Res´ıduos latentes - Regressão binária bayesiana com o uso de variáveis auxiliares

do vetor de parˆametros desconhecidos β.

O primeiro tipo de res´ıduo bin´ario aqui considerado ser´a o res´ıduo ri = yi− pi. Este

res´ıduo tem fun¸cão de distribui¸cão cont´ınua e é fun¸cão do vetor de parâmetros β, logo, o conhecimento a posteriori que temos sobre β será refletido na distribui¸cão a posteriori dos res´ıduos. O suporte do res´ıduo ri é o intervalo (yi− 1, yi). Assim, se o valor de yi e

a distribui¸cão a posteriori de pi estão em conflito, a distribui¸cão a posteriori do res´ıduo

estará concentrada nos valores extremos. A observa¸cão yi= 0 será considerada discrepante

se a distribui¸c˜ao a posteriori de ri estiver concentrada pr´oxima do valor −1. Por outro

lado, a observa¸cão yi = 1 será considerada discrepante se a distribui¸cão a posteriori de ri

estiver concentrada pr´oxima do valor 1.

Nos cap´ıtulos 2 e 3 foram descritas algumas formas de obten¸cão de uma amostra da distribui¸cão a posteriori do vetor de parâmetros desconhecidos θ para os modelos probito e log´ıstico (θ = β), e para o modelo probito-assimétrico [θ = (β, λ)⊤]. Seja{θ(t)}T

t=1 uma

amostra de tamanho T da distribui¸c˜ao a posteriori de θ. Como yi e xi s˜ao conhecidos,

para obter uma amostra destes res´ıduos, basta considerar r(t)_i = yi− Fλ(t)(x⊤_i β(t)), t≤ T .

A partir dessa amostra podemos obter medidas descritivas e densidades estimadas das distribui¸cões a posteriori dos res´ıduos. Albert e Chib (1995) propõem o uso de gráficos do tipo boxplot para representar as amostras geradas das distribui¸cões a posteriori dos res´ıduos contra as probabilidades ajustadas. Tais gráficos considerados conjuntamente ajudam a visualizar os res´ıduos discrepantes.

4.2 Res´ıduos latentes

Uma maneira alternativa de definir res´ıduos bayesianos é baseada no uso de variáveis auxiliares. Nos cap´ıtulos anteriores foram apresentadas representa¸cões do modelo de re- gressão binária dado em (1.1) utilizando variáveis auxiliares. O modelo (3.3) apresenta uma representa¸cão geral para modelos de regressão binária que abrange todos os modelos simétricos e assimétricos apresentados nos cap´ıtulos 2 e 3.

Podemos definir v´arios tipos de res´ıduos latentes sob o modelo (3.3). O primeiro res´ıduo

4.2 Res´ıduos latentes 37 latente que ser´a considerado aqui ´e dado por

ǫ∗_i(zi, β) = zi− x⊤i β. (4.1)

Esse res´ıduo foi definido por Albert e Chib (1993) para deteçcão de observa¸cões discrepantes em modelos com fun¸cão de liga¸cão simétrica. Entretanto, ele também pode ser útil para o diagnóstico em modelos assimétricos.

Para modelos simétricos, o res´ıduo dado em (4.1) é distribu´ıdo a priori com a mesma distribui¸cão utilizada para definir a fun¸cão de liga¸cão. Por exemplo, se o modelo adotado é o logito, então o res´ıduo (4.1) tem distribui¸cão a priori log´ıstica padrão. Por outro lado, se o modelo é assimétrico, o res´ıduo (4.1) também tem distribui¸cão a priori assimétrica. Entre- tanto, observamos que o parâmetro de assimetria desta distribui¸cão tem sinal contrário ao da distribui¸cão utilizada para definir a fun¸cão de liga¸cão. Por exemplo, no modelo probito- assimétrico dado em (3.6), F (u) = ΦCDS(u, λ) e o res´ıduo ǫ∗i(zi, β) tem fda ΦCDS(·, −λ),

seguindo a distribui¸cão da variável latente zi. Note que a distribui¸cão do res´ıduo ǫ∗i é fun-

