Relatividade Geral como um Sistema Dinâmico

Koike, Hara e Adachi (1999) [29], mostraram que a evolução temporal, pró- xima à solução crítica, pode ser considerada como um grupo de renormaliza- ção, que ui no espaço de dados iniciais. Para equações diferenciais simples, parabólicas ou hiperbólicas, pode-se denir um semi-grupo discreto de re- normalização, atuando nas soluções das equações diferencias. Nesse aspecto, soluções são pontos xos, são invariantes por alguma escala bem denida e são, frequentemente, pontos críticos.

Nessa seção vimos que, com uma escolha apropriada de shift e lapso, pode-se transformar a evolução temporal, denida pelas equações do campo, em um sistema dinâmico.

4.5.1 A escolha de funções métricas

Vamos construir o espaço de fase com uma métrica (espacial) de uma varie- dade tridimendional e com a curvatura extrínseca da decomposição (3 + 1) do espaço-tempo [2].

Nessa seção, todos os dados iniciais são assintoticamente planos, para podermos representar um sistema isolado que possui auto gravidade.

Em uma notação sem muito rigor, as equações que têm a seguinte estru- tura

 ˙h, ˙K = F (h, K, α, β) ,

onde hij são as componetes da parte espacial da métrica, Kij são as compo-

nentes da curvatura extrínseca, α é a função lapso, β é a função shift e F é um operador diferencial não linear, de segunda ordem, e linear em α e β, são chamadas de equações ADM.

A evolução temporal de um sistema dinâmico é denida, em princípio, por equações que têm a forma das equações ADM. Essas equações contêm o shift e o lapso como campos arbitrários fornecidos.

Para obtermos um sistema dinâmico autônomo, precisamos de uma des- crição do sistema que dene um shift e um lapso, em conjunto com os dados inicias.

O shift e o lapso podem ser pensados como geradores innitesimais de coordenadas, devido a liberdade de escolha que a Relatividade Geral propor- ciona.

Por meio de um shift conveniente, podemos incorporar uma escala na evo- lução temporal de um sistema dinâmico. Através de uma escolha adequada

de lapso, podemos criar uma escala, denida por um intervalo temporal cons- tante.

Uma escolha de shift e de lapso que exige que os pontos xos do espaço de fase sejam espaços-tempo CSS, e que seus limites circulares sejam espaços- tempo DSS, nos fornece uma solução crítica do tipo 2 [19].

Alternativamente, podemos escolher o shift e o lapso de maneira que os pontos xos sejam soluções estacionárias e que seus limites circulares sejam periódicos. Assim, as soluções críticas apresentam os fenômenos críticos do tipo 1.

O shift e o lapso são independentes dos dados iniciais e eles apenas inu- enciam nas coordenadas da métrica.

Especicando as equações (α, β) = F (h, K), podemos substituí-las nas equações ADM e, então, adquirir as equações  ˙h, ˙K= F (h, K), que de- nem o sistema dinâmico [19].

Agora, temos condições de fazer a seguinte questão: Dado os dados ini- ciais, existe uma descrição do shift e do lapso de maneira que se esses têm informações de uma solução auto-similar, o resultado da evolução temporal é uma métrica, que apresenta auto-similaridade ? Ou seja, após a evolução de um campo escalar sem massa, minimamente acoplado, com simetria esférica, a métrica resultante tem a forma da equação (4.13) ?

Garnkle e Gundlach (1999) [16] conseguiram várias combinações de con- dições para o shift e o lapso, que deixa o espaço-tempo CSS invariante e coloca o espaço-tempo DSS dentro de um círculo limite.

Assim, a solução encontrada por Choptuik (1992) [7], para a evolução de um campo escalar sem massa, com simetria esférica e minimamente acoplado, possui um círculo limite, pois a solução de Choptuik é DSS. Mesmo sem ainda ter apresentado o signicado de soluções DSS, um esboço do círculo limite foi apresentado na gura 3.2.

A principal diculdade, na escolha de uma combinação de shift e lapso, está na especicação das equações (α, β) = F (h, K). Isso se deve às condi- ções de contorno adequadas, necessárias para xar o espaço-tempo CSS em um ponto xo (ou o espaço-tempo DSS em um círculo limite).

Assim, uma boa escolha de shift e lapso não é suciente para garantir que a solução seja auto-similar.

4.5.2 As variáveis do espaço de fase

Para obtermos dados iniciais que, após uma evolução temporal, a solução seja auto-similar, além de uma boa escolha de shift e lapso, é preciso uma escolha adequada de variáveis. Essas variáveis especicam as componentes

Z (xi), do vetor Z (x), e esse vetor é justamente, o vetor que determina o estágio do sistema dinâmico em um tempo xo.

Dado um espaço-tempo estático, ou periódico, é usual escolhermos h e K para serem as variáveis do espaço de fase.

Os dados de Cauchy, de um campo gravitacional, são as componentes da parte espacial da métrica, se considerarmos que hij xk

e Kij xk

são induzidos pelos dados de Cauchy, em uma parte do espaço-tempo denido pelo sistema de coordenadas da equação (4.5),

gµν τ, xi
= l2e−2τgµν xi
,

obtemos

hij(x, τ ) = l2e−2τhij(x) (4.60)

e

Kij(x, τ ) = l e−τKij(x) , (4.61)

onde i, j, k = 1, 2, 3 e as variáveis hij e Kij são determinadas pelo Momentum

e pela Hamiltoniana do problema [19].

Frequentemente, designa-se dimensões para essas variáveis, as coordena- das xi _{e τ são adimensionais, l e}−τ _{tem dimensão de comprimento e g}

µν tem

a dimensão de l2. Dessa denição, segue que h

ij e Kij tem dimensão de l2 e

de l, respectivamente e hij e Kij são adimensionais.

Note que é preciso a variável τ para construir as variáveis físicas, a partir das variáveis destacadas por barra.

Uma diculdade em formular a Relatividade Geral, como um sistema dinâmico, é que uma vez determinado o shift e o lapso, o espaço-tempo não necessariamente corresponde a uma única trajetória, no espaço de fase. E também, a solução crítica pode não corresponder a um ponto crítico.