Vari´aveis de estado
Equac¸˜oes de estado e de sa´ıda Espac¸o e trajet ´oria de estados Representac¸˜ao matricial
Vari ´aveis de estado
1. Atrav´es da representac¸˜ao de sistemas dinˆamicos (lineares e invariantes no tempo) por func¸˜oes de transferˆencia, analisamos e projetamos controladores a partir da manipulac¸˜ao das vari´aveis de entrada e de sa´ıda das func¸ ˜oes envolvidas. Dize-mos neste caso que a representac¸˜ao ´e do tipo entrada-sa´ıda. A representac¸˜ao por vari´aveis de estado ´e do tipo interna, pois al´em das vari´aveis de entrada e de sa´ıda, vari´aveis internas do sistema dinˆamico tamb´em s˜ao representadas. O conceito fun-damental a ser discutido ´e o de estado.
Estado. O estado de um sistema dinˆamico pode ser definido como um conjunto de nvari´aveis denotadas porx1(t), x2(t),. . .,xn(t), chamadas de vari ´aveis de estado do sistema, cujo conhecimento num dado instantet=t0, aliado ao conhe-cimento da entrada do sistema para todot≥ t0, permite determinarx1(t),x2(t), . . .,xn(t)para todot≥t0.
2. Vari´aveis de estado n˜ao s˜ao necessariamente grandezas f´ısicas, embora a pr´atica recomende, quando for poss´ıvel, a escolha de vari´aveis que possuam interpretac¸˜ao ou significado f´ısico. A raz˜ao ´e que mais tarde essas vari´aveis estar˜ao envolvidas em estrat´egias de controle por realimentac¸˜ao.
3. Exemplo. Considere o sistema massa-mola-atrito ilustrado na Figura 17.1. O sistema ´e representado pela equac¸˜ao diferencial de segunda ordem
my(t) +¨ by(t) +˙ ky(t) =u(t).
Definax1(t) =y(t)(posic¸˜ao da massa) ex2(t) = ˙y(t)(velocidade da massa).
Derivandox1(t)ex2(t)em relac¸˜ao at, obtemos
˙
x1(t) = x2(t),
˙
x2(t) = −k
mx1(t)− b
mx2(t) + 1 mu(t).
PSfrag replacements u
y
m
k b
Figura 17.1: Sistema massa-mola-atrito.
Suponha que a posic¸˜ao e a velocidade da massa ´e conhecida no instantet=t0, isto ´e, conhece-se x1(t0) e x2(t0). Supondo tamb´em conhecida a entradau(t) (forc¸a aplicada `a massa) para todo t ≥ t0 ´e poss´ıvel integrar as duas equac¸ ˜oes diferenciais de primeira ordem e determinar a posic¸˜ao e a velocidada da massa para todot≥t0. Um m´etodo simples de integrac¸˜ao utiliza a chamada aproximac¸ ˜ao de Euler para a derivada:
x1(t0+ ∆)−x1(t0)
∆ = x2(t),
x2(t0+ ∆)−x2(t0)
∆ = −k
mx1(t)− b
mx2(t) + 1 mu(t),
em que∆>0 ´e um intervalo de integrac¸˜ao. O conhecimento dex1(t0),x2(t0)e u(t0)permite determinarx1(t1)ex2(t1)parat1 =t0+ ∆, informac¸˜ao que aliada ao conhecimento deu(t1) permite, por sua vez, determinarx1(t2)e x2(t2) para t2 = t1+ ∆, e assim sucessivamente para todo t = t0 +k∆, k = 0,1,2, . . ..
Desta forma x1(t) e x2(t) se qualificam como vari´aveis de estado do sistema.
Observamos que o comportamento de x1(t) e x2(t) anterior a t = t0 n˜ao ´e ne-cess´ario para a determinac¸˜ao do comportamento futuro do sistema, representado porx1(t), x2(t), t≥0.
Equac¸ ˜oes de estado e de sa´ıda
4. As equac¸ ˜oes diferenciais de primeira ordem que resultam da representac¸ ˜ao de um dado sistema dinˆamico atrav´es de vari´aveis de estado s˜ao chamadas de
equac¸˜oes de estado. A vari´avel de sa´ıda do sistema representa uma quantidade que pode ser medida atrav´es de um sensor. Diferentemente das equac¸ ˜oes de es-tado, diferenciais, a equac¸ ˜ao de sa´ıda ´e uma equac¸˜ao alg´ebrica. No Exemplo, se a vari´avel de sa´ıda for a posic¸˜ao da massa, a equac¸˜ao de sa´ıda ser´a
y(t) =x1(t),
Se a vari´avel de sa´ıda for a acelerac¸˜ao da massa, a equac¸˜ao ser´a y(t) =−k
mx1(t)− b
mx2(t) + 1 mu(t),
e haver´a tamb´em uma transmiss˜ao direta da entradau(t)para a vari´avel de sa´ıda.
No primeiro caso, a transmiss˜ao da entrada para a sa´ıda ´e indireta.
5. A obtenc¸˜ao de uma representac¸˜ao interna para o sistema, isto ´e, a definic¸˜ao de um conjunto de vari´aveis de estado e a descric¸˜ao de como essas vari´aveis se relacionam `as vari´aveis de entrada e de sa´ıda, n˜ao implica necessariamente no co-nhecimento dos valores que as vari´aveis de estado assumem em cada instante de tempo. Podemos apenas definir a vari´avel de entrada e medir a vari´avel de sa´ıda.
No Exemplo, sey(t) =x1(t), conhecemos a posic¸˜ao da massa, mas n˜ao sua velo-cidade. Sey(t) = ˙x2(t), conhecemos a acelerac¸˜ao da massa, n˜ao sua posic¸˜ao ou velocidade.
