Rede mundo pequeno Modelo de Watts e Strogatz

No final da d´ecada de 1990, Duncan Watts e Steven Strogatz perceberam que muitas redes reais possu´ıam muito mais triˆangulos formados por trˆes v´ertices do que o Modelo de Rede Aleat´oria gerava para valores de v´ertices e arestas iguais aos de redes reais. Dessa forma, perceberam que seria necess´ario um modelo mais sofisticado do que o proposto por Erd¨os e R´enyi para modelar redes reais (ALMEIDA, 2009).

Assim, o Modelo de Rede Mundo Pequeno foi motivado pela observa¸c˜ao de que muitas redes reais apresentavam propriedades n˜ao bem contempladas pelo modelo Rede Aleat´oria, especialmente com rela¸c˜ao `a baixa distˆancia entre os v´ertices da rede, alta clusteriza¸c˜ao e estrutura de redes esparsa (FIGUEIREDO, 2011; NEWMAN et al., 2006). O Modelo de Watts e Strogatz ´e baseado numa configura¸c˜ao de rede regular, esparsa e com alta clusteriza¸c˜ao, com mudan¸cas aleat´orias nas arestas para induzir a forma¸c˜ao de caminhos pequenos.

Este modelo inicia com n n´os dispersos num formato circular, onde cada um dos n´os est´a conectado com os seus k vizinhos mais pr´oximos, sendo k₂n´os para cada lado do n´o, gerando assim uma rede esparsamente conectada. Aleatoriamente, as arestas s˜ao religadas a outros v´ertices com probabilidade p, la¸cos e arestas duplicadas n˜ao s˜ao permitidos. Esse processo introduz p×n×k₂ arestas de longa distˆancia, ou seja, n´os conectados a v´ertices distantes (que n˜ao os k/2 vizinhos imediatos) (ALBERT; BARAB ´ASI, 2002).

A Figura 26 apresenta exemplos de redes geradas pelo algoritmo proposto por Watts e Strogatz para uma rede com 20 n´os e probabilidade de reconex˜ao variando entre 0 e 1.

Figura 26: Redes obtidas pelo Modelo de Watts e Strogatz.

Adaptado de: Watts e Strogatz (1998).

Quando a probabilidade de reconex˜ao das arestas ´e 0, a rede n˜ao muda com o passar do tempo, e permanece sempre regular. A medida que a probabilidade p ´` e incrementada, mais arestas s˜ao religadas a v´ertices n˜ao vizinhos. Por outro lado, se p = 1, s˜ao obtidas redes aleat´orias. ´E em algum ponto onde a probabilidade de reconex˜ao ´e maior que zero e menor que um surgem as redes Mundo Pequeno e propriedades interessantes podem ser encontradas.

Redes Mundo Pequeno refletem caracter´ısticas de sistemas sociais reais. Por exemplo, considere uma rede de pessoas. E esperado que os componentes dessa rede´ sejam amigas de indiv´ıduos de seu c´ırculo de convivˆencia (escola, trabalho, vizinhos de rua), mas possuam alguns poucos amigos que moram longe, seja em outros estados ou pa´ıses, o que no modelo de Watts e Strogatz ´e representado pelos v´ertices em que h´a a reconex˜ao e cria¸c˜ao de arestas de longa distˆancia (ALBERT; BARAB ´ASI, 2002).

Considere `(p) e c(p) como a distˆancia m´edia da rede e o coeficiente de clusteri- za¸c˜ao quando a probabilidade de reconex˜ao da rede ´e p. Quando p = 0, todos os v´ertices s˜ao idˆenticos pois mant´em-se a estrutura original , de tal forma que a m´edia do coeficiente de clusteriza¸c˜ao e distˆancia m´edia da rede s˜ao iguais aos valores de um v´ertice qualquer, o que ´e dado por:

c(0) = n 2 k (4.20) `(0) = 3(k − 1) 2(2k − 1)≈ 3 4 (4.21)

onde n ´e o n´umero de v´ertices da rede e k ´e o grau m´edio da rede.

Como era esperado, uma rede com p = 0 possui coeficiente de clusteriza¸c˜ao alto e distˆancia m´edia proporcional `a quantidade de n´os na rede. No outro extremo, quando p= 1, o modelo converge para uma Rede Aleat´oria e o grau m´edio da rede ´e dado por 2 k, obtendo-se os seguintes valores para c(p) e `(p):

c(1) ≈ 2 k

n (4.22)

`(1) ≈ lg n

lg p (4.23)

onde n ´e o n´umero de v´ertices da rede e k ´e o grau m´edio da rede.

Como pode ser observado, a rede ter´a uma clusteriza¸c˜ao muito baixa, j´a que o coeficiente de clusteriza¸c˜ao ´e inversamente proporcional `a quantidade de n´os na rede. Ao mesmo tempo, ´e esperada uma pequena distˆancia entre os v´ertices, j´a que a distˆancia m´edia entre os v´ertices da rede ´e proporcional a lg n.

Com base na Figura 27, ´e poss´ıvel observar o que acontece com c(p) e `(p) para valores intermedi´arios de p:

Figura 27: Rela¸c˜ao entre distˆancias m´edias e coeficiente de clusteriza¸c˜ao m´edio para valores intermedi´arios de p.

Adaptado de: Watts e Strogatz (1998).

A figura mostra que h´a valores de p, onde o coeficiente de clusteriza¸c˜ao ´e relativa- mente alto e a distˆancia entre os n´os ´e baixa. Dessa forma, pode-se afirmar que o Modelo de Watts e Strogatz ´e capaz de induzir redes de mundo pequeno, de onde se origina o

nome Mundo Pequeno (ou small world ) (FIGUEIREDO, 2011).

Intuitivamente, ´e poss´ıvel perceber porque isso acontece. Quando p ´e bem pe- queno, poucas arestas s˜ao reposicionadas, mas por serem escolhidas de forma aleat´oria, formam atalhos na rede, reduzindo drasticamente a distˆancia m´edia da rede. Por outro lado, como poucas arestas s˜ao reposicionadas, a estrutura inicial da rede ´e muito pouco afetada, de tal forma que o coeficiente de clusteriza¸c˜ao se mant´em alto. `A medida que p aumenta, h´a mais reposicionamentos de arestas e a distˆancia m´edia da rede tende a ficar ainda menor. Analogamente, o coeficiente de clusteriza¸c˜ao tende a diminuir j´a que a estrutura da rede ´e afetada (FIGUEIREDO, 2011).

Embora o modelo tenha despertado o interesse da comunidade cient´ıfica h´a que se tecer algumas cr´ıticas a ele, pois ele deixa de capturar alguns aspectos importantes presentes em redes reais, no que tange, por exemplo, `a distribui¸c˜ao de grau dos n´os que difere de redes reais por n˜ao possuir cauda longa (n˜ao segue uma distribui¸c˜ao de lei de potˆencia). Al´em disso, esse modelo ´e bastante est´etico e n˜ao ajuda a compreender os motivos que levam ao surgimento das caracter´ısticas das redes reais, motivo pelo qual outros modelos e varia¸c˜oes foram propostos como tentativa de suprir as deficiˆencias do Modelo de Watts e Strogatz. Esses outros modelos n˜ao ser˜ao abordados neste trabalho pois excederia em muito o escopo proposto, mas podem ser encontrados na literatura da ´

area.