ψ0 ((g −1)(h − 1)) = ψ0((gh −1) − (g − 1) − (h − 1)) = ψ0 (gh −1) · ψ0(g −1)−1·ψ0(h −1)−1 = ghG0 · g−1G0· h−1G0 = ghg−1 h−1G0 = G0,
logo (IG)2 ⊆ Ker(ψ0)e portanto ψ0induz um único homomorfismo de grupos ψ00 : IG/(IG)2→
Gabtal que ψ00p= ψ0.
Para o outro lado do isomorfismo considere o diagrama comutativo abaixo no qual π é a projeção canônica.
G Gab
IG/(IG)2 π ϕ ϕ0
Seja ϕ : G → IG/(IG)2dado por ϕ(g) = (g − 1) + (IG)2, então ϕ é um homomorfismo de
grupos, pois ϕ(gh) = (gh − 1) + (IG)2 = ((g − 1)(h − 1) + (g − 1) + (h − 1)) + (IG)2 = (g − 1)(h − 1) + (IG)2+ (g − 1) + (IG)2+ (h − 1) + (IG)2 = (g − 1) + (IG)2+ (h − 1) + (IG)2 = ϕ(g) + ϕ(h).
Como IG/(IG)2é abeliano, então ϕ induz um único homomorfismo de grupos ϕ0: Gab→
IG/(IG)2tal que ϕ0π = ϕ.
Verificar que ϕ0e ψ00são inversos um do outro é um exercício de rotina e será omitido
aqui.
O lema acima nos dá o seguinte corolário.
Corolário 3. Sejam G um grupo escrito multiplicativamente e M um G-módulo trivial. Então H1(G, M) M ⊗ Gab e H1(G, M) Hom (Gab, M) .
4.8
Relação entre
H
1, derivações e extensões com cisão
Nesta seção e na seguinte atacaremos o problema da extensão de grupos dando algumas respostas através da cohomologia de grupos. Estamos interessados em, dados dois grupos K e Q,
encontrar todos os grupos E, tais que K é isomorfo a um subgrupo normal de E com o quociente associado isomorfo a Q. Com isso temos a seguinte definição.
Definição 48. Uma extensão de um grupo K por um grupo Q é uma sequência exata curta de grupos
1 K i E p Q 1.
Vale ressaltar que alguns autores chamam a sequência exata curta acima de uma extensão de Q por K.
Exemplo 26. Tomando K = Z/3Z e Q = Z/2Z, podemos encontrar dois exemplos de extensões de K por Q: o grupo simétrico em três elementos, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}, e o
grupo cíclico de ordem seis, Z/6Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
0 Z/3Z S3 Z/2Z 0 0 Z/3Z Z/6Z Z/2Z 0
i p
j q
com i(1) = (123), p(1) = p(123) = p(132) = 0, p(12) = p(13) = p(23) = 1, j(1) = 2 e q(1) = 1. Naturalmente, dadas duas extensões de K por Q, gostaríamos de decidir quando estas são essencialmente a mesma extensão, por isto definimos o conceito de equivalência de extensões abaixo.
Definição 49. Dizemos que duas extensões de K por Q
1 K E Q 1
1 K E0 Q 1
i p
i0 p0
são equivalentes quando existe um homomorfismo de grupos ϕ : E → E0tal que o diagrama
abaixo é comutativo E 1 K Q 1. E0 ϕ p i i0 p0
Perceba que uma extensão é sempre equivalente a si mesma via ϕ igual à identidade, além disso, tomando a composição adequada temos que equivalência de extensões é uma relação transitiva, por fim, o Lema dos cinco nos garante que ϕ é um isomorfismo, ou seja, equivalência de extensões é também uma relação simétrica e, portanto, é realmente uma relação de equivalência. Definição 50. Dizemos que uma extensão de K por Q
1 K i E p Q 1
cinde, é cindida, ou possui cisão, quando existe uma seção de p, isto é, quando existe um homomorfismo de grupos s : Q → E tal que ps = IdQ.
4.8. Relação entre H1, derivações e extensões com cisão 89
Exemplo 27. As extensões do exemplo anterior são cindidas, já que existem os homomorfismos de grupo s1, s2, s3 : Z/2Z → S3 e t : Z/2Z → Z/6Z tais que ps1 = ps2 = ps3 = IdZ/2Z = qt,
dadas por s1(1) = (23), s2(1) = (13), s3(1) = (12) e t(1) = 3. 0 Z/3Z S3 Z/2Z 0 0 Z/3Z Z/6Z Z/2Z 0 i p s1 ou s2ou s3 j q t
Note que neste exemplo, a primeira extensão cinde de três maneiras diferentes, enquanto que a segunda cinde de apenas uma maneira.
