Representação de Valores Especiais

A fim de corrigir incongruências de representação entre a notação adotada no padrão IEEE 754 e a aritmética clássica, foram definidas algumas representações especiais para valores que de outra forma não seriam representáveis.

Esta abordagem adotada pelo IEEE 754 não encontra equivalência em todos os sistemas que implementam algum tipo de representação de números reais. No padrão adotado no sistema IBM 370 por exemplo, todos os padrões de bits possíveis são utilizados para representar valores numéricos válidos. Neste padrão todas as operações que possam dar origem a valores não representáveis são encerradas como uma exceção acompanhada de uma mensagem de texto indicando a condição de falha [14].

No IEEE 754, foram definidas representações especiais para os seguintes casos:

• Zero – Devido ao padrão IEEE 754 não permitir a representação de números desnormalizados, foi necessário definir uma representação especial para o zero. Normalmente o zero só pode ser representado com o significando desnormalizado. A solução encontrada foi representá-lo como sendo o menor número representável na forma normalizada, ou seja, como -1s_{x1,0 x 2}emin-1_{. Desta forma, o zero é}

reconhecido por convenção e não diretamente por seu valor representado. Um outro detalhe importante na representação do zero no padrão IEEE 754, é que este dispõe de sinal, ou seja, existem +0 e - 0. Entretanto, a operação de comparação entre dois zeros retorna sempre verdadeira independente do sinal que estes assumam. A representação do zero com sinal é útil para definir o sinal do resultado de operações envolvendo o zero, as quais em alguns casos podem dar origem a +∞ e -∞. A Tabela 4 e a Figura 2.5 a seguir trazem exemplos práticos de representação do +zero e do -zero.

• NaN – Esta sinalização, que literalmente informa que o valor armazenado não é um número, é reservada para ser utilizada como resultado de diversas operações aritméticas tais como: 0/0, 0x∞, √(-1) e ∞ + (-∞), que por definição, devem ser sinalizadas como inconsistentes. Qualquer operação aritmética onde pelo menos um dos operandos seja NaN deve retornar um NaN como resultado. Todas as operações aritméticas de comparação ( = , < , ≤ , > , ≥ ) exceto ( ≠ ), onde pelo menos um dos operandos seja NaN devem retornar falso. O bit de sinal não tem função associada na representação do NaN. A Tabela 4 e a Figura 2.5 a seguir, trazem exemplos práticos de representação do NaN.

• Infinito – A representação de Infinito está reservada para demonstrar que um determinado número é, em módulo, maior que o maior número representável. Uma sinalização de Infinito tanto pode ser gerada em resposta a operações do tipo x/0, onde x≠0, como durante o processo de normalização e arredondamento. A semelhança do zero, o Infinito também tem sinal associado, o qual é útil para preservar o sinal das operações aritméticas. A Tabela 4 e a Figura 2.5 a seguir trazem exemplos práticos de representação do +Infinito e do -Infinito.

• Denormal – Esta representação foi adotada para tentar suprir a necessidade de sinalizar corretamente uma faixa de valores de ponto flutuante, comumente resultante de operações aritméticas, que apesar de serem corretamente representáveis no momento da operação em que são geradas, têm de ser convertidos para zero durante o processo de normalização e arredondamento por não poderem ser corretamente representados no modo normalizado. A Figura 2.3 a seguir indica a localização desta faixa de valores.

Como um exemplo para esta situação, podemos considerar a operação de subtração entre os números n1= 6.87 × 10-97 e n2= 6.81 × 10-97 ,

ambos em uma notação de base decimal com expoente mínimo igual a 10-98_{. O resultado exato desta operação é 0,06 x 10}-97_{, o qual após a}

normalização é representado como 6,0 x 10-99. _{Entretanto, como este}

não é um valor representável no formato de ponto flutuante adotado, conforme pode-se ver na Figura 2.3, porque causa um underflow no expoente, o mesmo deve ser arredondado para zero.

O problema é que situações como estas podem criar inconsistências em trechos de código do tipo:

if (n1 != n2)

then z = 1/(n1-n2);

Desta forma, a adoção de uma representação para números

denormalizados não apenas resolve problemas desta natureza como

aumenta a exatidão dos resultados das operações aritméticas, uma vez que define um novo conjunto de números representáveis, localizados entre o menor número positivo e o maior número negativo representáveis e o zero, conforme apresentado na Figura 2.4 a seguir:

Figura 2.3: Distribuição dos valores representáveis por números normalizados em ponto flutuante indicando a faixa de valores representado pelo zero

A fim de poder sinalizar esta nova faixa de valores de maneira diferenciada, uma vez que estes representam números obtidos a partir de um processo de normalização que não pode ser incluído, no padrão IEEE 754, a semelhança do que já ocorre com o número zero, estes números são representados, por convenção, associados ao expoente

emin-1, e não em relação a emin como seria de se esperar. Na prática, ao ser reconhecido como um número denormal, este deve ter seu expoente primeiramente convertido antes que possa ser operado.

Desta forma, adotando-se a representação dos números denormalizados, o resultado do exemplo anteriormente apresentado 6,0 x 10-99_{, seria agora representado como 0,6 x 10}-98_{. Isto aumentaria}

a precisão de sua representação e impediria a ocorrência de inconsistências como a apresentada no exemplo dado.

Deve-se ter uma especial atenção na implementação de operações com números denormalizados, uma vez que estes apesar de serem armazenados como números normalizados, devem ser operados como números desnormalizados, ou seja, com o bit escondido igual a zero. A Figura 2.5 e a Tabela 4 a seguir trazem exemplos práticos da representação dos números especiais no padrão IEEE 754.

Figura 2.4: Distribuição dos valores representáveis por números normalizados em ponto flutuante indicando a faixa de valores representados pelo números denormalizados

Tabela 4: Valores Especiais e suas representações segundo o padrão IEEE 754

Sinal Significando Expoente Zero X 1.000...0 0000...00 + Infinito 0 1.000...0 1111...11 - Infinito 1 1.000...0 1111...11 NaN X 1.NNN...N 1111...11 Denormal X 1.NNN...N 0000...00

Obs.: Na Tabela 4 e na Figura 2.5, X= bit com valor '0' ou '1' e NNN...N =string de bits, onde pelo menos uma das posições é diferente de zero.