Resultados

Esta subse¸c˜ao apresenta os resultados obtidos ao ajustar o modelo (7.1) usando processos preditivos (equa¸c˜ao 4.10) com trˆes propostas diferentes que s˜ao, Aleat´oria, Diggle et al. (1998) e Finley et al. (2009). As duas primeiras propostas fazem referˆencia a escolha de pontos, enquanto a terceira al´em da proposta para escolha da grade sugere o uso da corre¸c˜ao apresentada na equa¸c˜ao 4.9. As diferentes propostas s˜ao comparadas com o modelo completo que ´e o modelo original (ver 3.1) usando todos os dados. Esta compara¸c˜ao ´e feita usando o EQM dos parˆametros β1 ,β2, τ2, σ2 e o parˆametro a.

• Aleat´orio

Foram escolhidos aleatoriamente 60 pontos pertencentes `a amostra original de 100 como sendo knots, para cada uma das 100 amostras. Depois foram selecionados 40 dentre os 60 knots iniciais, e por ´ultimo 20 pontos pertencentes ao conjunto de 40 knots foram selecionados aleatoriamente. O modelo preditivo foi implementado usando cada um dos conjuntos de knots para cada amostra. O EQM e o EQM relativo foram obtidos baseados no valor real dos parˆametros, e s˜ao apresentados na Tabela 7.1. Esta tabela tamb´em apresenta o tempo computacional m´edio em segundos que foi necess´ario para realizar as 20000 itera¸c˜oes.

Tabela 7.1: EQM dos parˆametros do modelo e m´edia do tempo computacional, para diferentes n´umeros de “knots”. (EQM relativo)

N´umero de “knots”

Parˆametro 20 40 60 completo

β1 0.0165 ( 0.0257 ) 0.0142 ( 0.0239 ) 0.0137 ( 0.0234 ) 0.0119 ( 0.0218 ) β2 0.0033 ( 0.0191 ) 0.0029 ( 0.0180 ) 0.0029 ( 0.0179 ) 0.0028 ( 0.0176 ) τ2 _{0.8770 ( 1.8730 ) 0.4510 ( 1.3432 ) 0.2568 ( 1.0134 ) 0.0437 ( 0.4183 )} σ2 4.2055 ( 1.0254 ) 3.0539 ( 0.8738 ) 2.8330 ( 0.8416 ) 3.5986 ( 0.9485 ) a 15.8147 ( 1.9884 ) 18.4749 ( 2.1491 ) 17.4142 ( 2.0865 ) 9.9243 ( 1.5751 ) Tempo (seg) 379.7637 692.3181 1268.411 2765.715

Na Tabela 7.1 pode-se observar que o EQM da estimativa dos parˆametros β1 e β2 n˜ao muda muito quando muda o n´umero de knots. A varia¸c˜ao de EQM para τ2 ´e mais not´oria, mas mesmo assim n˜ao ´e grande quando comparada com os resultados obtidos para o alcance. Ao olhar para o EQM relativo e comparar com o modelo completo, pode se observar que o parˆametro τ2 _{esta sendo mais afetado pelo} modelo de processo preditivo. Problemas com a estima¸c˜ao de τ2 foram discutidos e corrigidos em Finley et al. (2009). Pode-se observar que o tempo computacional m´edio diminui consideravelmente quando diminui o numero de knots.

Mas estes erros foram obtidos fazendo uso do valor do qual os dados foram gerados, o que pode estar afetando o valor do EQM . Como discutido na literatura, as estimativas dos parˆametros, por serem baseadas em apenas uma realiza¸c˜ao do processo espacial, podem ser bem diferentes do valor verdadeiro (no caso de dados simulados). Isso pode explicar por que estimativas usando menos pontos estejam dando um EQM menor do que usando o modelo original com os dados completos. Foi calculado, ent˜ao, o EQM baseado nos valores estimados com o modelo completo, esta ´e a melhor estimativa dispon´ıvel (no caso de usar todos

os dados). Assim a Tabela 7.2 apresenta os resultados baseados nas estimativas usando o modelo completo.

