Nesta se¸c˜ao apresentaremos algumas considera¸c˜oes gerais sobre representa¸c˜oes line- ares e projetivas e seus caracteres. Por fim, estudaremos o seu comportamento com rela¸c˜ao a extens˜oes centrais essenciais e extens˜oes por automorfismos externos.
Como j´a foi explicado no Cap´ıtulo 2, a teoria de representa¸c˜oes projetivas pode ser reduzida `a teoria de representa¸c˜oes lineares por meio de um grupo de representa¸c˜ao que ´e ´
unico, a menos de isoclinismos. Al´em disto, as classes de equivalˆencia de representa¸c˜oes projetivas irredut´ıveis, quando levantadas a dois grupos de recobrimento isocl´ınicos, s˜ao relacionadas de forma simples: uma ´e obtida da outra multiplicando-se os operadores re-
presentantes por n´umeros complexos apropriados. Em particular, a resposta `a quest˜ao se
existem representa¸c˜oes irredut´ıveis de uma dada dimens˜ao n˜ao depende da escolha do grupo de representa¸c˜ao que ser´a usado para levantar as representa¸c˜oes.
Uma outra simplifica¸c˜ao surge devido ao fato de que, quando uma representa¸c˜ao
projetiva de G ´e levantada a uma representa¸c˜ao linear de um grupo de representa¸c˜ao ˜G
de G, esta leva o centro de ˜G para um subgrupo finito de C× que ´e necessariamente um
grupo c´ıclico; portanto, o quociente de ˜G pelo n´ucleo da referida representa¸c˜ao linear ´e um
grupo de recobrimento M.G de G com M c´ıclico no qual a representa¸c˜ao projetiva original de G tamb´em pode ser levantada. Assim, atrav´es dos caracteres das representa¸c˜oes lineares
irredut´ıveis de G e de todos os grupos de recobrimento de G da forma Zn.G, as tabelas do
ATLAS providenciam uma completa classifica¸c˜ao de todas as representa¸c˜oes irredut´ıveis –
tanto lineares quanto projetivas – de G, para um grande n´umero de grupos finitos simples,
assim como suas extens˜oes por grupos c´ıclicos de automorfismos externos.
Existe tamb´em uma rela¸c˜ao entre as representa¸c˜oes – tanto lineares quanto proje- tivas – de um grupo finito G e qualquer uma de suas extens˜oes G.A por automorfismos externos. O resultado principal aqui ´e um teorema devido a Clifford (para representa¸c˜oes lineares) e a Mackey (para representa¸c˜oes projetivas), baseado unicamente no fato de que G ´e um subgrupo normal de G.A: ele afirma que uma representa¸c˜ao irredut´ıvel de G.A quando
restrita a G se decomp˜oe na soma direta de um certo n´umero r de c´opias de uma repre-
senta¸c˜ao de G que por sua vez ´e a soma direta de um certo n´umero s de representa¸c˜oes
irredut´ıveis de G que s˜ao mutuamente inequivalentes mas relacionadas pela a¸c˜ao de um ele- mento de A [95]; em particular, todas estas tˆem a mesma dimens˜ao d, o que implica que a dimens˜ao da representa¸c˜ao original de G.A ´e rsd. Reciprocamente, isto significa que as
representa¸c˜oes irredut´ıveis de G.A s˜ao obtidas por fus˜ao de um certo n´umero s de repre-
4.1 Representac¸˜oes, Caracteres e Extens˜oes 57
pela a¸c˜ao de um elemento de A, em uma ´unica representa¸c˜ao de G de dimens˜ao sd que, re-
petida com uma certa multiplicidade r, pode ser finalmente estendida a uma representa¸c˜ao irredut´ıvel de G.A de dimens˜ao rsd. O caso r = 1 ´e particularmente interessante e pode ser dividido em dois subcasos:
(i) r = 1 e s = 1.
