Rela¸c˜ao entre o SPack o maxIS

Como visto na se¸c˜ao 2.2, um conjunto independente, ou IS, em um grafo n˜ao-direcionado G = (V, E) ´e um subconjunto dos v´ertices do grafo tal que n˜ao existem arestas entre dois de seus elementos. Se associarmos a cada v´ertice i de V um peso ci, definimos o peso

de um subconjnuto de v´ertices de G como sendo a soma dos pesos individuais dos seus v´ertices. Deste modo, o problema do conjunto independente m´aximo de um grafo, aqui denotado por maxIS, pede que seja encontrado um conjunto independente de G cujo peso seja m´aximo. O maxIS pode ser modelado pelo PLI abaixo

max z = cT_u

s.a xi+ xj ≤ 1, ∀(i, j) ∈ E,

x ∈ Bn_,

onde, para todo v´ertice i de V , a vari´avel bin´aria xi assume valor 1 se e somente se o

v´ertice i faz parte da solu¸c˜ao ´otima (IS de peso m´aximo). As restri¸c˜oes da formula¸c˜ao s˜ao facilmente entendidas: elas impedem que as duas extremidades de qualquer aresta de G estejam simultaneamente na solu¸c˜ao. Isto garante que a solu¸c˜ao retornada ´e, de fato, um IS.

Para a redu¸c˜ao inversa, dado um grafo G = (V, E), podemos fazer M = {(u, v) : (u, v) ∈ E}, e Ci = {(i, v) : (i, v) ∈ E}, ∀ i ∈ V . Assim, um conjunto independente em G

i e j de G, n˜ao existe aresta em comum entre quaisquer dois subconjuntos Ci e Cj de C.

Logo, o IS pode ser formulado como um SPack. ´

E poss´ıvel se chegar a uma formula¸c˜ao mais forte, no sentido discutido no cap´ıtulo anterior, para o maxIS. Isto ´e conseguido substituindo-se as restri¸c˜oes do modelo anterior por restri¸c˜oes do tipo clique. Em cada uma destas restri¸c˜oes, todas as vari´aveis tem coeficientes nulos ou um. Os v´ertices cujas vari´aveis tem coeficiente um formam uma

clique no grafo original e o lado direito da desigualde tamb´em tem valor um. Com isto,

uma desigualde destas diz que, em uma clique de G, apenas um dos v´ertices pode pertencer ao IS e, portanto, sua validade decorre diretamente das defini¸c˜oes de cliques e conjuntos independentes em grafos.

Em [23] s˜ao dados alguns detalhes importantes sobre a formula¸c˜ao forte para o maxIS discutida no par´agrafo acima. Dentre elas destacamos que: (i) apenas as desigualdades associadas a cliques maximais precisam ser adicionadas ao modelo (veremos o porquˆe disto mais adiante) e, (ii) muito embora, em geral, o n´umero de cliques maximais de um grafo seja exponencial no n´umero de v´ertices do grafo, uma formula¸c˜ao PLI correta j´a ´e obtida se as cliques maximais associadas `as restri¸c˜oes do modelo formarem uma cobertura para as arestas do grafo de entrada. Ou seja, o maxIS admite uma formula¸c˜ao PLI que, na forma matricial, pode ser expressa por:

max z = cT_x

s.a Ax ≤ 1lk, x ∈ Bn_,

sendo que x ´e o mesmo vetor de vari´aveis da formula¸c˜ao dada anteriormente para o maxIS, enquanto que, na matriz A com dimens˜ao k × n e coeficientes bin´arios, o conjunto de v´ertices associados `as vari´aveis com coeficientes n˜ao-nulos em cada restri¸c˜ao formam uma clique maximal em G e as k cliques maximais representadas pela matriz formam uma cobertura das arestas de G. Este ´ultimo fato faz com que, para cada aresta (i, j) em E, existe pelo menos uma linha de A tal que i e j possuem coeficientes um. Novamente, fica evidente que o maxIS ´e um caso particular do SPack.

