâmetro de escala assume valor λ0, ambos estimados a partir de dados históricos,

e tem-se interesse em detectar uma mudança de λ0 para λ1 = ρλ0 à medida que novos

indivíduos são observados. O escore CUSUM para este caso é da seguinte forma:

Wi = (1 − ρ−α)

tiexp(β0Xi)

λ0

!α

− δiαlog(ρ) (3.7)

Gráfico RAST CUSUM Log-logístico

Para o caso em que T ∼ log − logistica(λ,α) o modelo de tempo de falha acelerado aparece de forma quase idêntica ao caso Weibull, com a diferença de que a distribuição da variável V é logística padrão. A função de sobrevivência condicionada as covariáveis é dada por: S(ti|Xi) = " 1 + tiexp(β 0_X i) λ !α#−1 (3.8)

e o escore CUSUM obtido é finalmente descrito por: Wi = −αδilog(ρ1) + 2δi ( log " 1 + tiexp(β 0_x i) λ0 !α# − log " 1 + tiexp(β 0_X i) ρ1λ0 !α#) . (3.9)

Um estudo de simulação foi realizado em OLIVEIRA (2013) com o propósito de compreender o método do uso do RAST CUSUM apresentado por Sego (2006). Para o modelo Weibull foram fixados valores de controle para µ e σ e consideradas duas covariáveis (idade e sexo) associadas ao vetor de parâmetros de regressão γ, também previamente

fixado.

O RAST CUSUM também foi aplicado, por OLIVEIRA (2013), para o modelo log-logístico com dados simulados considerando n0 = n1 = 100; λ = 40; α = 8; ρ = 0,7

e γ = (−0; 0,1; 0,5). Nesta simulação, o objetivo era detectar uma redução de 30% no parâmetro λ. O gráfico para este caso mostrou-se eficiente, já que não demorou a ultrapassar o limite de controle. Foi realizada outra simulação mudando apenas a redução no parâmetro

λ de 30% para 10% (ρ = 0,9) e era esperado que a detecção fosse mais demorada, devido

ao pequeno desvio. Entretanto, o gráfico mostrou-se eficaz na detecção até neste caso, demorando em torno de 10 observações apenas.

Como comentado anteriormente neste trabalho, usa-se o limite de controle como sendo h = 5, como convenção. Uma outra proposta de estudo que surge é encontrar uma forma de determinar esses limites de acordo com a distribuição da estatística CUSUM. Como não sabemos a distribuição da estatística, não temos como obter um quantil de forma analítica. Para este caso é possível a utilização de métodos de reamostragem como o bootstrap e o jackknife. Neste contexto de variáveis com distribuição livre, Gandy e Kvaløy (2013) propuseram limites de controle ajustados para tratar de erro de estimação, obtidos através do bootstrap.

Como uma adaptação do algoritmo descrito em Gandy e Kvaløy (2013), LIMA (2015) propõe uma forma simples de aplicar limites de controle no contexto do RAST CUSUM. Foram feitas simulações para estimar o limite de controle via bootstrap e também para avaliar o desempenho do gráfico de controle com os limites simulados. O desempenho do gráfico utilizando esses limites foi satisfatório, entretanto, notou-se outro aspecto que influencia e que quando utiliza-se dados reais não se tem ao certo a verdadeira magnitude da mudança. O autor percebeu e apresentou uma técnica que ajuda a identificar a real mudança ocorrida, avaliando apenas o número médio de amostras até o sinal (NMA) e o coeficiente de correlação calculado entre os valores da estatística e os tempos do calendário em que foram registrados ao evento. A ideia para identificar a verdadeira magnitude da mudança de um processo em um conjunto de dados em que desejamos fazer um monitoramento retrospectivo é analisar os gráficos de controle para diferentes valores

de ρ0. A verdadeira magnitude da mudança será considerada como o valor de ρ para o

qual o gráfico apresentar uma forte tendência.

OLIVEIRA (2013) e LIMA (2015) aplicaram o RAST CUSUM para dados reais e verificaram que ele é eficiente na detecção de pequenas mudanças, como era esperado para um gráfico CUSUM.