Abscissas Prescritas
6.5.1 Redes Space-Filling
6.5.1.1 Redes de Segunda Ordem
Uma rede de primeira ordem pode ser constru´ıda facilmente em duas dimens˜oes atrav´es do conjunto de vetores,
{{a, 0}, {−a, 0}, {0, a}, {0, −a}} (6.21)
Quando o peso e o fator de escala s˜ao iguais a 1/4 e 1, respectivamente, ver Equa¸c˜ao 6.11. Observe que nesta ordem existem trˆes equa¸c˜oes a serem resolvidas, referentes aos polinˆomiosH (0),H (1)
x eHy(1), mas Hx(1) eHy(1) s˜ao iguais devido a simetria da rede em
rela¸c˜ao `a troca de ´ındices, de forma que apenas duas s˜ao independentes. As duas novas equa¸c˜oes que s˜ao adicionadas `a este sistema em segunda ordem, referentes aos polinˆomios H(2)
xx e Hxy(2), exigem a inclus˜ao de mais dois sub-conjuntos de velocidades `a rede.
Considere ent˜ao, de uma forma mais geral, a constru¸c˜ao de um grupo de sub-conjuntos de quatro velocidades de acordo com a figura abaixo.
Figura 5: Exemplo de rede formada por velocidades discretas res- tritas `as dire¸c˜oes principais.
Montando um sistema de equa¸c˜oes para resolver este problema em ordens crescentes em rela¸c˜ao aos momentos de feq, observa-se que o momento discreto ξ
xξy ´e zero em cada
uma das velocidades desta rede. Desta maneira este tipo de constru¸c˜ao n˜ao pode assegurar a condi¸c˜ao de norma do polinˆomio de HermiteHxy(2), n˜ao sendo adequado para representar
todo o conjunto de momentos de segunda ordem.
Poderia-se sugerir que a norma do polinˆomio Hxy(2) seria corretamente recuperada
se este conjunto de vetores fosse rotacionado por algum ˆangulo qualquer, fazendo com que o momento em quest˜ao n˜ao fosse zero. De fato, existem ˆangulos de rota¸c˜ao que podem fazer todas as normas dos polinˆomios de Hermite de at´e segunda ordem no espa¸co discreto equivalentes `as normas destes polinˆomios no espa¸co cont´ınuo, e.g., quando a rede ´e rotacionada em 22, 5o. Todavia, pode ser demonstrado que o polinˆomioH (2)
6.5 Quadratura Bidimensional 86
ser escrito como
H (2) xy (ξ0i) = tan(2α) 2 H (2) xx (ξ0i) − tan(2α) 2 H (2) yy (ξ0i), (6.22)
quando a rede ´e rotacionada por um ˆangulo α, tornando imposs´ıvel resolver a condi¸c˜ao de ortogonalidade deste polinˆomio neste tipo de rede.
De modo a resolver esta quadratura, considere uma rede forma por dois sub-conjuntos de velocidades rotacionados em π/4,
{{0, 0}, {a, 0}, {−a, 0}, {0, a}, {0, −a}, {a, a}, {−a, a}, {−a, −a}, {a, −a}}, (6.23) representada na figura abaixo,
Figura 6: D2Q9
As condi¸c˜oes de norma, Equa¸c˜ao 6.11, quando aplicadas ao conjunto de vetores da Equa¸c˜ao 6.23, geram o seguinte sistema
W0+ 4W1+ 4W2 = 1, H (0), (6.24) 2a2W1+ 4a2W2 = 1, Hx(1) e H (1) y , (6.25) W0 + 2W1+ 2(a2− 1)2W1+ 4(a2− 1)2W2 = 2, Hxx(2) e Hyy(2), (6.26) 4a4W2 = 1, Hxy(2), (6.27)
que possui solu¸c˜ao quando os pesos W0, W1 e W2 e o fator de escala a s˜ao iguais a 4/9,
1/9, 1/36 e√2, respectivamente.