Isto significa que quando a representa¸c˜ao irredut´ıvel de G.A ´e restrita a G ela permanece irredut´ıvel, ou reciprocamente, que a representa¸c˜ao irredut´ıvel de G pode ser estendida
a uma representa¸c˜ao irredut´ıvel de G.A. Esta extens˜ao n˜ao ´e ´unica, mas as v´arias
extens˜oes inequivalentes podem ser classificadas pelo grupo Hom(A, C×) de homomor-
fismos de A em C× [95]. No ATLAS, esta situa¸c˜ao ´e denominada “split case” (cis˜ao),
no sentido que uma extens˜ao cinde a representa¸c˜ao de G em v´arias representa¸c˜oes inequivalentes de G.A.
(ii) r = 1 e s>1.
Isto significa que quando a representa¸c˜ao irredut´ıvel de G.A ´e restrita a G ela cinde em s representa¸c˜oes mutuamente inequivalentes relacionadas pela a¸c˜ao de um elemento de A, ou reciprocamente, que s representa¸c˜oes mutuamente inequivalentes mas relacionadas
pela a¸c˜ao de um elemento de A fundem-se em uma ´unica representa¸c˜ao de G.A. No
ATLAS, esta situa¸c˜ao ´e denominada “fusion case” (fus˜ao).
Ademais, existem v´arios resultados que imp˜oem restri¸c˜oes sobre os poss´ıveis valores de r, s e d, dependendo da estrutura de A. Um destes resultados ´e o teorema de Conlon [95, p´ag. 276] que afirma que se A ´e c´ıclico e s = 1, ent˜ao r = 1, e assim reca´ımos no “split case”. No
que segue nos referiremos ao caso em que r>1 e s>1 como o “ generalized fusion case”.
Para nossa investiga¸c˜ao o “split case” ´e de menor interesse que o “fusion case”, j´a que uma representa¸c˜ao irredut´ıvel de G.A que permanece irredut´ıvel sob restri¸c˜ao a G pode ser detectada entre as representa¸c˜oes irredut´ıveis de mesma dimens˜ao de G, da qual ela foi obtida por extens˜ao. Al´em disso, a classifica¸c˜ao de todas as poss´ıveis extens˜oes ´e um exerc´ıcio simples: dada uma delas qualquer outra ´e obtida usando-se um homomorfismo de A
em C× [95, p´ag. 295]. Considerando o “fusion case” e o “ generalized fusion case”, podemos
afirmar em primeiro lugar que se v´arias representa¸c˜oes irredut´ıveis de G (equivalentes ou n˜ao) fundem-se em uma extens˜ao G.A de G por algum grupo A de automorfismos externos ent˜ao elas j´a devem fusionar, pelo menos parcialmente, em pelo menos uma extens˜ao G.Zn
de G por algum subgrupo c´ıclico Zn de A, e esta ´e uma informa¸c˜ao que pode ser lida
diretamente das tabelas do ATLAS. Finalmente, mencionamos que pelo fato de estarmos interessados em determinar as representa¸c˜oes irredut´ıveis de dimens˜ao 64, surgem severas
restri¸c˜oes sobre os trˆes n´umeros r, s e d: todos devem ser potˆencias de 2 e no “fusion case” ou
58 Representac¸˜oes de C´odons representa¸c˜oes inequivalentes de dimens˜ao d que fundem-se em pelo menos uma extens˜ao
Zn.G de G por algum grupo de automorfismos externos de G de ordem par n = 2m, com d
assumindo um dos valores 2, 4, 8, 16 ou 32.
4.2
Grupos Espor´adicos
O caso mais f´acil ´e o dos grupos espor´adicos, cujas tabelas de caracteres est˜ao todas no ATLAS. O resultado ´e que apenas um grupo espor´adico se qualifica, a saber o segundo
grupo de Janko J2 = HJ: ele possui duas representa¸c˜oes projetivas pseudo-reais de c´odons
que sob extens˜ao pelo grupo de automorfismos Z2 de J2 fundem-se em uma representa¸c˜ao
projetiva pseudo-real irredut´ıvel de J2.Z2 de dimens˜ao 128.