A Combinatória e a Probabilidade possuem origens comuns. A teoria da Probabilidade – que atualmente é um ramo importante da Matemática pura, com um campo de aplicações que se estende praticamente sobre todos os ramos da ciência natural, técnica e social – teve começo muito modesto: suas raízes se encontram em uma teoria matemática elementar, a teoria dos jogos de azar, estabelecida há cerca de três séculos.
Nas obras de Bernoulli e de DeMoivre, a teoria dos jogos de azar foi desenvolvida à base da concepção clássica de Probabilidade, e vários métodos combinatórios e outros métodos matemáticos foram aplicados à mesma. As principais dificuldades encontradas no primeiro estágio da teoria da Probabilidade pertencem ao domínio da Combinatória, visto que, em muitos casos, o número de pontos do espaço amostral não é muito grande, permitindo assim a enumeração, listagem ou contagem direta dos pontos amostrais necessários para a determinação de probabilidades, mas surgem, entretanto, problemas nos quais essa contagem é praticamente impossível. Em tais casos, lança-se mão da Combinatória, que pode ser encarada como um processo sofisticado de contagem (SPIEGEL, 1978).
A Combinatória, o estudo dos arranjos dos objetos, é uma parte importante da matemática discreta. Este assunto vem sendo estudado desde muitos anos antes do século XVII, quando questões combinatórias apareceram no estudo de jogos. A enumeração, contagem de objetos com certas propriedades, é uma parte importante da Combinatória. [...], por exemplo, a contagem é usada para determinar a complexidade de algoritmos. Ela também é exigida para determinar se há números de telefone ou endereços de protocolo da Internet suficientes para atender a demanda. Além disso,
técnicas de contagem são extremamente usadas quando as probabilidades de eventos são computadas (ROSEN, 2009, p. 335).
Morgado et al. (1991) afirmam, ainda, que o primeiro passo para a resolução de um problema de Probabilidade consiste em “explicitar qual é o conjunto de possíveis resultados do experimento e calcular o número de elementos contidos nele” (p. 120). A determinação do espaço amostral, ou seja, do conjunto das diferentes possibilidades de eventos, é, portanto, uma construção de caráter combinatório que permite, ainda, que o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis sejam identificados. Nesse sentido, Batanero, Godino e Navarro- Pelayo (1996), destacam que “a Combinatória não é apenas um auxiliar no cálculo de probabilidades, mas existe uma estreita inter-relação entre a ideia de um experimento composto baseado em um espaço amostral discreto e as operações combinatórias” (p. 23, tradução minha).
Piaget e Inhelder (1951 apud NAVARRO-PELAYO; BATANERO; GODINO, 1996) apontam que se o sujeito não é capaz de raciocinar sob a luz da Combinatória, não conseguirá compreender a ideia de Probabilidade, exceto em casos nos quais experimentos aleatórios muito elementares sejam tratados. Além disso, ao analisar o uso do diagrama de árvore em Probabilidade e Combinatória, é possível também observar essa forte relação entre a determinação do espaço amostral de um experimento e as operações combinatórias.
Outras exigências cognitivas consideradas no presente estudo (aleatoriedade e comparação e quantificação de probabilidades) estão também relacionadas a problemas probabilísticos que demandam construções combinatórias, visto que todos são problemas que estão estreitamente ligados à compreensão dos respectivos espaços amostrais. No que diz respeito à aleatoriedade, é importante perceber que, para que se entenda eventos que não podem ser previstos, é necessário que se conheça e se analise todas as possibilidades a ele relacionadas. Por sua vez, para comparar e quantificar probabilidades corretamente, é preciso que os espaços amostrais em questão e o caráter proporcional de tal tipo de problema sejam considerados, levando-se em conta todos os eventos possíveis e não apenas os eventos favoráveis. Por fim, ao analisar a existência, ou não, de correlações, se lida com a investigação de dependência de eventos, sendo preciso distinguir as
associações possíveis – e se as mesmas são aleatórias ou estão genuinamente relacionadas.
