A razão de semelhança entre áreas

Esta atividade consta de pares de figuras planas de mesma forma. Os alunos foram orientados a indicarem as dimensões das figuras menores e ao lado de cada figura havia outra da mesma forma, porém ampliada. A partir das dimensões das figuras menores escolheram um fator de multiplicação objetivando ampliar igualmente cada uma destas dimensões garantindo assim a semelhança entre as figuras. Em seguida calcularam as áreas de cada figura e a razão entre a maior área e a menor. Na seqüência calcularam a área maior em função da menor, escrevendo em forma de potência o número de vezes que a maior excedia a menor. Vejamos, por exemplo, os procedimentos de um dos grupos, para o retângulo (Figura 11).

Figura 11: Retângulos semelhantes Fonte: Elaborada pelo autor, 2006

Como se pode observar esta atividade não esteve ancorada nos conceitos subsunçores até aqui utilizados. Como os alunos não haviam estudado especificamente semelhança, fizemos discussões sobre as peculiaridades de figuras semelhantes como forma, ampliação, redução etc., que foi suficiente para realização da atividade.

Os conceitos de razão e proporcionalidade já eram do conhecimento dos alunos e a partir destas idéias relevantes menos inclusivas foi possível concluirmos a tarefa. Para Ausubel, realizou-se assim uma aprendizagem superordenada, pois foram utilizadas as idéias particulares menos inclusivas numa seqüência de modo a desencadear uma nova relação matemática de acordo com os princípios da diferenciação progressiva, e da reconciliação interativa. Isto quer dizer que os significados dos novos conceitos e proposições foram apresentados de forma clara, e diferenciáveis, a trama de conhecimentos aprendidos desta forma permanece integrada e com pouca ou nenhuma contradição e, portanto, é viável para assimilação e retenção dos conceitos.

Dando seqüência na atividade os grupos realizaram o mesmo procedimento para o quadrado e o triângulo, vejamos como procederam duas das equipes (Figura 12).

Figura 12: Triângulos semelhantes Fonte: Elaborada pelo autor, 2006

Isto mostra que os significados dos novos conceitos e proposições foram apresentados de forma clara, e diferenciáveis, e a trama de conhecimentos aprendidos desta forma permanece integrada e com pouca ou nenhuma contradição e, portanto, é viável para assimilação e retenção dos conceitos.

A última figura é um círculo de raio unitário e ao lado outro círculo de raio escolhido pelos grupos, que de imediato não obtiveram êxito na resolução. Por conseguinte interferimos na atividade, alertando que observassem as questões anteriores a fim de perceberem que a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, e o fator de multiplicação que ampliava o círculo de raio unitário era o próprio raio do círculo, escolhido por eles. Recordando que a área do círculo unitário já havia sido estimada em atividades anteriores. Tomando como referência o mesmo grupo da atividade anterior obtivemos (Figura 13):

Figura 13: Semelhança dos círculos Fonte: Elaborada pelo autor, 2006

As tentativas de quadrar o círculo estão ligadas diretamente com o cálculo do “π”, relatamos aos discentes que o valor que encontramos para a área do círculo unitário é representado pela letra do alfabeto grego “π”. Destacamos algumas informações sobre a constante π, que fornecemos a turma a nível de comentário.

Vimos que no Egito, foi atribuído ao π um valor próximo de 3,16 e na Babilônia somente 3, mas é bom saber que π, além de representar a área do círculo unitário, também indica o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e

seu diâmetro. Podemos também obter um aproximação para π calculando os perímetros dos hexágonos regulares inscritos e circunscritos, em um círculo de raio unitário. Por aplicações sucessivas desse processo, podemos calcular os perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos de doze, vinte e quatro, quarenta e oito, e noventa e seis lados e, dessa forma, obter limites cada vez mais próximos de π. Foi isso que essencialmente fez Arquimedes, chegando a conclusão de que π está entre 223/71 e 22/7 (EVES, 2004).

É uma das mais antigas constantes matemáticas que se conhece. Apesar disso, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas; com efeito, π é um dos poucos objetos estudados pelos povos da Antiguidade, há mais de 2000 anos, que ainda continua sendo pesquisado. Muitos foram os matemáticos que dedicaram parte de suas vidas ao seu cálculo. A simbologia atual foi aceita após ser utilizado pelo matemático Leonardo Euler em 1737 (EVES, 2004).

Mostramos que a dificuldade de se calcular π era devido a sua irracionalidade, isto é não poder ser expresso como uma fração entre números inteiros. A prova da irracionalidade de π veio só com Lambert, em 1761 (EVES, 2004).

Atualmente, já se calculou π com bilhões de casas decimais, com auxílio de computadores. Mostramos que a maioria das calculadoras científicas possuem uma tecla que mostra o π com várias casas decimais.

A atividade de semelhança foi realizada, a fim de determinarmos a fórmula da área do círculo e para isso precisamos reconciliar as atividades anteriores ancorando os procedimentos em conceitos já subsumidos como o da área do círculo unitário.

Durante o processo de assimilação dos conceitos, os aprendizes entraram em contato com os atributos essenciais dos novos conceitos e relacionaram esses atributos a idéias relevantes estabelecidas na estrutura cognitiva. Nesta etapa os alunos se encontram em uma fase de maturidade que lhes permitiu relacionar à estrutura cognitiva os atributos essenciais abstratos das novas idéias genéricas, caracterizando assim a assimilação dos conceitos estudados.

As tarefas nos possibilitaram a construção das fórmulas para os cálculos das áreas em questão de forma significativa e contextualizada. A compreensão das fórmulas se deu por meio da contextualização histórica e de atividades apoiadas na

integrativa, pois a cada momento retomávamos conceitos anteriores identificando

sua semelhança com o novo conceito diferenciando-os. As atividades postas não foram meros exercícios, que induziram o aluno a fixar mecanicamente as fórmulas, pois apresentaram caráter investigativo o que possibilitou aos alunos a valorização do trabalho realizado e tendo compreensão que as fórmulas otimizam o processo de cálculos, evidenciando o valor da utilização destas.

A organização seqüencial das atividades sugeridas proporcionou constantes retomadas de conceitos já subsumidos, de forma que essa diferenciação e reconciliação simultâneas possibilitaram a revisão e a fixação dos conceitos de áreas de figuras planas. Somente depois de toda construção, organização e sistematização das idéias desenvolvidas é que chegamos à definição formal da fórmula da área do círculo. Desta forma, o aluno construiu o conceito estudado sem que tenhamos iniciado o assunto pela apresentação de fórmulas já sistematizadas. Por conseguinte os discentes realizaram uma aprendizagem por descoberta

significativa.

Vale destacar também o tratamento dado aos valores aproximados nas tentativas de determinar a área do círculo, fato este que evidenciou a importância que devemos ter tanto do ponto de vista histórico como do atual a respeito de cálculos estimados. Evidenciando também que o grau de precisão na aproximação não é uma boa medida das realizações matemáticas arquitetônicas, e por este motivo não devemos supor que as obras egípcias apresentavam aproximações grosseiras (BOYER, 2003). A precisão babilônica não é bem inferior à medida egípcia. No entanto a contagem de casas decimais nas aproximações para “π” não é uma medida adequada da estatura geométrica de uma civilização (BOYER, 2003).