Representação gráfica dos Elementos Primitivos e conceitos

A representação gráfica de um ponto isolado num plano, sem representar a interseção de outros objetos, é feita por um círculo de raio mínimo (na Seção 3.2 serão tratados de forma sucinta o círculo e o respectivo raio), pois na realidade o cumprimento desse raio é zero.

Um segmento de reta pode ser entendido como um trecho, “um pedaço”, de uma reta, limitado por dois pontos. Na Figura 2, a aresta delimitada pelos pontos A e B (assim como as demais arestas do bloco retangular) é um segmento de reta. A representação gráfica de um segmento de reta é feita por um retângulo com largura mínima, pois na realidade essa largura é nula.

A representação gráfica tradicional de uma reta é feita por um segmento de reta onde são acrescidas setas às extremidades do segmento de reta para indicar que se trata de uma reta, cujo comprimento é infinito. Além disso, um ponto P qualquer de uma reta r divide-a em duas semirretas de mesma origem P:

Figura 3: reta e ponto P da reta P

Fonte: o autor

Dois pontos quaisquer P e Q de uma reta r definem um segmento PQ, isto é, o segmento PQ é o conjunto formado pelos pontos P, Q e todos os pontos Rr que estão entre P e Q. Além disso, os pontos P, Q, R e todos os demais pontos de r são chamados colineares, isto é, que pertencem a uma mesma reta. Dizemos também que r é a reta suporte do segmento PQ.

Para representar a reta que contém os ponto P e Q usamos a notação PQ. Além disso, a reta PQ expressa também uma direção que possui dois sentidos. O símbolo RQ representa a semirreta com origem em R que contém Q e sinaliza o sentido de R a Q. Analogamente RP é a semirreta com origem em R que contém P e sinaliza o sentido de R a P.

Duas semirretas com origem comum, que possuem a mesma direção e sentidos opostos são semirretas opostas. Assim, um ponto qualquer R de uma reta r determina duas semirretas opostas.

R

P Q

Figura 4: semirretas opostas com origem no ponto R Fonte: o autor

Além disso, os segmentos PR e RQ são consecutivos. Dois segmentos de reta são consecutivos quando a interseção deles é apenas um ponto e este ponto é uma

extremidade de ambos os segmentos. Assim, PR e PQ não são consecutivos, pois a interseção deles não é apenas o ponto P, é todo o segmento PR.

Destacamos, ainda, que dois segmentos de reta são adjacentes quando forem consecutivos e colineares. Logo, PR e RQ são também adjacentes.

Voltamos agora ao objeto geométrico plano. Um plano possui infinitas retas. Uma reta r de um plano D divide D em dois semiplanos de mesma origem r.

Tradicionalmente um plano é representado graficamente por um paralelogramo (20). A imagem, a seguir, representa dois pontos P e Q pertencentes a um plano D e uma reta r contida em D. Observamos que Pr e Qr. Além disso, os pontos P e Q e a reta r são coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano.

r D

P Q

Figura 5: representação de um plano Fonte: o autor

A distância de P a Q é definida como a medida do segmento PQ. Alguns autores diferenciam a notação para a medida do segmento e para o segmento propriamente dito.

Assim, PQ pode representar o segmento e PQ a medida do segmento, ou vice-versa, isto é, PQ pode representar a medida do segmento e PQ o segmento, dependendo do autor.

Para representar distâncias ainda há as formas d(P,Q) = b ou PQ = b, onde b >

0, é um número real. Escolhemos representar segmentos por PQ e a medida por d(P,Q)

= b. Porém, em alguns casos vamos utilizar também a notação PQ para a distância, para simplificar as notações. Nesse caso, o contexto deixará claro que se trata de um comprimento.

O contexto deixará claro, também, quando uma letra minúscula está representando uma distância ou (exclusivo) uma reta.

Na Educação Escolar, Ensino Fundamental e Ensino Médio, a distância entre dois objetos no espaço é definida como a medida do segmento de reta de menor medida que une dois pontos desses objetos (23).

As principais unidades padrões de medida de segmento de reta, também chamada de comprimento ou dimensão linear, são a polegada e o metro. O metro é definido como o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo, enquanto que uma polegada equivale a 10000

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. do metro.

Dois segmentos de reta são congruentes se possuem a mesma medida.

Equivalentemente dois segmentos de reta são congruentes se um pode ser sobreposto sobre o outro de forma que um “cubra” completamente o outro e vice-versa.

O símbolo mais comum para indicar congruência é “#”. Para simplificar o entendimento e identificar segmentos congruentes usa-se o recurso de construir um número igual de “traços perpendiculares” (pequenos segmentos de reta) nos segmentos congruentes.

Na Figura 6, os segmentos PQ e RS são congruentes, assim como QU e QR, além disso:

ƒ Todos os segmentos de reta são coplanares;

ƒ Os segmentos RS e ST são os únicos colineares.

ƒ São consecutivos os pares: (PQ, QU), (UQ, QR), (PQ, QR), (QR, RS ) e (RS , ST).

ƒ São consecutivas as quadras: (PQ, QR, RS, ST) e (UQ, QR, RS, ST).

ƒ Os segmentos RS e ST são os únicos adjacentes.

Q DD U

3

R S T

Figura 6: segmentos de retas congruentes Fonte: o autor

De uma maneira geral duas figuras são congruentes se for possível através de movimentos rígidos, isto é, que não deformam a figura, ajustar a posição de uma até que fique sobreposta sobre a outra e todos os objetos (cada ponto que forma cada objeto) de uma cubram completamente e exatamente os mesmos objetos da outra e vice-versa. Os movimentos rígidos essenciais na verificação da congruência de figuras são a translação e a rotação.

A translação de um ponto é o simples deslocamento deste. Já a translação de uma figura é a translação de todos os pontos da figura de modo que a figura não seja deformada, isto é, todos os pontos da figura são submetidos ao mesmo deslocamento – não há diferenças importantes da translação do plano para a translação no espaço. Na Figura 6, pode-se verificar a congruência de segmentos transladando o segmento PQ de modo que P coincida com R.

A rotação de um ponto (ou uma figura) exige que se tenha uma referência e pode ocorrer tanto num plano como no espaço. No plano, a referência é um ponto que pode ser da própria figura. A figura então “gira” em torno do ponto de referência mantendo sua forma original, sem se deformar. Ainda, na Figura 6, pode-se verificar a congruência de segmentos rotacionando o segmento QR em torno de Q, de modo que R coincida com U.

A rotação e a translação são exemplos de isometrias, isto é, transformações que preservam distâncias (24).

As relações entre os elementos primitivos compõem uma extensa lista de definições, axiomas e teoremas. Neste trabalho essas relações serão formalmente apresentadas apenas quando forem utilizadas nas provas dos resultados principais.

Será necessário, também, citar diversos resultados, tanto da Geometria Espacial como da Geometria Plana, cujas respectivas demonstrações são encontradas com facilidade nas respectivas referências: (19), (20), (23), (25) e (26).

3.2 CONCEITOS DA GEOMETRIA PLANA UTILIZADOS NO CÁLCULO DOS OBJETOS