No presente trabalho realizou-se a reconstrução de imagens de ressonância magnética baseada na técnica de retroprojeção das imagens de tomografia computadorizada, a partir de uma imagem de ressonância magnética de resolução espacial de 256x256 mostrada na fig.(7.08a). Dois vetores de projeção foram utilizados 𝐏M I_ a e 𝐏M , sendo o primeiro determinado pela transformada de Radon, eq.(6.08), e o segundo pela representação matricial desta equação, 𝐏M I = 𝐅. O vetor 𝐏M I_ a foi determinado como na metodologia usual de imagens de TC, ou seja, utilizou-se a transformada de Radon com 181 ângulos, =
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posições de pixels, = , resultando em um vetor de projeção com 257 posições. Para o seu cálculo, primeiramente determina-se o kernel pela atribuição dos valores um ou zero aos pixels que contribuem ou não para a formação da projeção, conforme a metodologia discutida no capítulo anterior. A recuperação da imagem de ressonância por inversão direta pela transformada de Fourier também foi feita para fins de comparação. Esses resultados encontram-se na fig.(7.08).
Figura 7.08 – a) Imagem de RMN com resolução espacial 256x256, b) o seu kernel, c,d) o espaço k, e,f) suas projeções 𝐏 _ sem e com a adição de 10% de erro, respectivamente.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
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resultou em uma matriz 257x256 com cond = , e posto 256 caracterizando-a como uma matriz mal condicionada. As características dessas matrizes já foram explicadas neste trabalho, mas vale ressaltar que ao inverter esse tipo de matriz seus valores são amplificados com relação à matriz original. Dessa forma, a solução do problema 𝐅 = − 𝐏 nem sempre é adequada. Para resolver esse problema e recuperar a imagem de RMN, metodologias robustas como o SVD e Rede Neural de Hopfield são necessárias. Os resultados da reconstrução da imagem de RMN foram obtidos através da inversão direta pela transformada de Fourier, pela retroprojeção utilizando a transformada de Radon, o SVD e a rede neural de Hopfield como mostra a fig.(7.09).
A fig.(7.09a) apresenta o resultado da inversão direta da imagem de ressonância utilizando a transformada de Fourier, com norma da diferença entre a solução encontrada e a imagem original de ‖𝐅 _𝐅𝐅 − 𝐅‖ = , . Essa diferença pode ser observada na perda de nitidez nas bordas do cérebro bem como a diminuição do contraste da imagem reconstruída. Erros de 10% foram adicionados ao espaço k na tentativa de simular erros de medidas experimentais e a imagem recuperada é apresentada na fig.(7.09b) com ‖𝐅 _𝐅𝐅 _ − 𝐅‖ =
, x . Esses resultados mostram a sensibilidade dos dados pertencentes ao espaço k frente às pequenas alterações, demonstrando assim a ineficácia da inversão direta.
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Figura 7.09 – Imagens de RMN com resolução espacial de 256x256 reconstruídas pela a,b) IF, c,d) BFP com filtro Ram-Lak, e,f) SVD e g-l) Rede Neural de Hopfield sem e com adição de 10% de erro na projeção da imagem.
Erro P Fourier BFP SVD Rede Neural de Hopfield
F exato 10% Erro em 𝐅 Valores Nulos
0%
(a) (c) (e) (g) (i) (k)
10%
(b) (d) (f) (h) (j) (l)
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Os resultados obtidos pela reconstrução da imagem de RMN utilizando o algoritmo BFP foram melhores que os resultados obtidos pela inversão direta, ‖𝐅 _ − 𝐅‖ = , . Porém, observam-se borrões nas bordas da parte clara da imagem e contraste bem diminuído, o que dificulta sua visualização adequada, fig.(7.09c-d). Erros de 10% foram adicionados no vetor 𝐏 _ e resultados semelhantes foram encontrados tendo ‖𝐅 _ _ − 𝐅‖ = , , mostrado na fig.(7.09h). Vale ressaltar que junto com o
algoritmo BFP utilizou-se o filtro Ram-Lak; dessa forma a adição de filtros não resolveu o problema de mal condicionamento do kernel da matriz conforme já discutido nos capítulos anteriores. Além disso, a adição de mais filtros também não resolveria o problema, só propagaria o erro.