Tabela 7.2: EQM dos parˆametros do modelo e m´edia do tempo computacional, para diferentes n´umeros de “knots”, para proposta Aleat´oria.(EQM relativo)

N´umero de “knots” Parˆametro 20 40 60 β1 0.0039 ( 5.2339 ) 0.0022 ( 3.9689 ) 0.0011 ( 2.8393 ) β2 0.0012 ( 12.1861 ) 0.0005 ( 8.2841 ) 0.0003 ( 6.1355 ) τ2 0.8590 ( 21.1875 ) 0.4228 ( 14.8640 ) 0.2228 ( 10.7902 ) σ2 _{0.9012 ( 0.2638 ) 0.4706 ( 0.1906 ) 0.3350 ( 0.1608 )} a 4.0499 ( 0.2028 ) 2.9488 ( 0.1730 ) 2.1953 ( 0.1493 )

Nesta Tabela pode-se observar que o EQM vai aumentando quando diminui o n´umero de knots. Os parˆametros para os quais o EQM relativo varia mais s˜ao β1, β2 e τ2 sendo este ultimo o parˆametro com maior EQM relativo. Enquanto que o parˆametro de alcance apresenta o maior valor de EQM . Note que o uso de 20 knots leva a estima¸c˜ao ruim dos parˆametros β1, β2 e τ2.

• Proposta do Diggle et al. (1998)

Para esta proposta foi criada uma grade de tamanho 4 × 4 e usando a grade lattice plus close pairs proposta por Diggle et al. (1998) apresentada na Se¸c˜ao 5.2.4, foram escolhidas as grades com 20 , 40 e 60 knots, de forma que a grade com 20 pontos estivesse contida na grade de 40 que, por sua vez, tamb´em estivesse contida na grade de 60 pontos. Os resultados usando esse tipo de grade s˜ao apresentados na Tabela 7.3, onde pode-se observar que o EQM aumentou com respeito aos resultados apresentados na Tabela 7.2, especialmente para o parˆametro σ2 _{onde o} aumento ´e maior, o parˆametro τ2 tambem apresenta um incremento no EQM ao comprar com os outros parˆametros. Agora, para o parˆametro de alcance, o EQM diminuiu, o que era de se esperar com este tipo de grade. O tempo computacional m´edio apresenta um aumento quando comparado com a grade aleat´oria, mas tal

Tabela 7.3: EQM dos parˆametros do modelo e m´edia do tempo computacional, para diferentes n´umeros de “knots”. Usando a proposta do Diggle et al. (1998). (EQM relativo) N´umero de “knots” Parˆametro 20 40 60 β1 0.0025 ( 4.2036 ) 0.0022 ( 3.9380 ) 0.0017 ( 3.4999 ) β2 0.0011 ( 12.1743 ) 0.0007 ( 9.5005 ) 0.0005 ( 7.7719 ) τ2 _{0.9661 ( 22.4695 ) 0.6391 ( 18.2751 ) 0.4926 ( 16.0446 )} σ2 10.3727 ( 0.8950 ) 3.7000 ( 0.5345 ) 2.1036 ( 0.4030 ) a 2.7982 ( 0.1686 ) 2.2773 ( 0.1521 ) 1.6810 ( 0.1306 ) Tempo (S.) 386.75 716.07 1329.59

• Proposta do Finley et al. (2009)

A proposta do Finley et al. (2009) foi considerada para a escolha dos knots como foi visto na Se¸c˜ao 5.2.3, al´em disso foi considerada a corre¸c˜ao proposta por eles. No entanto, ao utilizar essa corre¸c˜ao, ela pode mudar consideravelmente o tempo computacional de nosso modelo de processo preditivo. Para exemplificar isso, foram programadas 3 formas diferentes de fazer a corre¸c˜ao proposta por Finley et al. (2009) e que v˜ao ser comparadas com o modelo de processo preditivo sem corre¸c˜ao. Para isso se usa o modelo linear espacial preditivo, com fun¸c˜ao de correla¸c˜ao exponencial, usando 20 knots onde ´e de se esperar que aconte¸ca um maior erro na estima¸c˜ao dos parˆametros e um menor tempo computacional. As 3 vers˜oes da corre¸c˜ao do Finley et al. (2009) s˜ao

i) Vers˜ao 1: A nova vari´avel ˜ ´e gerada em cada itera¸c˜ao. O parˆametro de escala ´e o ´unico passo de Metropolis dentro do modelo.

iii) Vers˜ao 3: Usa-se a proposta descrita em Finley et al. (2009), que n˜ao gera as vari´aveis latentes, o ´unico parˆametro que ´e gerado usando Gibbs ´e β, os outros parˆametros s˜ao gerados usando passos de Metropolis.

Para exemplificar as diferentes implementa¸c˜oes, foi usada apenas a amostra 1 dentre as v´arias simuladas. A inferˆencia sobre os parˆametros foi feita usando MCMC com 200000 itera¸c˜oes com um per´ıodo de Burn-in de 56000 e as amostras foram tomadas a cada 30 itera¸c˜oes da cadeia. A seguir se apresentam os principais resultados.

