O trabalho desta tese est´a dividido em trˆes partes bem delineadas. Na primeira parte (Cap´ıtulo 2), `a otimiza¸c˜ao da opera¸c˜ao de redes de r´adio em malha modelada por um problema de maximiza¸c˜ao da vaz˜ao de dados em tais redes, o PPR, n´os adicionamos um segundo passo, a saber, a minimiza¸c˜ao do uso de mem´oria na rede; essa adi¸c˜ao est´a em concordˆancia com uma linha de pesquisa atual, que busca otimizar os v´arios aspectos da opera¸c˜ao de redes de r´adio em malha, em fun¸c˜ao dos prospectos oferecidos por tais redes. A nossa modelagem da minimiza¸c˜ao do uso de mem´oria de uma solu¸c˜ao do PPR leva a um problema precisamente definido, o PMM; entretanto, n˜ao ´e imediatamente claro que esse problema efetivamente modela o uso de mem´oria na rede durante o funcionamento desta. Por essa raz˜ao, n´os apresentamos uma detalhada fundamenta¸c˜ao para a defini¸c˜ao do PMM, que parte da associa¸c˜ao, a cada solu¸c˜ao vi´avel do problema, de uma descri¸c˜ao precisa da comunica¸c˜ao na rede, o agendamento guloso de rodadas. N´os ent˜ao demons- tramos que o agendamento guloso leva `a vaz˜ao de dados e ao uso de mem´oria esperados com rela¸c˜ao `as solu¸c˜oes do PPR e do PMM a que ele corresponde; al´em disso, n´os mos- tramos que o agendamento guloso ´e “´otimo”, no sentido de que levar `a maior vaz˜ao de dados poss´ıvel, e de que nenhum outro agendamento que leve `a mesma vaz˜ao pode le- var a um menor uso de mem´oria na rede. ´E importante observar que essa estrat´egia de fundamenta¸c˜ao ´e uma adapta¸c˜ao daquela utilizada por Klasing, Morales e P´erennes(2) para fundamentar a defini¸c˜ao do PPR; a nossa contribui¸c˜ao, nesse aspecto, come¸ca pela verifica¸c˜ao de que o agendamento por eles utilizado nem sempre faz uso ´otimo de mem´oria na rede, o que motivou a defini¸c˜ao de uma outra estrat´egia de agendamento —a estrat´egia “gulosa”— e a demonstra¸c˜ao da otimalidade dessa estrat´egia.
Em seguida `as precisas defini¸c˜ao e fundamenta¸c˜ao do PMM, n´os procedemos ao estudo da dificuldade do problema. O nosso primeiro resultado nesse sentido foi a verifica¸c˜ao de que, dos dois aspectos combinat´orios da solu¸c˜ao do problema, um deles, a aloca¸c˜ao do envio dos pacotes gerados por cada v´ertice `as rodadas de transmiss˜oes, pode ser solu- cionado de forma ´otima e em tempo linear em fun¸c˜ao de uma solu¸c˜ao qualquer para o outro aspecto, a ordena¸c˜ao das rodadas de transmiss˜oes. Em consequˆencia disso, n´os ob- tivemos uma simplifica¸c˜ao do PMM, o POR; este ´ultimo problema, embora corresponda ao primeiro de forma precisa, ´e mais simples de se definir, e tamb´em mais favor´avel `a otimiza¸c˜ao, por se tratar simplesmente de um problema de permuta¸c˜ao. Em seguida, por
redu¸c˜ao a partir de outro problema de permuta¸c˜ao, o problema CICLO HAMILTONI- ANO, n´os demonstramos que o POR ´e NP-dif´ıcil; a nossa demonstra¸c˜ao se aplica ao caso de dois modelos de interferˆencia simples (embora n˜ao necessariamente realistas, mas em todo caso utilizados na literatura), e vale mesmo quando s˜ao impostas algumas restri¸c˜oes sobre a entrada do problema, como, por exemplo, a rede ter que ser representada por um grafo bipartite; a demonstra¸c˜ao se aplica ainda `a varia¸c˜ao do POR em que se busca minimizar o m´aximo uso de mem´oria de um v´ertice da rede, ao inv´es da soma do uso de mem´oria de todos os v´ertices.