6.5.1.2 Redes de Terceira Ordem
De maneira a se obter uma rede de terceira ordem ´e natural adicionar a ela sub- conjuntos de vetores de m´odulo 2a na dire¸c˜ao axial e 2√2a na dire¸c˜ao diagonal para que as equa¸c˜oes relativas aos polinˆomios Hxxx(3) e Hxxy(3) possam ser resolvidas. No entanto,
6.5 Quadratura Bidimensional 87
A inclus˜ao de mais um sub-conjunto de vetores, de m´odulo 3a, a esta rede torna o sistema indeterminado com um parˆametro livre. Este parˆametro pode ser utilizado para zerar o peso relativo `a velocidade 2a, procedimento que ´e equivalente a exclu´ı- la do conjunto de velocidades discretas, que volta a possuir 17 velocidades. A figura abaixo ilustra esta rede, cujas velocidades e pesos podem ser encontrados na Tabela 17 do Apˆendice B.2.1,
Figura 7: D2V17
6.5.1.3 Redes de Quarta Ordem
Com o objetivo de se obter uma rede de quarta ordem, mais trˆes sub-conjuntos de velocidades precisam ser inclu´ıdos no grupo correspondente `a rede de terceira ordem, cada um deles gerando uma inc´ognita com a fun¸c˜ao de representar a norma dos polinˆomios H(4)
xxxx e Hxxxy(4) e Hxxyy(4) , respectivamente, no espa¸co discreto. Devido `a simplicidade de
tratamento do m´etodo e aplica¸c˜ao das condi¸c˜oes de contorno em redes compostas apenas por velocidades nas dire¸c˜oes principal e diagonal, e.g., a condi¸c˜ao de bounce-back s´o pode ser aplicada em redes deste tipo, ´e natural que se procure por elas nesta quadratura.
Infelizmente, neste caso, n˜ao importa quantos sub-conjuntos de velocidades sejam adicionadas `a rede,Hxxxy(4) eHxyyy(4) sempre ser˜ao idˆenticos ponto a ponto no espa¸co discreto
de velocidades. Desta forma, a condi¸c˜ao de ortogonalidade destes dois tensores n˜ao pode ser atendida ao menos que se adicione ao conjunto de vetores da rede sub-conjuntos de velocidades que contenham vetores n˜ao alinhados com as dire¸c˜oes principais e diagonais da malha. Neste trabalho, seguindo o artigo de Philippi e colaboradores[2], foram adicionados os vetores de forma (±1, ±2) e (±2, ±1) ao conjunto de vetores dado. A rede obtida pela solu¸c˜ao do sistema resultante est´a ilustrada abaixo,
6.5 Quadratura Bidimensional 88
Figura 8: D2V37
enquanto seus pesos e velocidades encontram-se na Tabela 19 do Apˆendice B.2.1.
6.5.1.4 Redes de Quarta Ordem Incompletas
Na Se¸c˜ao 3.1.2 foi discutido que, em alguns casos, a representa¸c˜ao do conjunto com- pleto de momentos de quarta ordem no espa¸co discreto, ξαξβξγξδ, ´e desnecess´aria, sendo
impresc´ındivel apenas representar a contra¸c˜ao destes momentos de forma ξ2ξ
αξβ. Para que
estes momentos sejam recuperados ´e suficiente que as somasHxxxx(4) +Hxxyy(4) ,Hxxxy(4) +Hxyyy(4)
eHxxyy(4) +Hyyyy(4) sejam linearmente independentes e ortogonais entre elas e entre elas e os
polinˆomios de Hermite de mais baixa ordem e sua norma seja corretamente recuperada no espa¸co discreto de velocidades.
Neste caso, redes formadas por sub-conjuntos de velocidades restritas `as dire¸c˜oes principal e diagonal s˜ao suficientes para representar os momentos. Ao buscar conjuntos de velocidades com esta forma, pode-se encontrar duas redes independentes de 25 velocidades, chamadas de w1 e w6[2], quando vetores de m´odulo m´aximo 4a e 3
√
2a s˜ao considerados nas dire¸c˜oes principais e diagonais, respectivamente,
Figura 9: D2V25w1 Figura 10: D2V25w6
Essas redes possuem trˆes vantagens principais em rela¸c˜ao `as redes de quarta ordem completas, Se¸c˜ao 6.5.1.3, a de serem mais simples de programar, adaptarem-se melhor `as condi¸c˜oes de contorno e possu´ırem um n´umero menor de velocidades.
6.5 Quadratura Bidimensional 89
Quando a ordem dos momentos que devem ser recuperados em uma quadratura au- menta e, com ela, o n´umero e a variedade de sub-conjuntos de velocidades que precisam ser adicionados `a rede completa para que esta quadratura seja sol´uvel, ´e comum que dife- rentes redes possam ser obtidas com aproximadamente o mesmo n´umero de velocidades, como neste caso.