Tabela 7.4: Diagn´ostico de Raftery e Lewis e crit´erio de Geweke para compara¸c˜ao de 3 vers˜oes diferentes da modifica¸c˜ao de Finley et al. (2009). Per´ıodo de Burn-in de 56000.

Fator de dependˆencia (I) Crit´erio de Geweke

P P P P P P P P P P_P Parˆametro Vers˜ao

P. Preditivo Vers˜ao 1 Vers˜ao 2 Vers˜ao 3 P. Preditivo Vers˜ao 1 Vers˜ao 2 Vers˜ao 3

β1 1.040 0.974 0.991 0.974 1.2061 1.1446 0.6514 -0.5657 β2 1.060 0.991 2.310 0.974 0.2429 -0.9731 0.2374 -0.7145 τ2 _{1.040 1.010 1.190 1.030 1.2637 0.8466 -0.2809 -0.7179} σ2 _{0.991 0.991 1.010 1.040 -0.4354 -0.3001 0.8009 -1.0014} a 0.974 1.040 1.190 1.030 1.344 0.2483 -0.2781 -1.6406 tempo (S.) 921.06 2105.96 6146.79 11273.16 tempo (horas) 0.26 0.64 1.71 3.13

Na Tabela 7.4 se apresentam os resultados dos testes de Raftery e Lewis e do crit´erio de Geweke. Eles indicam que a amostra que foi obtida pode ser considerada como uma amostra n˜ao correlacionada e que a cadeia atingiu o estado est´avel para todos os parˆametros. O tempo computacional aumenta muito quando se usa a proposta de Finley na vers˜ao 3. A melhor das vers˜oes (neste caso) ´e a vers˜ao 1, que considera que gera amostras da vari´avel latente ˜, mas comparado com a proposta de Banerjee et al. (2008), o tempo computacional aumentou quase 3 vezes. As outras duas propostas superam o tempo computacional do modelo completo, o que faz com que estas propostas sejam ineficientes.

A Tabela 7.5 apresenta as estimativas dos parˆametros de interesse. Nele pode- se observar que h´a uma melhora na estimativa do parˆametro τ2_{. A diferen¸ca na} estimativa feita usando as trˆes vers˜oes da proposta do Finley ´e pequena, mas ao olhar para o tempo computacional delas pode-se observar uma diferen¸ca muito grande entre elas.

Tabela 7.5: Estimativa dos parˆametros nas 3 vers˜oes da modifica¸c˜ao de Finley et al. (2009).

Estimativa dos parˆametros

P P P P P P P P P P_P Parˆametro Vers˜ao

Valor Real M.Completo P. Preditivo Vers˜ao 1 Vers˜ao 2 Vers˜ao 3

β1 5 4.9421 4.9481 5.0105 4.9440 4.9451

β2 3 3.0502 3.0585 3.0344 3.0559 3.0565

τ2 0.5 0.6180 1.0004 0.6700 0.6382 0.6439

σ2 _{2 0.9004 0.9102 0.5665 0.8058 0.7913}

a 2 2.0162 1.9803 2.2748 2.3298 2.2703

Baseados nestes resultados, pode-se observar que o melhor jeito de fazer esta corre¸c˜ao ´e usando a vers˜ao 1 da corre¸c˜ao. Para ver um pouco do efeito da corre¸c˜ao e o efeito da grade proposta por Finley, foram feitas duas varia¸c˜oes da proposta. Para escolher os knots usando a proposta do Finely ´e preciso fazer pilotos para estimar os valores dos parˆametros que afetam o crit´erio de sele¸c˜ao de pontos dado pela equa¸c˜ao 5.2. Assim, a piloto inicial foi feita usando 10 pontos, depois foram adicionados 10 pontos para formar a grade com 20 knots, e usando esta ´ultima grade foi feita a piloto para gerar a grade de 40 pontos. A grade de 60 pontos foi gerada usando o conjunto de 40 pontos para fazer a piloto. Os resultados obtidos fazendo uso destas propostas s˜ao apresentados na Tabela 7.6.