As fig.(7.09e,f) apresentam as imagens reconstruídas de RMN com resolução espacial 256x256 usando o algoritmo SVD com truncamento no posto da matriz e com os dados de projeção 𝐏 _ . Os erros residuais são mostrados nas fig.(7.10a) em função da coluna reconstruída, indicando que a solução encontrada representa uma excelente solução numérica do problema. Já o resultado para a norma da diferença entre a solução encontrada e a imagem original em função da coluna da imagem de ressonância magnética 256x256 encontra-se na fig.(7.11a), e informa que a solução encontrada pode ser considerada apenas como uma solução de mínimo local. Como pode ser observado na f.(7.09e), a imagem reconstruída apresenta-se desfocada com em relação à imagem original, fato esse representado pela diminuição do contraste da imagem. A norma da solução também é apresentada na fig.(7.12a). Erros aleatórios de 10% foram adicionados e os resultados foram similares conforme mostram as fig.(7.10b-7.12b).
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Figura 7.10 – Valores dos erros residuais ‖ 𝐅 − 𝐏‖ em função da coluna reconstruída de uma imagem de RMN com resolução espacial 256x256 usando o algoritmo a,b) SVD e c-h) rede neural de Hopfield.
Erro
P SVD
Rede Neural de Hopfield
F exato 10% Erro em 𝐅 Valores Nulos
0%
(a) (c) (e) (g)
10%
(b) (d) (f) (h)
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Figura 7.11 – Valores da norma da diferença entre a imagem recuperada e a imagem original de RMN com resolução espacial 256x256 ‖𝐅 í − 𝐅‖em função da coluna reconstruída usando o algoritmo a,b) SVD e c-h) rede neural de Hopfield.
Erro P SVD Rede Neural de Hopfield
F exato 10% Erro em 𝐅 Valores Nulos
0%
(a) (c) (e) (g)
10%
(b) (d) (f) (h)
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algoritmo a,b) SVD e c-h) rede neural de Hopfield.
Erro P SVD
Rede Neural de Hopfield
F exato 10% Erro em 𝐅 Valores Nulos
0%
(a) (c) (e) (g)
10%
(b) (d) (f) (h)
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As imagens de RMN com resolução espacial 256x256 reconstruídas utilizando a rede neural de Hopfield com os dados de projeção 𝐏 _ e com os valores iniciais dos estados dos neurônios iguais a zero e com um valor aleatório de até 10% diferente da imagem original são mostradas nas fig.(7.09g-l). As normas do resíduo, da diferença entre a solução da imagem original e da solução em função da coluna da imagem são apresentadas nas fig.(7.09-7.11c-h). Pode-se perceber que o erro residual é da ordem de − , indicando que a imagem recuperada é uma das múltiplas soluções do problema, e a diferença com a imagem original sinaliza uma boa concordância entre as imagens, o que faz deste o melhor resultado de reconstrução obtido entre os métodos propostos.
Os ótimos resultados da rede para a recuperação das imagens de RMN com resolução espacial 256x256 podem ser explicados pela não inversão matricial do kernel, e ainda pelo critério de convergência da rede, que sempre aprimora a condição inicial fornecida aos estados dos neurônios. Dessa forma, se alguma informação sobre a imagem for fornecida inicialmente aos neurônios, a imagem recuperada sempre terá um menor valor de erro residual. Vale ressaltar que não foram utilizados filtros na reconstrução das imagens pela rede, demostrando assim a robustez da técnica em minimizar as distorções e aumentar o contraste da imagem.
É importante destacar que na metodologia proposta, usando a rede neural de Hopfield para reconstruir as imagens de RMN analisadas, apenas dois ângulos de varredura nos dados experimentais são necessários para a recuperação de uma imagem de boa qualidade, ao contrário da inspeção em 180 graus usada nas metodologias usuais. Acredita-se que este resultado é de grande significado econômico e experimental para a realização dos experimentos.