Resultados: Algoritmo do UKF Implementado para Determinação de Órbita

T ˆ y ˆ k k k k k k k k k k

K

K

K

sendo y o vetor de observações efetivamente medido no instante t_k k.

O processo se repete, a partir da Equação 6.7, o primeiro passo da etapa de propagação, para o próximo instante, tk+1. A média e a covariância do estado atualizadas no instante atual tk serão usadas para gerar, deterministicamente, os sigma-pontos do próximo instante.

6.2 Resultados: Algoritmo do UKF Implementado para Determinação de Órbita

Os resultados para o desenvolvimento e a implementação de um filtro de Kalman sigma-ponto não linear, baseado na transformação “unscented”, com o objetivo específico de determinar a órbita de um satélite artificial em tempo real e usando medidas GPS, são apresentados aqui.

O algoritmo é simples, compacto e resulta em um estimador recursivo de baixo custo computacional, o que o torna ideal para aplicações de tempo real. O modelo dinâmico inclui perturbações devidas ao geopotencial até ordem e grau 10×10. As medidas de pseudo-distância, de frequência L1, são usadas como vetor de observações. Não houve correção ionosférica no período de testes e os dados foram utilizados sem disponibilidade seletiva. Todos os resultados foram obtidos para um longo período de 24 horas de amostragem, referentes ao dia 05/01/1994, data da qual há disponíveis os arquivos do POE/JPL, usados como referência para determinar os erros dos resultados obtidos.

Inicialmente, foi implementado o conceito do UKF na fase de propagação do processo de estimação, utilizando o EKF na fase de atualização. Em seguida, o UKF foi implementado na fase de atualização, mantendo o EKF na propagação. Por último, o algoritmo do UKF foi completamente implementado, substituindo o EKF nas fases de

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propagação e de atualização. Esta foi a primeira vez, até onde se tem informação, que resultados de DO, utilizando o conceito do UKF e o processamento de dados reais pelo filtro, foram apresentados (PARDAL et al., 2009, 2009(a)).

Estes três estágios foram comparados entre si e também foram comparados aos resultados para o EKF (PARDAL et al., 2009, 2009(a)). Para avaliação do algoritmo do UKF, foi implementado um algoritmo do EKF simplificado e compacto, de baixo custo computacional, para DO de satélites artificiais em tempo real e a bordo, usando o sistema GPS. Este algoritmo funcionou como referência de avaliação dos resultados obtidos através do UKF no decorrer do desenvolvimento da tese e foi utilizado ainda para gerar os resultados obtidos através do EKF nesta tese, feitas as modificações adequadas a cada etapa da tese. O vetor de estado foi estimado pelo EKF e as equações da dinâmica consideraram perturbações devidas ao geopotencial até grau e ordem 10 (CHIARADIA, 2000).

As Figuras 6.2 e 6.3 apresentam os módulos dos erros em posição e em velocidade (∆r e ∆v) para as implementações através do UKF e do EKF. Os resultados dos estágios intermediários (implementação do UKF apenas na fase de propagação ou apenas na fase de atualização), como apresentaram o mesmo comportamento dos algoritmos que implementam o EKF e o UKF completos (nas fases de propagação e de atualização), serão mostrados apenas por meio das Tabelas 6.1 e 6.2. Na Figura 6.4 são apresentados os resíduos de pseudo-distância obtidos com o UKF como estimador. Como pode ser verificado através das referidas tabelas, o comportamento dos resíduos para o EKF e para os estágios intermediários é praticamente o mesmo que o do UKF. Com relação aos erros em posição e em velocidade, as Figuras 6.2 e 6.3 indicam que o UKF atinge valores RMS em torno de 29 m em posição e 0,04 m/s em velocidade, o mesmo acontecendo com o EKF. A Tabela 6.1 mostra que o UKF implementado apenas na propagação e o implementado apenas na atualização atingem os mesmos valores de RMS para os erros em posição e em velocidade. Isto leva a concluir que os comportamentos de posição e de velocidade são similares nas quatro implementações. Os valores estatísticos são apresentados em termos do RMS porque seu cálculo envolve a média e o desvio padrão através de RMS≈ (média)²+(desviopadrão)² , o que auxilia verificar se a consistência estatística está sendo atingida.

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De acordo com a Figura 6.4, os resíduos de pseudo-distância apresentam uma distribuição normal, com RMS próximo de 22 m para um período de 24 horas. E, conforme a Tabela 6.1, fica claro que os resíduos nas quatro implementações são muito parecidos, com comportamento e estatísticas bastante similares.

UKF - Geo 10x10 - dia 05/01/1994

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 tempo, [h] e rr o s r_est, [m] r_real, [m] v_est, [m/s] v_real, [m/s]

Figura 6.2 - Erros reais e estimados em posição e velocidade para o dia 05/01/1994 – implementação pelo UKF.

EKF - Geo 10x10 - dia 05/01/1994

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 tempo, [h] e rr o s r_est, [m] r_real, [m] v_est, [m/s] v_real, [m/s]

Figura 6.3 - Erros reais e estimados em posição e velocidade para o dia 05/01/1994 – implementação pelo UKF.

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UKF - Geo 10x10 - dia 05/01/1994

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 tempo, [h] re s íd u o s , [m ]

Figura 6.4 - Comportamento típico dos resíduos da pseudo-distância – implementação pelo UKF.