A primeira parte desta tese termina com a apresenta¸c˜ao de uma formula¸c˜ao de pro- grama¸c˜ao inteira mista, obtida pelo colega Cr´ıston Souza em colabora¸c˜ao conosco, para uma generaliza¸c˜ao do POR, o problema SMSP. A ideia da defini¸c˜ao do problema SMSP ´e modelar a minimiza¸c˜ao do uso de mem´oria de uma solu¸c˜ao do PPR com base exclusiva- mente na informa¸c˜ao do uso de mem´oria de cada v´ertice da rede em cada ordena¸c˜ao das rodadas de transmiss˜oes, sem levar em considera¸c˜ao as demais informa¸c˜oes contidas na entrada do POR, a saber, a rede, a demanda de comunica¸c˜ao e o modelo de interferˆencia. De fato, como n´os n˜ao conseguimos tirar proveito das informa¸c˜oes adicionais da entrada do POR durante a elabora¸c˜ao de algoritmos para esse problema, os nossos esfor¸cos no sentido da obten¸c˜ao de algoritmos foram direcionados para o caso mais geral do problema SMSP. Novamente com rela¸c˜ao `a formula¸c˜ao obtida, n´os acrescentamos que ela ´e dire- tamente adapt´avel `a varia¸c˜ao de “m´aximo” (ao inv´es da vers˜ao original de “soma”) do problema SMSP.
Na segunda parte desta tese, com vistas `a obten¸c˜ao de heur´ısticas para o problema SMSP, n´os buscamos uma implementa¸c˜ao para aquela que denominamos “opera¸c˜ao de inser¸c˜ao ´otima para matrizes” (➜3.1). N´os mostramos que, por meio de uma extens˜ao simples do algoritmo de Kadane, essa opera¸c˜ao pode ser implementada de forma a executar em tempo Θ(m ⋅ n2) (➜3.2), mas avaliamos ser esse custo excessivamente alto. N´os ent˜ao
buscamos uma implementa¸c˜ao eficiente para essa opera¸c˜ao, e, para facilitar a solu¸c˜ao dos diferentes aspectos do problema, n´os o abordamos em trˆes passos: primeiramente, a vers˜ao unidimensional e n˜ao-circular do problema; em seguida, a sua vers˜ao bidimensional e n˜ao- circular; por fim, a sua vers˜ao bidimensional circular (➜3.3). Essa divis˜ao de aspectos provou ser bastante proveitosa, tendo levado a trˆes algoritmos originais, cada um deles uma generaliza¸c˜ao do anterior (9,10, 11).
O mais geral dos algoritmos que n´os obtivemos na segunda parte do trabalho responde consultas sobre opera¸c˜oes de inser¸c˜ao numa sequˆencia A de n n´umeros reais quaisquer. Primeiramente, ´e realizado sobre A um passo de pr´e-processamento, que leva tempo Θ(n) e produz v´arios dados auxiliares sobre a sequˆencia. Ap´os esse passo preliminar, o nosso algoritmo recebe como entrada quaisquer x∈ R e p ∈ [0 .. n], e ent˜ao computa MS(A(x→p))
ou MCS(A(x→p)) em tempo de pior caso O(1). Uma das consequˆencias desse algoritmo ´e que a opera¸c˜ao de inser¸c˜ao ´otima para matrizes pode ser implementada de forma a
executar em tempo linear. Al´em disso, dada a generalidade do tipo de consulta respondida por esse algoritmo, e dada a variedade de aplica¸c˜oes dos conceitos de subsequˆencia e submatriz de soma m´axima, n´os consideramos plaus´ıvel que outras aplica¸c˜oes para esse algoritmo sejam encontradas futuramente.
O nosso ´ultimo resultado na segunda parte do trabalho foi a estrutura de dados “fila de m´aximo”, uma mistura de fila e lista de prioridades na qual:
1. Todo elemento tem uma chave real a ele associada.
2. Os elementos s˜ao removidos na mesma ordem em que s˜ao inseridos (e n˜ao pelos valores das suas chaves).
3. ´E poss´ıvel consultar (sem remover) o elemento de maior chave; caso haja mais de um m´aximo, a consulta retorna, dentre eles, aquele que foi inserido primeiro. 4. A opera¸c˜ao de inser¸c˜ao recebe como argumentos n˜ao apenas uma nova chave e os
seus dados-sat´elite, mas tamb´em um n´umero real d, que ´e somado `as chaves de todos os elementos da estrutura antes de a nova chave ser inserida.