Nesta seção veremos que certos tipos de extensões com cisão podem ser caracterizadas com uma ferramenta da teoria de grupos chamada de produto semidireto.
Definição 51. Sejam K e Q dois grupos e σ : Q → Aut(K) um homomorfismo de grupos. Então o produto semidireto de K por Q em relação a σ é o grupo denotado por K oσQcujo conjunto de elementos é o produto cartesiano K × Q = {(k, q); k ∈ K, q ∈ Q} e cuja operação é dada por
(k1, q1) · (k2, q2)= (k1·σq1(k2), q1· q2), para k1, k2∈ K, q1, q2 ∈ Q.
São exercícios de rotina verificar que K oσQrealmente possui estrutura de grupo com elemento neutro (1K, 1Q) para 1K ∈ K e 1Q ∈ Q os respectivos elementos neutros de cada
grupo, e (k, q)−1= (σ
q−1(k−1), q−1). Além disso, K = {(k, 1Q); k ∈ K} é um subgrupo normal de
K oσQisomorfo a K e Q = {(1K, q); q ∈ Q} é um subgrupo de K oσQisomorfo a Q. Por fim,
temos um homomorfismo de grupos de inclusão canônico i : K → K ×σQdado por k 7→ (k, 1Q)
e um homomorfismo de grupos de projeção canônico p : K ×σQ → Qdado por (k, q) 7→ q.
Quando K for um Q-módulo, o produto semidireto de K e Q relativo ao homomorfismo de estrutura de K como Q-módulo será denotado por K o Q, sempre que isso não gerar ambiguidade. A partir de agora estaremos interessados em procurar extensões de um grupo abeliano M (escrito aditivamente) por um grupo qualquer G (escrito multiplicativamente), por essa razão, alteraremos ligeiramente a notação empregada até aqui.
Lema 7. Considere a extensão de um grupo abeliano M por um grupo G qualquer abaixo 0 M i E p G 1.
Então M é um G-módulo.
Demonstração. Dados m ∈ M e g ∈ G, definimos g · m ∈ M como sendo o único elemento tal
que
Devemos mostrar que esta definição faz sentido. Como i(M) é um subgrupo normal de H, então g · i(m) · g−1 ∈ i(M)para todo m ∈ M e todo g ∈ H. Agora, sejam g1, g2∈ H tais que p(g1)= p(g2), então g1= g2· i(m)para algum m ∈ M, assim, para qualquer m ∈ M temos que
g1· i(m) · g1−1 = (g2· i(m)) · i(m) · (g2· i(m))−1 = g2· i(m) · i(m) · i(m)−1· g2−1
= g2· i(m+ m − m) · g2−1 = g2· i(m) · g2−1,
isto é, a operação definida acima não depende da escolha da pré-imagem g ∈ H de g ∈ G por p: E → G.
Claramente temos que
1G· m= m,
g1· (g2· m)= (g1· g2) · m, g · (m1+ m2)= g1· m1+ g2· m2,
para g, g1, g2 ∈ Ge m, m1, m2∈ M. Portanto segue o resultado desejado. Observação 20. Dado um G-módulo M. Diremos que uma sequência exata curta como abaixo
0 M i E p G 1
é uma extensão de M por G, ou que realiza a estrutura de G-módulo de M, quando a estrutura de G-módulo induzida, descrita pelo lema anterior, coincidir com a estrutura de G-módulo já presente em M.
Observação 21. O lema anterior está de acordo com o que vimos até agora nos exemplos envolvendo M = Z/3Z e G = Z/2Z, isto é, S3e Z/6Z realizam as duas estruturas de M como
G-módulo.
Lema 8. Considere as extensões de um G-módulo M por G abaixo, com i0e p0a injeção e a projeção canônicas:
0 M i E p G 1. (4.1) 0 M i M o G G 1,
0 p0
(4.2) EntãoEquação 4.1cinde se, e somente se,Equação 4.1é equivalente aEquação 4.2.
Demonstração. Suponha que Equação 4.1cinde. Sejam e ∈ E, g = p(e) ∈ G e g = s(g) =
s(p(e)) ∈ E, então p(g) = p(s(p(e))) = p(e), logo e · g−1 ∈Ker(p) = Img(i), assim e = i(m) · g = i(m) · s(g)para algum m ∈ M.
