Redu¸c˜ ao para cactos cordais

A NP-completude de AGD(G, D) implica diretamente queAGDM(G, D, w) ´e NP-dif´ıcil, j´a que este ´e a vers˜ao de otimiza¸c˜ao daquele problema de decis˜ao. Em outras palavras, determinar a solu¸c˜ao de menor peso paraAGDM(G, D, w) ´e pelo menos t˜ao dif´ıcil quanto encontrar uma solu¸c˜ao qualquer para AGD(G, D).

Aqui trabalhamos com 3-SAT 1 em 3, que ´e um problema NP-completo, como ´e mostrado em [6]. Ele consiste em satisfazer uma entrada para o problema 3-SAT de tal forma que cada uma de suas cl´ausulas tenha exatamente um literal verdadeiro. Definimos analogamente3-SAT 2 em 3, onde a entrada deve ser satisfeita tal que toda cl´ausula deve ter exatamente dois literais verdadeiros.

Podemos reduzir uma entrada de3-SAT 1 em 3para uma de3-SAT 2 em 3aplicando nega¸c˜ao a todos os literais em todas as cl´ausulas da entrada. De fato, se a instˆancia de 3-SAT 1 em 3´e satisfaz´ıvel, a mesma valora¸c˜ao que a satisfaz tamb´em satisfaz a instˆancia associada de3-SAT 2 em 3, pois h´a exatamente dois literais valorados como falsos em cada

3.4 Complexidade 17

cl´ausula, e esses passam a ser valorados como verdadeiros ap´os a transforma¸c˜ao. Da mesma forma, se a entrada de 3-SAT 1 em 3n˜ao ´e satisfaz´ıvel, toda valora¸c˜ao faz com que uma cl´ausula tenha 0, 2 ou 3 literais verdadeiros, que passa a ter 3, 1 ou 0 literais verdadeiros, respectivamente, quando aplicamos nega¸c˜ao aos seus literais. Assim, temos que 3-SAT 2 em 3´eNP-completo.

Antes de prosseguir, notemos que uma mesma instˆancia de3-SAT 2 em 3, uma f´ormula, pode ser escrita de diversas maneiras, obtidas por permuta¸c˜oes dos literais de suas cl´ausulas.

Vamos escolher uma forma espec´ıfica para representar cada cl´ausula em uma instˆancia de 3-SAT 2 em 3. Dado que a instˆancia temnvari´aveis, tome uma ordena¸c˜aox₁, x₂, . . . , x_nde suas vari´aveis. Gostar´ıamos de considerar, a partir de agora, a representa¸c˜ao das instˆancias de 3-SAT 2 em 3 em que os literais de cada cl´ausula ocorrem em ordem crescente, em rela¸c˜ao `a ordena¸c˜ao estabelecida para as vari´aveis. Lembramos que uma cl´ausula em que ocorremx_j ex_j, j ∈[n], pode ser desconsiderada, visto que sempre ´e verdadeira.

Vamos agora reduzir3-SAT 2 em 3paraAGD(G, D). Dada uma f´ormula como entrada para3-SAT 2 em 3, vamos construir o grafo G. Inicialmente,Gtem um v´ertice universal v. Ver Figura 3.6 para acompanhar a constru¸c˜ao. Para cada vari´avel x, v est´a conectado a v´ertices v¹_x e v_x² por arestas ex e ex, respectivamente. v¹_x e v_x² est˜ao conectados por uma aresta ax. Para cada cl´ausula C = l₁ ∨l₂∨l₃, v estar´a conectado a v´ertices v¹_C e v²_C por arestas e^C_l1 ee^C_l2, respectivamente. Por fim, h´a uma aresta e^C_l3 entre v¹_C e v²_C.

v

v¹_x v_x²

v¹_C v_C² ex ex

ax

e^C_l1 e^C_l2

e^C_l3

Figura 3.6: Ilustra¸c˜ao da constru¸c˜ao do grafoG, pela redu¸c˜ao.

Para a constru¸c˜ao do digrafo D, haver´a arcos deax para ex e ex, para toda vari´avel x.

Existir´a um arco dee_l parae^C_l , se o literallocorrer na cl´ausulaC. A Figura 3.7 exemplifica a constru¸c˜ao de D, onde supomos que o literal x aparece nas cl´ausulas Ci e C_k e que x ocorre emCj.

Observe que os arcos de ax para ex e ex garantem a exclus˜ao m´utua entre ex e ex j´a que, na ´arvore, a escolha de ambas implicaria a de a_x, pelas dependˆencias, e um triˆangulo

3.4 Complexidade 18

ax

e_x

e^C_xⁱ e^C_x^k e_x

e^C_x^j

Figura 3.7: Ilustra¸c˜ao da constru¸c˜ao do digrafo D, pela redu¸c˜ao.

seria formado. Observe tamb´em que o grafo G´e um cacto cordal, visto que todos os seus ciclos s˜ao triˆangulos e tˆem em comum apenas o v´erticev, e que o digrafoD´e uma uni˜ao de arborescˆencias.