Tabela 7.6: EQM dos parˆametros do modelo e m´edia do tempo computacional, para diferentes n´umeros de “knots”. Para diferentes combina¸c˜oes das propostas do Finley et al. (2009). (EQM relativo)

Corre¸c˜ao Grade Parˆametro N´umero de “knots”

20 40 60 β1 0.0091 ( 8.0460 ) 0.0092 ( 8.0854 ) 0.0092 ( 8.0949 ) β2 0.0034 ( 21.0090 ) 0.0034 ( 21.0796 ) 0.0035 ( 21.1397 ) Sim Finley τ2 _{0.4469 ( 15.2828 ) 0.4375 ( 15.1200 ) 0.4288 ( 14.9692 )} σ2 _{6.4706 ( 0.7069 ) 6.4556 ( 0.7060 ) 6.4243 ( 0.7043 )} a 28.5541 ( 0.5384 ) 27.9848 ( 0.5330 ) 23.5162 ( 0.4886 ) Tempo (S.) 2137.31 3508.68 5715.41 β1 0.0091 ( 8.0624 ) 0.0091 ( 8.0423 ) 0.0091 ( 8.0596 ) β2 0.0034 ( 20.9909 ) 0.0034 ( 21.0377 ) 0.0034 ( 21.0671 ) Sim Diggel τ2 _{0.4126 ( 14.6840 ) 0.3921 ( 14.3148 ) 0.3966 ( 14.3961 )} σ2 _{6.2978 ( 0.6974 ) 6.2594 ( 0.6952 ) 6.2847 ( 0.6966 )} a 42.0364 ( 0.6533 ) 31.1330 ( 0.5622 ) 24.0232 ( 0.4939 ) Tempo (S.) 1888.33 2841.502 4334.72 β1 0.0022 ( 3.9129 ) 0.0011 ( 2.7537 ) 0.0006 ( 2.0839 ) β2 0.0008 ( 9.9665 ) 0.0002 ( 5.2400 ) 0.0001 ( 4.1166 ) Nao Finley τ2 _{0.7544 ( 19.8563 ) 0.3354 ( 13.2388 ) 0.1916 ( 10.0073 )} σ2 _{2.4115 ( 0.4315 ) 0.2715 ( 0.1448 ) 0.0994 ( 0.0876 )} a 3.2380 ( 0.1813 ) 1.2504 ( 0.1127 ) 0.6758 ( 0.0828 ) Tempo (S.) 382.12 689.72 1289.33

No caso do uso da corre¸c˜ao e da grade de Finley et al. (2009), pode-se observar que em geral as estimativas dos parˆametros pioraram, com exce¸c˜ao do parˆametro τ2 com 20 knots para o qual o erro quadr´atico m´edio diminuiu quando comparado com os resultados obtidos para o design aleat´orio. Os parˆametros mais afetados com esta proposta s˜ao os parˆametros β1, β2 e o alcance, para os quais o EQM aumentou consideravelmente. Ao observar o tempo computacional, pode-se notar

apresentado na Tabela 7.1. O tempo usando 40 knots nesta proposta supera o tempo computacional do modelo que usa todos os dados, o que faz com que este m´etodo seja muito ineficiente.

A corre¸c˜ao do Finley et al. (2009) usando a grade de Diggle et al. (1998) apresenta maior EQM para o parˆametro de alcance do que a proposta que usa a grade de Finley. E, no que diz respeito aos EQM dos outros parˆametros e ao tempo computacional, a corre¸c˜ao do Finley apresenta um comportamento similar para as duas grades.

Usando a proposta original (ver Banerjee et al., 2008) com a grade de Finley et al. (2009), pode-se observar que a diferen¸ca no tempo m´edio ao usar a corre¸c˜ao do Finley e a proposta original ´e grande, o EQM do τ2 ´e maior que com a corre¸c˜ao, mas para os outros parˆametros esta proposta ´e melhor. Os resultados que o ´ultimo m´etodo apresentam s˜ao melhores que os apresentados na Tabela 7.1, pois em geral os EQM s˜ao menores, exceto para o parˆametro σ2 _{usando 20 knots para o qual o} EQM ´e maior, mas isso pode ser devido a amostra piloto ter apenas 10 pontos.

Note que a Tabela anterior n˜ao tem resultados da corre¸c˜ao do Finley et al. (2009) usando a grade aleat´oria que foi usada anteriormente. Isso se deve ao fato que o programa selecionado para fazer a corre¸c˜ao do Finley usa uma matriz diagonal onde os valores sobre a diagonal tem que ser maiores que zero para que a matriz seja invert´ıvel, e no caso da grade aleat´oria, existem muitos valores que s˜ao muito pr´oximos de zero, pois os knots pertencem `a amostra original.

Em conclus˜ao, pode-se observar que os melhores resultados foram apresentados pela proposta original de processos preditivos (sem corre¸c˜ao) usando a grade proposta por Finley. A grade de Diggle et al. (1998) melhorou as estimativas para o parˆametro de alcance mas prejudicou a estimativa de σ2_{. Enquanto a corre¸c˜ao do Finley melhorou}

a estimativa de τ2 mas piorou a estimativa dos outros parˆametros e aumento muito o tempo computacional.