6. Sistemas dinˆamicos lineares e invariantes no tempo podem ser descritos atrav ´es de equac¸ ˜oes diferenciais lineares a coeficientes constantes. Suponha, por simplici-dade, que a descric¸˜ao diferencial do sistema de interesse n˜ao envolve derivadas da entrada. Neste caso, o sistema pode ser genericamente representado na forma
y(n)(t) +an−1y(n−1)(t) +· · ·+a1y(t) +˙ a0y(t) =u(t),
na qualy(n)(t) denota an-´esima derivada dey(t). A soluc¸˜ao da equac¸˜ao ´e uni-camente determinada pelo conhecimento dencondic¸ ˜oes de contorno, por exem-plo, y(t0), y(t˙ 0),. . . ,y(n−1)(t0) (condic¸˜oes iniciais), e da entrada u(t) para todo t ≥ t0. Qualquer equac¸˜ao diferencial de ordem n pode ser representada como um sistema denequac¸ ˜oes de primeira ordem. De fato, definindox1(t) = y(t), x2(t) = ˙y(t),. . . ,xn(t) =y(n−1)(t), obtemos
˙
x1(t) = x2(t),
˙
x2(t) = x3(t), ...
˙
xn−1(t) = xn(t),
˙
xn(t) = −a0x1(t)−a1x2(t)− · · · −an−1xn(t) +u(t).
Espac¸o e trajet ´oria de estados
7. O espac¸o de estados ´e o espac¸o real n-dimensional, no qual os eixos coor-denados representam poss´ıveis valores para as vari´aveis de estado x1(t), x2(t), . . . ,xn(t). O estado do sistema num instante de tempotqualquer ´e visto como um ponto no espac¸o de estados. No caso de um sistema representado por duas vari´aveis de estado, o espac¸o de estados ´e o planox1 ×x2, ilustrado na Figura 17.2.
PSfrag replacements
x1 x2
x(t0)
x(t1)
x(tf)
0
Figura 17.2: Espac¸o (plano) de estados.
A Figura 17.2 tamb´em ilustra a trajet ´oria de um sistema hipot´etico entre os estados x(t0) e x(tf), passando pelo estado intermedi´ario x(t1). O tempo fica impl´ıcito na descric¸˜ao da trajet´oria e n˜ao guarda nenhum tipo de proporcionalidade em relac¸˜ao ao trajeto executado. Entretanto, o trajet ´oria possui um sentido bem definido, indo dex(t0)ax(tf).
Representac¸ ˜ao matricial
8. Uma maneira conveniente de representarmos pontos (vetores) no espac¸o n-dimensional ´e atrav´es de um vetor-coluna:
x(t) =
x1(t) x2(t)
... xn(t)
.
Os sub-´ındices caracterizam as vari´aveis de estado (componentes) do vetorx(t). A
derivada dex(t)em relac¸˜ao ao tempo ´e, por definic¸˜ao,
A representac¸˜ao das vari´aveis de estado como um vetor conduz a uma notac¸˜ao matricial gen´erica para sistemas lineares invariantes no tempo, do tipo
˙
x(t) = Ax(t) +Bu(t), y(t) = Cx(t) +Du(t),
na qualA, B, CeDs˜ao matrizes constantes de dimens ˜oesn×n,n×1,1×ne 1×1, respectivamente. Quase sempre, por simplicidade de notac¸ ˜ao, omitimos as dependˆencias temporais dex(t),u(t)ey(t)e escrevemos simplesmente
˙
x = Ax+Bu, y = Cx+Du.
As matrizes constantesA,B,CeDpresentes na descric¸˜ao matricial recebem as denominac¸ ˜oes especiais de matriz de estados, matriz de entrada, matriz de sa´ıda e matriz de transmiss˜ao direta da entrada para a sa´ıda, respectivamente. No caso de sistemas SISO (uma entrada, uma sa´ıda), as matrizes B e C s˜ao na verdade vetores, coluna e linha, respectivamente, eD ´e um escalar.
9. Exemplo 1. Considere a representac¸˜ao por vari´aveis de estado associada ao sistema massa-mola-atrito discutido no exemplo anterior. As equac¸ ˜oes de estado e de sa´ıda s˜ao
Definindo o vetor de estados (n= 2) como x=
obtemos a seguinte representac¸˜ao matricial para as equac¸ ˜oes de estado e de sa´ıda:
As matrizes A, B, C e D referentes `as definic¸˜oes adotadas para o sistema massa-mola-atrito s˜ao as seguintes:
Os coeficientes das matrizes A, B, C e D (constantes, porque o sistema ´e invariante no tempo) dependem fundamentalmente das definic¸ ˜oes adotadas para as vari´aveis de estado e de sa´ıda. Diferentes definic¸ ˜oes levam a diferentes matrizes A,B,CeD.
10. Exemplo 2. As vari´aveis de estado naturais no modelo do pˆendulo invertido representado na Figura 17.3 s˜aox1 = θ, x2 = ˙θ, x3 = x ex4 = ˙x. O modelo diferencial linearizado do pˆendulo em torno da posic¸˜ao de equil´ıbrio inst´avel (θ= 0,x= 0) ´e
(M+m)d2x
dt2 +mld2θ dt2 =u,
ml2d2θ
Com as definic¸ ˜oes adotadas, obtemos
˙ Definindo o vetor de estados (n= 4) como
x=
a representac¸˜ao matricial das equac¸ ˜oes de estado e de sa´ıda do pˆendulo invertido assume a forma
˙ equac¸˜ao de sa´ıda assumir´a a forma
y =−αx1−βu=
−α 0 0 0
x+ [−β]u.
As matrizesA,B,C, eDrelativas a esta ´ultima representac¸˜ao para o pˆendulo invertido ser˜ao dadas por
Aula 18