Na fila para m´aximo, as opera¸c˜oes de inicializa¸c˜ao, consulta e remo¸c˜ao executam em tempo O(1) no pior caso, e a opera¸c˜ao de inser¸c˜ao executa em tempo amortizado O(1); consequentemente, qualquer conjunto de m opera¸c˜oes partindo de uma estrutura vazia pode ser realizado em tempo de pior caso O(m).
Na terceira e ´ultima parte desta tese, n´os utilizamos os algoritmos obtidos na se- gunda parte para compor uma implementa¸c˜ao da meta-heur´ıstica GRASP para o pro- blema SMSP. Foram realizados experimentos para a escolha das melhores combina¸c˜oes de parˆametros e algoritmos para a meta-heur´ıstica. Al´em disso, a qualidade das solu¸c˜oes ge- radas pela meta-heur´ıstica foi avaliada para dois tipos de instˆancia (aleat´orias e “dif´ıceis”) e para as duas varia¸c˜oes do problema SMSP (soma e m´aximo). Nos experimentos com instˆancias pequenas, a nossa implementa¸c˜ao do GRASP encontrou solu¸c˜oes em geral igual- mente boas ou de qualidade pr´oxima daquelas que o otimizador CPLEX obteve com a garantia de otimalidade; al´em disso, as evidˆencias s˜ao de que, `a medida em que o tamanho das instˆancias aumenta, a utiliza¸c˜ao da meta-heur´ıstica ´e prefer´ıvel em rela¸c˜ao `a solu¸c˜ao direta da formula¸c˜ao de programa¸c˜ao inteira mista do problema. Nos experimentos com instˆancias maiores, particularmente com rela¸c˜ao `as instˆancias “dif´ıceis”, ficou indicado que a raz˜ao entre o valor da solu¸c˜ao retornada pela meta-heur´ıstica e o valor do limite inferior dispon´ıvel cresce juntamente com o aumento da dimens˜ao da instˆancia. Por outro lado, tamb´em h´a evidˆencias de que, no caso das instˆancias dif´ıceis, a raz˜ao entre o valor da solu¸c˜ao inicial fornecida como entrada para a meta-heur´ıstica e o valor da solu¸c˜ao por esta retornada cresce com o aumento do tamanho das instˆancias. N´os conclu´ımos que resultados adicionais s˜ao necess´arios para a devida avalia¸c˜ao da qualidade das solu¸c˜oes
obtidas pela meta-heur´ıstica, bem como para a determina¸c˜ao da quantidade adequada de tempo a ser fornecida ao algoritmo.
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E importante destacar que o trabalho da terceira parte desta tese demonstra a apli- cabilidade dos resultados te´oricos apresentados na segunda parte da tese. Nesse sentido, observe que os algoritmos de consulta descritos em➜3.3 s˜ao o cerne da eficiˆencia da busca local da nossa implementa¸c˜ao do GRASP. De forma semelhante, parte dos resultados te´oricos descritos em ➜3.4 sobre a vers˜ao escalar e n˜ao-circular do problema SMSP foram utilizados para a obten¸c˜ao de uma heur´ıstica gulosa para o GRASP e de um limite inferior para o valor de solu¸c˜oes ´otimas do problema SMSP.
Por fim, ressaltamos que a implementa¸c˜ao que realizamos tamb´em ´e importante por fornecer evidˆencias da efic´acia da solu¸c˜ao algor´ıtmica aqui apresentada para o problema ORDENAC¸ ˜AO DE RODADAS introduzido no in´ıcio da tese. N´os acreditamos que a abordagem proposta, que consiste na utiliza¸c˜ao da meta-heur´ıstica GRASP e diversas heur´ısticas e procedimentos associados a opera¸c˜oes de inser¸c˜ao, pode ser refinada de forma a levar a bons resultados para o problema. Al´em disso, ´e importante ressaltar que, embora a nossa implementa¸c˜ao do algoritmo de subida de colina n˜ao garanta a propriedade a seguir,1 ´e imediato modificar a implementa¸c˜ao de forma que, quando a
busca que utiliza a estrat´egia de sele¸c˜ao circular de colunas retorna, a matriz retornada possua a propriedade de n˜ao poder ser melhorada pelo reposicionamento de nenhuma das suas colunas individualmente. N´os acreditamos que a explora¸c˜ao dessa propriedade e outras semelhantes pode ser ´util na busca por algoritmos aproximativos para o problema.