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Tabela 6.1 - Estatíticas dos quatro estimadores implementados

RMS Estimador ∆∆∆∆r (m) ∆∆∆∆v (m/s) resíduos (m) UKF 29,548 0,0412 22,477 UKF - atualização 29,547 0,0412 22,477 UKF - propagação 29,562 0,0411 22,443 EKF 29,561 0,0411 22,443

Nas Figuras 6.2 e 6.3, os erros reais em posição e em velocidade (curvas vermelha e cinza) estão abaixo dos erros estimados pelos filtros (curvas azul e verde), o que indica consistência estatística. Todos os estimadores levaram cerca de 1 hora para atingir valores de convergência.

Ao comparar os resultados obtidos para UKF completamente implementado, UKF implementado na atualização, UKF implementado na predição e implementação completa via EKF, todos resumidos na Tabela 6.1, pode-se concluir que para estes intervalos de amostragem e para as condições deste problema de DO, os quatro algoritmos são competitivos e apresentam comportamento e estatísticas muito semelhantes, conforme destacado na Tabela 6.1. É importante ressaltar que todos os resultados foram obtidos para dados reais de um receptor GPS a bordo do satélite T/P, ou seja, dados simulados não foram usados.

Os resultados indicam que a transformação “unscented” introduzida na fase de propagação, e em sequência na fase de atualização do filtro, foi bem sucedida, uma vez que o comportamento dos resultados continuou muito semelhante ao dos resultados obtidos com o EKF.

Um outro teste foi feito: comparação em termos de custo de tempo de processamento. O tempo de CPU foi medido em um computador Pentium 4 ® com 3,06 GHz e 1,00 GB de memória RAM. Havia 2880 épocas no intervalo de amostragem, o que significa uma nova amostra a cada 30 segundos. O número médio de medidas GPS,

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por época, foi 5,7, o que significa que foram processadas quase 6 observações de satélites GPS a cada época.

O tempo de CPU foi aumentando à medida que o EKF era substituído pelo UKF, como pode ser conferido na Tabela 6.2. A implementação pura do EKF levou cerca de 1 s para estimar o estado; em seguida, a substituição apenas da parcela de propagação pelo UKF levou cerca de 2 s; depois, somente a parcela de atualização foi substituída pelo UKF levou em torno de 3,5 s; e, por último, a implementação completa do UKF precisou de quase 5 s para processar as medidas e estimar o vetor de estado para o problema de DO, com medidas reais de satélites GPS.

Tabela 6.2 - Comparação de custo de tempo de processamento

Estimador tempo de CPU (s)

UKF 4,828

UKF - atualização 3,469

UKF - propagação 2,281

EKF 0,938

Neste problema, 2n + 1 sigma-pontos, sendo n o número de variáveis do estado, foram gerados a partir da média e da covariância iniciais. Este é o procedimento utilizado pela família de algoritmos SPKF para gerar os sigma-pontos. Devido a isso, era esperado que o tempo de CPU fosse cerca de 16 vezes maior no UKF que no EKF, já que neste problema específico o estado tem dimensão n = 8 e cada sigma-ponto é um vetor de dimensão 2n + 1. Na realidade, o tempo de CPU efetivamente aumentou, mas cerca de 5 vezes, de 0,938 s no processamento do EKF para 4,828 s no do UKF, ao invés das 16 vezes esperadas. Estes valores, mostrados na Tabela 6.2, fornecem evidências de que o tempo de CPU não é diretamente proporcional ao aumento na dimensão do estado causado pela geração do conjunto de sigma-pontos.

Esta etapa do desenvolvimento da tese de doutorado teve como objetivo implementar corretamente o algoritmo do UKF para o problema específico de DO com características de tempo real e dados reais GPS. Para tanto, foi escolhida a mais simples modelagem dinâmica: perturbações devidas ao geopotencial somente até

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ordem e grau 10. E, para verificar se a implementação estava correta, escolheu-se comparar os resultados com uma referência: o EKF aplicado ao mesmo problema, sujeito ao mesmo modelo dinâmico. É importante destacar que nestes resultados preliminares, pontos importantes foram atingidos na implementação do algoritmo do UKF, como convergência e consistência estatística entre valores estimados e erros. Tendo-se constatado que convergência e consistência estatística foram alcançadas, é possível agora concentrar esforços em diminuir os erros entre o estado estimado pelo filtro e a referência do POE/JPL. Na realidade, sabe-se que só se conhecem os erros estimados, da covariância do filtro. No entanto, como existem disponíveis arquivos do estado real do satélite, é possível se basear nesta referência de erro para verificar se os passos propostos para melhoria dos resultados foram eficientes. Em outras palavras, à medida que as novas ações propostas forem sendo executadas, mais efetivas elas serão quanto menor for o erro real resultante.

Buscando a melhoria dos resultados, o que se traduz em menores erros entre o estado estimado pelo filtro e o estado real de referência do POE/JPL, o próximo passo consiste em melhorar a precisão do modelo dinâmico adotado, aumentando a ordem dos harmônicos do geopotencial considerados e incluindo novas perturbações. Neste modelo dinâmico, para DO com características de tempo real, serão ainda incluídas a pressão de radiação solar direta e a atração gravitacional luni-solar, preponderantes no modelo do T/P, o satélite de teste deste trabalho.

Os resultados serão apresentados para os dois estimadores, UKF e EKF, já que os novos resultados obtidos pelo UKF devem sempre ser comparados a uma referência, no caso o mesmo problema de DO estimado por um filtro amplamente empregado e cujos resultados são aceitos e conhecidos: o EKF.

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