O sinal 2 é um sinal com transições bruscas, por isso, espera-se que o erro de reconstrução para as bases de Daubechies e as biortogonais seja menor que o erro para as gaussianas. Os erros RMS para as escalas de 16 a 64 são mostrados nas Tabelas 4.9, 4.10 e 4.11. Nota-se que, de fato, as bases gaussianas são as que apresentam maior erro de reconstrução, mas esse erro não é muito superior ao observado para as outras bases. Para esse sinal, o número de amostras variou de acordo com a
(a) Resultado da reconstrução.
(b) Erros de reconstrução.
Figura 4.6: Sinal 1: reconstrução para transformadas feitas com as bases db1 e db2 e escalas de 16 a 64, para o caso de resolução altíssima e para quantização com 4, 8 e 12 bits, tanto para as amplitudes quanto para os coe cientes de Lipschitz.
Tabela 4.6: Erro RMS de reconstrução para o sinal 1, para escalas de 1 a 64. Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 0.0112 0.0088 0.0493 0.0304 0.0105
12 bits 0.0111 0.0088 0.0493 0.0303 0.0105 8 bits 0.0108 0.0097 0.0483 0.0292 0.0101 4 bits 0.0557 0.0628 0.0633 0.0533 0.0598
Tabela 4.7: Erro RMS de reconstrução para o sinal 1, para escalas de 1 a 64, quando apenas as amplitudes são quantizadas.
Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 0.0112 0.0088 0.0493 0.0326 0.0105
12 bits 0.0111 0.0088 0.0492 0.0325 0.0105 8 bits 0.0108 0.0096 0.0483 0.0312 0.0102 4 bits 0.0524 0.0533 0.0611 0.0570 0.0564
Tabela 4.8: Erro RMS de reconstrução para o sinal 1, para escalas de 1 a 64, quando apenas os coe cientes de Lipschitz são quantizados.
Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 0.0112 0.0088 0.0493 0.0326 0.0105
12 bits 0.0111 0.0088 0.0493 0.0326 0.0105 8 bits 0.0112 0.0089 0.0494 0.0324 0.0104 4 bits 0.0164 0.0218 0.0518 0.0294 0.0144
(a) Resultado da reconstrução.
(b) Erros de reconstrução.
Figura 4.7: Sinal 1: reconstrução para transformadas feitas com as bases gaus 1 e mexh e escalas de 1 a 64, para o caso de resolução altíssima e para quantização com 4, 8 e 12 bits, tanto para as amplitudes quanto para os coe cientes de Lipschitz.
(a) Resultado da reconstrução.
(b) Erros de reconstrução.
Figura 4.8: Sinal 1: reconstrução para transformadas feitas com as bases gaus 1 e mexh e escalas de 1 a 64, para o caso sem quantização e para quantização com 4, 8 e 12 bits. Apenas as amplitudes foram quantizadas.
(a) Resultado da reconstrução.
(b) Erros de reconstrução.
Figura 4.9: Sinal 1: reconstrução para transformadas feitas com as bases gaus 1 e mexh e escalas de 1 a 64, para o caso sem quantização e para quantização com 4, 8 e 12 bits. Apenas os coe ccientes de Lipschitz passaram pelo quantizador.
base utilizada: para as gaussianas, foram necessárias 65 amostras para a reconstrução, enquanto para as outras bases foi utilizado quase o dobro desse valor, 129 amostras, como mostrado na Tabela 4.1.
Já os erros RMS para as escalas de 1 a 64 são mostrados nas Tabelas 4.12, 4.13 e 4.14. Nota-se que os erros foram reduzidos para todas as bases com relação ao resultado para o primeiro conjunto de escalas, e o par de bases com menor erro para esse sinal continuou sendo o de bases biortogonais; além disso, pela Tabela 4.2, o número de amostras utilizadas para as bases gaussianas foi de 357 amostras, e de 615 amostras para os outros pares de bases. Portanto, a mudança do conjunto de escalas contribuiu para a redução do erro de reconstrução do sinal, mas com o custo de aumentar o número de amostras utilizadas, que chegou a ser pouco mais da metade do número de pontos do sinal 2 para as bases de Daubechies e as biortogonais.
Tabela 4.9: Erro RMS de reconstrução para o sinal 2, para escalas de 16 a 64. Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 22.0198 22.2514 18.7629 16.8464 19.6156 12 bits 22.0275 22.2673 18.7647 16.8517 19.6256 8 bits 22.1499 22.5042 18.8065 16.9048 19.7753 4 bits 26.1422 27.3219 21.7705 21.1148 27.3739
Tabela 4.10: Erro RMS de reconstrução para o sinal 2, para escalas de 16 a 64. Apenas as amplitudes foram quantizadas.
Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 22.0198 22.0810 18.5844 16.8464 17.7287 12 bits 22.0251 22.0916 18.5803 16.8426 17.7258 8 bits 22.1169 22.2370 18.5410 16.7375 17.6398 4 bits 25.3469 25.1860 19.5914 17.8079 18.2867
Para ilustrar o processo, a Figura 4.10(a) mostra o melhor resultado obtido para o primeiro conjunto de escalas, quando foram amostrados 129 pontos, e a Figura 4.10(b), o erro relativo associado. Para comparação, a Figura 4.11 mostra os resultados da reconstrução também para as bases bior1.1 e bior2.2, mas para as escalas de 1 a 64. Nesse caso, foram necessárias 615 amostras. Por m, a Figura 4.12(a) mostra o pior resultado obtido com o segundo conjunto de escalas, que utilizou 357 amostras, e a Figura 4.12(b) mostra o erro relativo para essa reconstrução.