São as relações que se estabelecem entre o raciocínio combinatório e o probabilístico o foco da presente pesquisa, visto que buscou-se investigar quais contribuições podem surgir para o desempenho na resolução de problemas combinatórios a partir da resolução de problemas probabilísticos e vice-versa. O interesse pela investigação desses dois raciocínios (combinatório e probabilístico) de maneira articulada se deu em função da indicação de relações entre eles presentes na literatura e em documentos curriculares, além do entendimento da importância da exploração de diferentes situações que atribuem sentido aos diversos conceitos inseridos no campo conceitual das estruturas multiplicativas, inclusive a partir da exploração de relações entre os mesmos.
No próximo capítulo, a Educação de Jovens e Adultos (EJA) é caracterizada com base na literatura e são levantadas as particularidades do ensino de Matemática para estudantes dessa modalidade de ensino. Além disso, são apresentadas as orientações curriculares para o ensino de Combinatória e Probabilidade na EJA, bem como discussões de estudos anteriores com focos na Combinatória, na Probabilidade e nas relações que se estabelecem entre tais áreas da Matemática.
3 REVISÃO DA LITERATURA
O presente capítulo visa, por intermédio de revisão da literatura, caracterizar o público alvo do estudo e apresentar o que se tem posto, em documentos curriculares oficiais e em estudos anteriores, sobre conhecimentos combinatórios e probabilísticos de estudantes da Educação de Jovens e Adultos (EJA), bem como sobre as relações existentes entre os raciocínios combinatório e probabilístico.
A EJA é caracterizada, na Seção 3.1, com base na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (BRASIL, 1996) e em trabalhos como o de Oliveira (1999) e o de Fonseca (2007). Essa caracterização busca evidenciar as particularidades dos estudantes atendidos por tal modalidade de ensino. Tais particularidades fazem com que seja importante que os conhecimentos e dificuldades apresentadas por esses estudantes, também, no que se refere à Matemática (incluindo Combinatória e Probabilidade), sejam objeto de estudo em pesquisas que visem trazer contribuições para a melhoria do ensino e, consequentemente, da aprendizagem dos mesmos.
Na Seção 3.2 são apresentadas orientações e expectativas de aprendizagem presentes em documentos curriculares (nacionais e do estado de Pernambuco) voltados para os diferentes níveis de escolarização na modalidade de ensino foco do estudo – EJA – (Fase 1, Fase 2 e Ensino Médio – cobrindo, portanto, etapas equivalentes a todo o Ensino Fundamental e Ensino Médio). A partir desse levantamento, buscou-se identificar se e como discussões acerca do ensino da Combinatória e da Probabilidade aparecem nos documentos referentes a cada etapa de escolarização e identificar, ainda, se há indicações da existência de relações entre os raciocínios combinatório e probabilístico e/ou orientações que sugiram um trabalho articulado de conceitos que vise o desenvolvimento de ambos os raciocínios.
Na Seção 3.3 são apresentados estudos anteriores que investigaram a Combinatória e a Probabilidade com estudantes de diferentes níveis de escolarização. Além disso, são evidenciadas relações entre o raciocínio combinatório e o probabilístico com base em estudos que trazem indicações da existência e da importância dessas relações para o desenvolvimento de ambos os raciocínios.
Por fim, na Seção 3.4, são apresentadas algumas das pesquisas desenvolvidas por integrantes do Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório e Probabilístico da Universidade Federal de Pernambuco – Geração UFPE –, grupo de estudos ao qual a presente pesquisa está vinculada. Os estudos desenvolvidas no âmbito desse grupo têm em vista proporcionar um acúmulo de conhecimentos, isto é, busca-se responder com novas pesquisas questões que ficaram em aberto anteriormente. Assim, dado esse caráter de continuidade, são destacados aqueles trabalhos que possuem mais estreita relação com o presente estudo.