Representac~ao do Tempo

Os trabalhos de FLOUDAS e LIN (2004) e MENDEZ et al. (2006a) armam que a representac~ao do tempo e uma das caractersticas mais importante do modelo de otimizac~ao de um problema de programac~ao. A representac~ao do tempo dos modelos de otimizac~ao pode ser classicada como discreta ou contnua dependendo se os eventos da programac~ao ocorrem em instantes pre-denidos ou qualquer instante do horizonte.

A representac~ao de tempo discreta baseia-se em dois fundamentos: a divis~ao do horizonte em numero nito de intervalos de tempo com durac~oes pre-denidas; e os eventos da programac~ao apenas podem ocorrer nos instantes inicial e nal desses intervalos. Assim, o atendimento das restric~oes do problema de programac~ao deve ser assegurado somente nesses instantes de tempo pre-denidos o que torna mais facil a construc~ao do modelo matematico. Particularmente, torna-se mais evidente quando restric~oes de recursos e estoques s~ao consideradas na formulac~ao o que e observado por JOLY e PINTO (2003). Contudo, conforme FLOUDAS e LIN (2004) e MENDEZ et al. (2006a), esta abordagem possui desvantagens apesar de simplicar a formulac~ao do modelo matematico. O porte do problema de otimizac~ao e seu desempenho computacional dependem fortemente do numero de intervalos de tempo, que tende a ser maior para casos praticos da industria. Outra desvantagem e a possvel determinac~ao de soluc~oes subotimas ou mesmo inviaveis devido a um domnio mais restringido para as decis~oes temporais.

Segundo FLOUDAS e LIN (2004) e MENDEZ et al. (2006a), um numero consideravel de modelos de otimizac~ao emprega uma representac~ao de tempo contnua a m de contornar as desvantagens anteriores. As decis~oes temporais s~ao representadas por meio de variaveis contnuas que denem os instantes exatos nos quais os eventos ocorrem no horizonte. Em geral, este tipo de representac~ao possibilita tanto a reduc~ao do porte do modelo de otimizac~ao quanto a obtenc~ao de soluc~oes mais exveis em relac~ao as decis~oes temporais. Entretanto, conforme explicitado por esses autores, esta abordagem torna mais complexa a modelagem de restric~oes envolvendo limitac~oes de recursos e estoques.

O domnio de tempo adotado neste trabalho e similar a representac~ao de tempo contnuo utilizada no trabalho de MENDEZ et al. (2006b). As justicativas da adoc~ao de um domnio contnuo para as decis~oes temporais s~ao: maior exibilidade ao programar as operac~oes do sistema de mistura; e reduc~ao do porte do modelo quando comparado com a alternativa de adotar um domnio discreto.

O horizonte de programac~ao e dividido em um numero pre-denido de subintervalos, cujas fronteiras ser~ao denidas a partir das datas e horarios iniciais para o atendimento dos pedidos. Deste modo, ao organizar em ordem crescente os instantes T 0, T i_z e T h, essas fronteiras ser~ao denidas e, consequentemente, os subintervalos do horizonte. Por exemplo, o primeiro subintervalo iniciara em T 0 e terminara no instante dado por min

z2Z



T i_z . Assim, deve-se prosseguir buscando os proximos subintervalos ate que o ultimo seja encontrado, que obviamente tera seu instante nal igual a T h.

Uma vez que os subintervalos foram denidos, um conjunto de perodos com durac~ao desconhecida sera atribudo a cada subintervalo. O numero de perodos por subintervalo n~ao sera necessariamente uniforme, e dependera tanto da durac~ao do subintervalo, quanto do grau de exibilidade desejado para a programac~ao a ser obtida. Deste modo, utiliza-se o seguinte procedimento para determinar o numero de perodos por subintervalo.

descritos a seguir:

(i) O menor numero inteiro que seja maior ou igual a durac~ao do subintervalo, ou seja, T fs T is; e

(ii) Se existirem tanques de componente c operando em pulm~ao, isto e, Qec > 0,

ent~ao determina-se a menor raz~ao Vc Vc

Qec entre tais tanques e divide-se a

durac~ao do subintervalo por este valor.

Cada perodo tera instantes inicial e nal exveis que n~ao poder~ao violar as fronteiras do seu respectivo subintervalo. Deste modo, os limites inferior e superior do perodo t ser~ao iguais aos extremos equivalentes do subintervalo, ou seja, tem-se

T i_t = T is e T ft= T fs; 8t 2 Ts:

As Tabelas 4.1 a 4.3 mostram sucessivamente a construc~ao da representac~ao do tempo, seguindo-se os passos descritos, para um exemplo ctcio com horizonte de programac~ao de 7 dias. A Tabela 4.1 contem os dados das janelas de atendimento para 5 pedidos de clientes. Os dados da tabela anterior s~ao mostrados novamente na Tabela 4.2, porem os pedidos est~ao organizados em ordem crescente do valor do instante T i_z. Aos dados da Tabela 4.2 s~ao adicionados os instantes T 0 e T h, respeitando-se a ordenac~ao imposta pela segunda coluna, o que resulta na Tabela 4.3 que contem os subintervalos da representac~ao do tempo.

A ultima coluna da Tabela 4.3 contem o numero de perodos de cada subintervalo. Esses valores s~ao calculados considerando-se uma informac~ao adicional sobre o problema ctcio. Existem dois tanques de componente operando em pulm~ao que s~ao: TC-01 com volume operacional, Vc Vc, de 4704.14 m3 e vaz~ao de enchimento,

Qec, de 488.16 m3=dia; e TC-02 com volume operacional de 15534.37 m3 e vaz~ao

de enchimento de 7165.92 m3_{=dia. Assim, min} c  Vc Vc Qec  = 2:17. No caso do subintervalo S3, o numero de perodos e o maior valor entre os resultados dos itens (i) e (ii) que s~ao, respectivamente, 4.00 e 1.84. Portanto, este subintervalo possui 4

Tabela 4.1. Lista dos pedidos. z T i_z (dias) T f_z (dias) Z1 6.0208 6.5083 Z2 0.1979 0.6854 Z3 6.5417 6.7938 Z4 6.7917 6.9992 Z5 2.0208 2.5083

Tabela 4.2. Lista ordenada dos pedidos. z T i_z (dias) T f_z (dias) Z2 0.1979 0.6854 Z5 2.0208 2.5083 Z1 6.0208 6.5083 Z3 6.5417 6.7938 Z4 6.7917 6.9992 Tabela 4.3. Exemplo de representac~ao do tempo.

s T is (dias) T fs (dias)
Ts (dias) Perodos

S1 0.0000 0.1979 0.1979 1 S2 0.1979 2.0208 1.8229 2 S3 2.0208 6.0208 4.0000 4 S4 6.0208 6.5417 0.5209 1 S5 6.5417 6.7917 0.2500 1 S6 6.7917 7.0000 0.2083 1