Note que, emG, o n´umero de v´ertices ´e 2n+2m+1 e o n´umero de arestas ´e 3n+3m, onde n´e o n´umero de vari´aveis da instˆancia de 3-SAT 2 em 3e mo n´umero de suas cl´ausulas.

Al´em disso, o digrafoD possui 3n+ 3m v´ertices e 2n+ 3m arcos. Vemos, portanto, que G e Dpodem ser constru´ıdos em tempo polinomial, em fun¸c˜ao den em.

Proposi¸c˜ao 3.2. AGD(G, D) ´e NP-completo, mesmo que G seja um cacto cordal com diˆametro 2 e D seja uma uni˜ao de arborescˆencias de altura 2.

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, notamos queAGD(G, D) est´a emNP, pois dado um subconjunto de arestas de G, podemos verificar em tempo polinomial se tal subconjunto induz uma

´

arvore geradora deG e satisfaz as restri¸c˜oes de dependˆencia impostas porD. Vamos agora mostrar a validade da redu¸c˜ao acima apresentada. Primeiro, tome uma valora¸c˜ao que torna a instˆancia de 3-SAT 2 em 3 verdadeira, com exatamente dois literais verdadeiros por cl´ausula. Considere o subgrafo T de G induzido pelas seguintes arestas: ax, para toda vari´avel x; ou ex ou ex, dependendo se a valora¸c˜ao torna a vari´avel x verdadeira ou falsa, respectivamente; para cada cl´ausulaC =l₁∨l2∨l3, as arestase^C_l

i ee^C_l

j tal quel_i el_j assumem valor verdadeiro, 1≤i, j ≤3,i6=j. Observe que as arestas deT satisfazem as dependˆencias impostas porD. Mostramos agora que T ´e uma ´arvore.

Para todo x,v est´a ligado av_x¹ ou v_x² por ex ou ex, respectivamente, enquanto a aresta a_x ligav_x¹ av_x². Dessa forma, n˜ao h´a ciclo entrev,v_x¹ e v²_x, e as duas arestas mant´em os trˆes v´ertices conectados. Para todoC =l₁∨l₂∨l₃, como exatamente duas das arestase^C_l1,e^C_l2 e e^C_l3 est˜ao em T, temos que v liga-se av_C¹ ou v_C² por e^C_l1 ou e^C_l2, respectivamente. Sem perda de generalidade, suponha quevliga-se av_C¹ pore^C_l1. See^C_l2 est´a emT, temos quev²_C tamb´em

3.4 Complexidade 19

liga-se a v; caso contr´ario, temos que v_C² liga-se a v_C¹ por e^C_l

3. Em ambos os casos, n˜ao h´a ciclo entre v, v¹_C e v_C², e as duas arestas mant´em os trˆes v´ertices conectados. Sendo assim, v e os v´ertices associados a cada vari´avel induzem um subgrafo conexo e ac´ıclico de T. O mesmo acontece com os v´ertices associados a cada cl´ausula. Logo, T ´e conexo e ac´ıclico e portanto uma ´arvore geradora.

Agora, suponha que T(V, E^′) seja uma solu¸c˜ao vi´avel para AGD(G, D). Temos que, para toda vari´avel x, ou a aresta ex ou a aresta ex est˜ao em T, caso contr´ario v¹_x e v²_x n˜ao se conectariam av (se ambas n˜ao estivessem) ou formariam um ciclo com v (se ambas estivessem, poisa_x tamb´em ´e escolhida por ser dependˆencia de ambas). Temos tamb´em que, para toda cl´ausulaC=l₁∨l₂∨l₃, exatamente duas das arestase^C_l1, e^C_l2 ee^C_l3 est˜ao emT para conectarv_C¹ ev_C² av e n˜ao formar um ciclo com esse. Al´em disso,e^C_l s´o pode estar emT se el tamb´em estiver. Portanto, atribu´ımos a x valor verdadeiro (ex ∈E^′) ou falso (ex ∈E^′), e esta valora¸c˜ao satisfaz toda cl´ausulaC com exatamente dois literais verdadeiros. Assim, decidimos que a instˆancia de 3-SAT 2 em 3´e satisfat´ıvel.

Note, por fim, que podemos transformar D, uma uni˜ao de arborescˆencias, em uma ar-borescˆencia, sem preju´ızo para a redu¸c˜ao. Basta criar uma folha artificial em Gconectada, digamos, a v e fazer sua ´unica aresta adjacente ser dependˆencia para as ra´ızes das arbo-rescˆencias de D. Como ´e de corte, tal aresta sempre ´e presente em toda solu¸c˜ao vi´avel, e portanto as fontes originais de D tˆem sua ´unica dependˆencia satisfeita, o que deixa intacto o espa¸co vi´avel do problema.