4.8. Relação entre H1, derivações e extensões com cisão 91
Agora, se m1, m2 ∈ M e g1, g2 ∈ Gsão tais que i(m1) · s(g1)= i(m2) · s(g2), então
p(i(m1) · s(g1))= p(i(m2) · s(g2)) ⇒ p(i(m1)) · p(s(g1))= p(i(m2)) · p(s(g2)) ⇒
g1= g2,
e assim temos que i(m1)= i(m2), mas da injetividade de i segue que m1 = m2. Desta maneira
mostramos que todo elemento e ∈ E pode ser escrito de maneira única como um produto i(m) · s(g)para algum m ∈ N e algum g ∈ G. Note que até aqui não usamos o fato de s ser um homomorfismo de grupos, isto será importante na próxima seção do texto.
Por fim, a operação de E pode ser recuperada pela operação de G-módulo em M i(g · m)= s(g) · i(m) · s(g)−1, para m ∈ m, g ∈ G,
pois se e1 = i(m1) · s(g1)e e2= i(m2) · s(g2), então
e1· e2= (i(m1) · s(g1)) · (i(m2) · s(g2))
= i(m1) · (s(g1) · i(m2) · s(g1)−1) · s(g1) · s(g2) = i(m1) · i(g1· m2) · s(g1) · s(g2)
= i(m1+ g1· m2) · s(g1· g2).
Obtemos assim um isomorfismo de grupos
ϕ : E → M o G e = i(m) · s(g) 7→ (m, g). Agora, se m ∈ M, então
ϕ(i(m)) = ϕ(i(m) · s(1G))= (m, 1G)= i0(m)
e se e = i(m) · s(g) ∈ E, então
p0(ϕ(e)) = p0(ϕ(i(m) · s(g))) = p0(m, g) = g = p(i(m) · s(g)) = p(e).
Segue queEquação 4.1é equivalente aEquação 4.2. A recíproca é trivial. Exemplo 28. Já vimos, noExemplo 23que M = Z/3Z pode ser visto de duas maneiras diferentes como G-módulo, quando G = Z/2Z, ou seja, existem dois homomorfismos de grupo diferentes Z/2Z = G → G Aut(Z/3Z) e, assim, podemos construir dois produtos semidiretos de M por G. Desta maneira, o lema anterior nos garante que M oI dG G S3e M o0G Z/6Z.
O lema acima nos diz que, a menos de equivalência, a única extensão com cisão de um G-módulo M por G é o produto semidireto M o G relativo ao homomorfismo de estrutura de M como G-módulo, esta será chamada de extensão com cisão canônica de M por G. Passa a ser natural se perguntar quais são as possíveis maneiras de cindir a extensão acima, a menos de alguma noção de equivalência.
Definição 52. Sejam s, s0 : G → E duas seções de uma mesma extensão com cisão. Dizemos que s e s0são seções conjugadas, denotando por s ∼ s0, quando existe m ∈ M tal que
s(g)= i(m) · s0(g) · i(m)−1, para todo g ∈ G.
Claramente a conjugação de seções de uma mesma extensão de grupos com cisão é uma relação de equivalência.
Exemplo 29. Vimos noExemplo 27que a extensão abaixo tem três seções diferentes s1 : 1 7→ (23), s2: 1 7→ (13) e s3: 1 7→ (12)
0 Z/3Z i S3 Z/2Z 0
p
note que estas seções são conjugadas duas a duas, pois
s1(1) = (23) = (123)(12)(132) = i(1)s3(1)i(1)−1 s2(1) = (13) = (123)(23)(132) = i(1)s1(1)i(1)−1 s3(1) = (12) = (123)(13)(132) = i(1)s2(1)i(1)−1
Definição 53. Seja M um G-módulo. Uma derivação (ou um homomorfismo cruzado) de G em M é uma função d : G → M tal que
d(g1· g2)= d(g1)+ g1· d(g2), para todo g1, g2 ∈ G.
O conjunto das derivações de G em M possui estrutura de grupo abeliano com adição dada pontualmente e será denotado por Der(G, M).
Definição 54. Seja M um G-módulo à esquerda. Uma derivação d : G → M é dita interna (ou principal) quando existe m ∈ M tal que
d(g)= g · m − m, para todo g ∈ G.
O conjunto das derivações internas (ou principais) de G em M é um subgrupo de Der(G, M) e será denotado por IDer(G, M).
Observação 22. Note que as derivações de G em M são justamente os elementos de Ker(δ2), que chamamos de 1-cociclos, e as derivações internas de G em M são justamente os elementos de Img(δ1), que chamamos de 1-cobordos, como descrito naSeção 4.5. Portanto temos o seguinte
isomorfismo de grupos
H1(G, M) Der(G, M) IDer(G, M).
Finalmente temos tudo o que é necessário para enunciar e demonstrar o teorema abaixo relacionando o grupo de cohomologia H1(G, M) e seções da extensão M o G.