¸cão do parâmetro de assimetria λ. Se λ não for conhecido, a distribui¸cão desse res´ıduo será fun¸cão da distribui¸cão a priori de λ. Por exemplo, quando λ é normalmente distribu´ıdo, a distribui¸cão a priori de ǫ∗_i é desconhecida e a interpreta¸cão do tamanho dos res´ıduos é prejudicada. Uma alternativa é utilizar uma estimativa pontual para esse parâmetro ou definir um res´ıduo que não dependa de parâmetros a priori. Deste modo, definimos o seguinte res´ıduo

ǫi(zi, wi, β, λ) = zi− (x⊤i β− λwi). (4.2)

Este res´ıduo tem distribui¸cão simétrica F com suporte nos reais. Se o modelo adotado é simétrico, o parâmetro de assimetria λ é igual a zero e o res´ıduo dado em (4.2) se reduz ao res´ıduo definido em (4.1). Se o modelo adotado é o probito-assimétrico, o res´ıduo ǫi tem

distribui¸c˜ao normal padr˜ao.

Para entender melhor como as observa¸c˜oes yi alteram a distribui¸c˜ao a posteriori dos

res´ıduos, considere a distribui¸cão a posteriori do res´ıduo (4.2) condicionado à _{{β, λ}. A} densidade desse res´ıduo é dada por

f (ǫi|y, β, λ) =        f (ǫi) F (x⊤_i β)I(ǫi >−x ⊤ i β) se yi= 1, f (ǫi) F (_−x⊤_i β)I(ǫi <−x ⊤ i β) se yi= 0, (4.3)

4.2 Res´ıduos latentes 38 sendo f a fun¸cão densidade associada a fda F definida em (4.2). A distribui¸cão a posteriori apresentada acima tem distribui¸cão F truncada, onde o ponto de truncamento é o negativo do preditor linear x⊤_i β. A distribui¸cão a posteriori do res´ıduo latente ǫiserá significamente

diferente da distribui¸cão a priori somente se as observa¸cões yi estão com sinais contrários

ao do preditor linear. A probabilidade desse res´ıduo ser maior que um valor pr´e-especificado k >_{| − x}⊤_i β_{| ´e dada por}

IP (_|ǫi| > k|y, β, λ) =        1_{− F (k)} F (x⊤_i β)I(ǫi >−x ⊤ i β) se yi= 1, F (−k) F (_−x⊤_i β)I(ǫi <−x ⊤ i β) se yi= 0. (4.4)

Por exemplo, no modelo log´ıstico, assumindo que yi = 1, a probabilidade desse res´ıduo

exceder k ´e dada por

IP (ǫi > k|yi= 1, β) =

1 + e−x⊤i β

1 + ek .

Mas, a probabilidade a priori deste evento ocorrer ´e igual a 1/(1 + ek_{). Portanto, estas}

probabilidades estarão mais próximas quanto mais próximo de zero for e−x⊤iβ, isto é,

quanto maior for o preditor linear x⊤_i β.

No modelo probito, quando yi= 1, a esperan¸ca e a variˆancia a posteriori de ǫi s˜ao dadas

por

IE(ǫi|yi= 1, β) = di e Var(ǫi|yi = 1, β) = 1− di(x⊤i β+ di),

respectivamente, sendo di = φ(x⊤i β)/Φ(x⊤i β). Estes momentos ser˜ao significamente dife-

rentes dos momentos a priori, IE(ǫi) = 0 e Var(ǫi) = 1, quando di for grande, ou equiva-

lentemente quando o preditor linear x⊤_i β é menor que alguma constante negativa C. Nos modelos simétricos em geral, os res´ıduos ǫi(zi, β), i = 1, . . . , n, podem ter variâncias

a priori diferentes de um. Portanto, para modelos de mistura no parˆametro de escala de normais, ou seja, quando F _{∈ F}S, com FS definido em (2.1), definimos o seguinte res´ıduo

τi(β, δi) =

zi− x⊤i β

p δi(ψ)

, (4.5)

sendo δ(ψ) e ψ dados em (2.4). O res´ıduo (4.5) condicionado `a_{{β, δ}i} tem distribui¸c˜ao nor-

mal padrão. Portanto, podemos utilizar esse res´ıduo e assumir que um ponto é discrepante com o mesmo critério utilizado para o caso probito, isto é, assumiremos que uma observa- ¸cão será discrepante se a probabilidade desse res´ıduo em módulo ultrapassar 1,96 for alta.

4.3 Aplica¸c˜ao 39

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