Passemos agora `a argumenta¸c˜ao de que o SPack pode ser reduzido ao problema do maxIS. Ou seja, precisamos mostrar que, dada uma instˆancia qualquer do SPack caracte- rizada pela matriz A e pelo vetor c, podemos transform´a-la em uma instˆancia do maxIS dada pelo grafo G(A) = (V, E) e custos nos v´ertices c′ _{tal que, ao obtermos o valor ´otimo}

do maxIS podemos calcular o resultado ´otimo do SPack. Para tanto, faz-se o seguinte: • Para cada vari´avel do SPack, associamos um v´ertice no grafo.

• Para i 6= j, a aresta (i, j) ´e inclu´ıda no conjunto E se e somente se existe alguma restri¸c˜ao do SPack onde os coeficientes das vari´aveis xi e xj s˜ao simultaneamente

• Para cada vari´avel xi do SPack, iguala-se o custo do v´ertice correspondente em V

ao custo da vari´avel xi, isto ´e, faz-se c′i = ci.

´

E f´acil ver que, com as transforma¸c˜oes descritas acima, cada restri¸c˜ao do SPack corres- ponde a uma desigualdade clique na formula¸c˜ao do maxIS resultante da redu¸c˜ao entre os dois problemas. Al´em disto, ´e imediato perceber que as solu¸c˜oes das instˆancias do maxIS e do Spack est˜ao em uma rela¸c˜ao um-para-um e que os seus custos s˜ao os mesmos nos dois problemas. Assim, resolver a instˆancia do SPack ´e equivalente a resolver a instˆancia do maxIS .

Uma ´ultima observa¸c˜ao, mas que ´e importante para esta disserta¸c˜ao, ´e que diferentes formula¸c˜oes para a mesma instˆancia do SPack podem levar, por meio da redu¸c˜ao descrita anteriormente, a um mesmo grafo de entrada para o maxIS. Para exemplificar esta ob- serva¸c˜ao, suponha que no problema SPack desejamos que as vari´aveis bin´arias xi, xj, xk

e xl n˜ao possam assumir simultaneamente o valor 1. Tal situa¸c˜ao poderia ser modelada,

por exemplo, pelos quatro conjuntos de restri¸c˜oes mostrados a seguir: 1.  xi + xj + xk + xl ≤ 1 2. _         xi + xj ≤ 1 xi + xk ≤ 1 xi + xl ≤ 1 xj + xk + xl ≤ 1 3. _                 xi + xj ≤ 1 xi + xk ≤ 1 xi + xl ≤ 1 xj + xk ≤ 1 xj + xl ≤ 1 xk + xl ≤ 1 4.    xi + xj + xk ≤ 1 xj + xk + xl ≤ 1 xi + xl ≤ 1

Embora seja f´acil perceber que todas estas formula¸c˜oes represente corretamente a situa¸c˜ao desejada, algumas levam a formula¸c˜oes mais fortes do que as outras. Para ilustrar esta afirmativa, note que o vetor {0.5, 0.5, 0.5, 0.5} ´e vi´avel para a formula¸c˜ao 3, mas n˜ao

para as demais. Por outro lado, qualquer solu¸c˜ao vi´avel para a formula¸c˜ao 1 ser´a vi´avel para as outras formula¸c˜oes tamb´em.

Fazendo-se a redu¸c˜ao do SPack ao maxIS como proposto nesta se¸c˜ao, podemos facil- mente associar resultados da teoria poliedral aplicados a um dos problemas ao outro. Esta observa¸c˜ao ´e bastante ´util para a nossa pesquisa, tendo em vista que podemos usar as desigualdades v´alidas fortes, especialmente as definidoras de facetas, que s˜ao conhecidas para o maxIS no desnvolvimento de algoritmos de planos de corte para o SPack. Nos artigos [7], [5], [6], [8], [11], [27], [21], [22], [26], [25], [28], entre outros, s˜ao introduzidas v´arias classes de desigualdades definidoras de facetas para o maxIS e alguns algoritmos de separa¸c˜ao para as mesmas. Tamb´em em [3] s˜ao apresentados diversos aspectos relativos ao estudo poliedral dos problemas de empacotamento, cobertura e parti¸c˜ao de conjuntos. Na pr´oxima se¸c˜ao vamos apresentar alguns dos resultados da literatura listados neste ´

ultimo trabalho.