Testes realizados com as duas redes acima apresentaram resultados num´ericos bastante similares, de modo que arbitrariarmente optou-se pela utiliza¸c˜ao da rede mais compacta, i.e., com a menor raz˜ao entre o maior m´odulo de uma velocidade da rede e o menor, neste caso em particular ou em qualquer outro caso em que redes com aproximadamente o mesmo n´umero de velocidades pudessem ser obtidas, e.g., Se¸c˜ao 6.5.2.3.
Note tamb´em que os pesos e o fator de escala obtidos nesta tese s˜ao ligeiramente diferentes daqueles utilizados por Siebert[28] e Philippi e colaboradores[2]. Isto se deve ao modo como os polinˆomios de Hermite foram definidos neste trabalho, Apˆendice A, e `a forma como foram determinados os polinˆomios de quarta ordem que fazem parte desta discretiza¸c˜ao.
6.5.1.5 Redes de Quinta Ordem
Escoamentos a alto n´umero de Knudsen, Se¸c˜oes 3.2 e 8.5, ou com m´ultiplos tempos de relaxa¸c˜ao, Se¸c˜oes 2.2.1 e 2.2.3, demandam a representa¸c˜ao de momentos de alta ordem no espa¸co discreto. Seguindo procedimento semelhante ao adotado nas ´ultimas se¸c˜oes, a seguinte rede de quinta ordem foi obtida,
Figura 11: D2V53
Suas velocidades e pesos est˜ao detalhados no Apˆendice B.2.1, Tabela 20. Quando momentos de alta ordem, n, s˜ao considerados na discretiza¸c˜ao do espa¸co de velocidades, o n´umero de velocidades discretas obtidas cresce rapidamente devido `a inclus˜ao de (n + 1) equa¸c˜oes independentes ao sistema da quadratura a cada momento adicionado e ao au- mento da complexidade dos sub-conjuntos de velocidades que devem ser adicionados `a rede para tornar este sistema sol´uvel.
6.5 Quadratura Bidimensional 90
6.5.1.6 Redes de Sexta Ordem
A menor rede encontrada neste trabalho para representar momentos de at´e sexta ordem encontra-se abaixo. Os pesos e velocidades desta rede est˜ao detalhados no Apˆendice B.2.1, Tabela 21.
Figura 12: D2V81
Foi observado, neste caso, que o sistema de equa¸c˜oes para a recupera¸c˜ao dos momen- tos de sexta ordem ´e sol´uvel somente quando velocidades fora das dire¸c˜oes principais, diagonais e da forma (na, a), onde n ´e um n´umero inteiro, s˜ao inclu´ıdas na rede.
Quando a ordem dos momentos que devem ser representados no espa¸co discreto au- menta muito, os sistemas resultantes do procedimento de quadratura s˜ao cada vez mais dif´ıcies de resolver devido `a presen¸ca de um grande n´umero de vari´aveis e de n˜ao li- nearidades. As solu¸c˜oes encontradas s˜ao frequentemente inv´alidas por inclu´ırem pesos imagin´arios ou negativos.
Neste trabalho adotou-se a metodologia de se encontrar redes com um grande n´umero de sub-conjuntos de velocidades, com pesos que pudessem ser anulados ou ajustados a posteriori. As diversas combina¸c˜oes de sub-conjuntos que possuem a mesma acur´acia fazem com que seja dif´ıcil afirmar que uma rede qualquer encontrada assim seja a que tem o menor n´umero de velocidades em determinada ordem. Todavia, ap´os a procura exaustiva por solu¸c˜oes realizada, pode-se afirmar que este n´umero de velocidades, 81, est´a bem pr´oximo do m´ınimo nesta ordem.
Do ponto de vista pr´atico, a ado¸c˜ao de redes com este n´umero de velocidades em simula¸c˜oes cotidianas ´e limitada pelos seus grandes gastos de mem´oria RAM e proces- samento, dificuldades de programa¸c˜ao, problemas na defini¸c˜ao e aplica¸c˜ao das condi¸c˜oes de contorno e erros n´umericos devido a multiplica¸c˜ao e soma de quantidades num´ericas muito d´ıspares, como as potˆencias das componentes das velocidades moleculares e os pesos encontrados.
6.5 Quadratura Bidimensional 91