Tabela 4.11: Erro RMS de reconstrução para o sinal 2, para escalas de 16 a 64. Apenas os coe cientes de Lipschitz foram quantizados.
Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 22.0198 22.0810 18.5844 16.8464 17.7287 12 bits 22.0222 22.0860 18.5911 16.8555 17.7399 8 bits 22.0534 22.1740 18.6802 17.0151 17.9375 4 bits 22.8572 24.2629 21.2102 20.6877 23.7835
Tabela 4.12: Erro RMS de reconstrução para o sinal 2, para escalas de 1 a 64. Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 13.3912 12.1783 10.4635 9.5713 10.8229 12 bits 13.4021 12.1858 10.4673 9.5786 10.8304 8 bits 13.5784 12.3103 10.5786 9.7300 11.0538 4 bits 17.9713 17.1706 15.4546 14.4917 15.6156
Tabela 4.13: Erro RMS de reconstrução para o sinal 2, para escalas de 1 a 64. Apenas as amplitudes foram quantizadas.
Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 13.3291 12.0811 10.4587 9.5713 10.5819 12 bits 13.3318 12.0821 10.4563 9.5728 10.5785 8 bits 13.3627 12.1083 10.4236 9.5856 11.5387 4 bits 16.1756 14.6068 12.6182 12.6729 12.5680
(a) Resultado da reconstrução.
(b) Erros de reconstrução.
Figura 4.10: Sinal 2: reconstrução para transformadas feitas com as bases bior1.1 e bior2.2 e escalas de 16 a 64, para o caso de resolução altíssima e para quantização com 4, 8 e 12 bits, tanto para as amplitudes quanto para os coe cientes de Lipschitz.
(a) Resultado da reconstrução.
(b) Erros de reconstrução.
Figura 4.11: Sinal 2: reconstrução para transformadas feitas com as bases bior1.1 e bior2.2 e escalas de 1 a 64, para o caso de resolução altíssima e para quantização com 4, 8 e 12 bits, tanto para as amplitudes quanto para os coe cientes de Lipschitz.
(a) Resultados da reconstrução.
(b) Erros de reconstrução.
Figura 4.12: Sinal 2: resultados da reconstrução para transformadas feitas com as bases gaus1 e gaus2 e escalas de 1 a 64, para o caso de resolução altíssima e para quantização com 4, 8 e 12 bits, tanto para as amplitudes quanto para os coe cientes de Lipschitz.
Tabela 4.14: Erro RMS de reconstrução para o sinal 2, para escalas de 1 a 64. Apenas os coe cientes de Lipschitz foram quantizados.
Quantização
Bases utilizadas
gaus1, gaus1, db1, bior1.1, rbio1.1, gaus2 mexh db2 bior2.2 rbio2.2 Altíssima resolução 13.3291 12.0811 10.4587 9.5713 10.5819 12 bits 13.3371 12.0878 10.4649 9.5771 10.5913 8 bits 13.4612 12.1900 10.6115 9.7176 10.8493 4 bits 15.3192 14.9636 13.4864 11.5869 13.3215
da reconstrução para a base biortogonal com escalas de 16 a 64 apresenta erro relativo que se mantém abaixo de 30% em grande parte do sinal, mas apresenta alguns pontos em que ultrapassa 50%, chegando a 70% de erro em um dos casos. Quando é usada a mesma base mas são aplicadas as escalas de 1 a 64, o resultado ca visivelmente melhor, mas ainda há um pico de erro pouco acima de 50%, mostrado na Figura 4.11(b). Esse erro de 50% parece ser devido a um deslocamento do sinal reconstruído em relação ao original, que pode ser devido aos próprios ltros utilizados e é mostrado na Figura 4.13. Esse comportamento do erro é semelhante ao mostrado na Figura 4.12, quando se mantêm as escalas de 1 a 64, mas são utilizadas as bases gaus1 e gaus2. Assim, mesmo para o pior caso da reconstrução do sinal 2 com escalas de 1 a 64, a reconstrução é feita com menos erros em relação aos casos com escalas de 16 a 64.
Figura 4.13: Zoom do resultado da Figura 4.11(a), evidenciando a defasagem do sinal reconstruído em relação ao sinal original.
A Figura 4.14 mostra o resultado da identi cação dos pontos de in exão para as bases gaus1 e gaus2 com escalas de 1 a 64, que permite observar a necessidade das aproximações do algoritmo.
Nota-se que o número de pontos de in exão identi cados apenas pela linha de coe cientes de maior escala é inferior ao número de pontos necessários à reconstrução, considerando a quantidade de pontos máximos e mínimos locais identi cados. Como o sinal 2 apresenta muitas variações bruscas de amplitude em todo seu comprimento, os coe cientes de maior escala não são su cientes para identi car todos os detalhes do sinal.