Resultados com Precondicionadores Fixos (Jacobi, ILU e SSOR)

6.3 Resultados num´ericos

6.3.2 Resultados com Precondicionadores Fixos (Jacobi, ILU e SSOR)

Apresentamos o resultado dos testes para os 17 problemas para os quais pelo menos um dos métodos convergiu, excluindo assim de nossa análise os problemas (2, 3, 12, 13, 18, 19, e 23), por terem divergido com todos os solvers com ou sem precondicionadores. Sendo assim, os gráficos que seguem se referem aos problemas (1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22 e 24).

Dentro desses 17 problemas o algoritmo de Newton Inexato sem precondicionador foi o único que convergiu para todos, sendo portanto o mais robusto nesse conjunto. Como vimos na subse¸cão 6.3.1, é preciso definir uma penaliza¸cão aos outros métodos que não convergiram em determinados problemas, de maneira que eles sejam classificados como piores métodos para os problemas em que ocorreu essa divergência. Essa penaliza¸cão

6.3 Resultados numéricos 41 pode ser espec´ıfica para cada problema ou pode ser usada uma penaliza¸cão geral. Escolhemos utilizar uma mesma penaliza¸cão para todos os problemas, modificando apenas quanto às variáveis analisadas (itera¸cões externas e internas e avalia¸cões de fun¸cão).

Problema Jacobi ILU SSOR

1 DIVERGIU DIVERGIU

4 DIVERGIU DIVERGIU

5 DIVERGIU DIVERGIU DIVERGIU

6 DIVERGIU 7 8 DIVERGIU 9 10 11 DIVERGIU DIVERGIU 14 15 16 17 DIVERGIU 20 DIVERGIU 21 22 24

Tabela 6.1: Convergência dos problemas com uso de precondicionadores fixos Para escolher o valor para penaliza¸cão é importante levar em conta a máxima razão entre as métricas dos solvers dentre os problemas onde houve convergência para todos os métodos. Isso porque esse valor deve ser tal que após aplicado resulte em razões sempre maiores que a referida.

Sendo assim escolhemos como valores de penaliza¸cão para os perfis de desempenho: • 1000 para o número de itera¸cões externas

• 1000000 para o n´umero de itera¸c˜oes internas

Com rela¸cão a eficiência dos métodos, percebemos que nos problemas para os quais convergiu o método precondicionado com SSOR teve o melhor desempenho. Para ilustrar essa compara¸cão em termos de eficiência, tra¸camos o perfil de desempenho dos métodos na resolu¸cão dos problemas para os quais o método com precondicionador SSOR convergiu. Da tabela anterior temos os seguintes problemas: 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22 e 24.

6.3 Resultados num´ericos 42

Figura 6.3: Perfil de desempenho das itera¸c˜oes externas, precondicionadores fixos, 13 problemas

Figura 6.4: Perfil de desempenho das itera¸c˜oes internas, precondicionadores fixos, 13 problemas

A partir das figuras 6.3 e 6.4 percebemos que o algoritmo precondicionado com SSOR foi o mais eficiente uma vez que ele toca o eixo vertical acima de todos.

6.3 Resultados num´ericos 43

6.3.3 Resultados com as estrat´egias adaptativas 1 e 2

Para analisar as duas estratégias apresentadas na se¸cão 6.1, fizemos os testes para os mesmos 17 problemas do teste com precondicionadores fixos. Sendo que, como esperado, a estratégia de troca só foi acionada em alguns dos problemas uma vez que o GMRES não acusou nenhuma das bandeiras para os outros problemas. Nesses casos em que não houve troca de precondicionadores, o método transcorre identicamente ao de precondicionador fixo, de maneira que o número de itera¸cões internas e externas são os mesmos nestes problemas.

Vamos analisar então os casos em que houve troca de precondicionadores. Como descrito na se¸cão 6.2, foram utilizadas 6 permuta¸cões dos 3 precondicionadores, deter- minando assim a ordem com que foram utilizados nas trocas.

• As permuta¸cões que iniciaram com o precondicionador ILU trocaram de precondicionador nos problemas 1 e 6 com a primeira estratégia e nos problemas 1,6 e 8. Todos esses problemas divergiram quando utilizado o precondicionador fixo ILU, porém mesmo com as trocas eles continuaram divergindo.

Problema ILU Fixo Estrat´egia 1 com ILU Estrat´egia 2 com ILU

1 Diverge Aciona Diverge Aciona Diverge

6 Diverge N˜ao aciona Diverge Aciona Diverge

8 Diverge Aciona Diverge Aciona Diverge

• Já no caso das permuta¸cões iniciadas com o precondicionador Jacobi foram acio- nadas trocas nos problemas 4,5 e 11 nas duas estratégias. Esses 3 problemas são os únicos que não convergiram quando utilizado o precondicionador Jacobi fixo. Para os problemas 4 e 11 a troca de precondicionadores proporcionou a conver- gência. No caso do problema 5, apesar das trocas ele não convergiu, o que era de se esperar haja vista que ele não covergiu com nenhum dos precondicionadores isolados.

Problema Jacobi Fixo Estrat´egia 1 com Jacobi Estrat´egia 2 com Jacobi

4 Diverge Aciona Converge Aciona Converge

5 Diverge Aciona Diverge Aciona Diverge

6.3 Resultados numéricos 44 • Finalmente, as permuta¸cões iniciadas com o precondicionador SSOR acionaram trocas nos mesmos problemas que o Jacobi, com exce¸cão da segunda estrategia que além desses acionou troca no problema 1. Também de maneira análoga, as trocas levaram a convergência nos problemas 4 e 11. Vale ressaltar que nesses dois problemas o único precondicionador com o qual o método convergiu no caso fixo foi o ILU. Além disso, o problema 5 continuou sem convergir apesar das trocas. Por último o problema 1 convergiu quando o primeiro acionamento da segunda estratégia trocou o SSOR pelo Jacobi. Sendo assim, a segunda estratégia utilizada com o ordenamento de precondicionadores SSOR-Jacobi-ILU divergiu apenas para o problema 5.

Problema SSOR Fixo Estrat´egia 1 com SSOR Estrat´egia 2 com SSOR

1 Diverge N˜ao aciona Diverge Aciona Converge

4 Diverge Aciona Converge Aciona Converge

5 Diverge Aciona Diverge Aciona Diverge

11 Diverge Aciona Converge Aciona Converge

Tomando o conjunto de problemas, tra¸camos agora uma tabela comparativa sobre a convergência dos métodos com precondicionadores fixos e com as duas estratégias iniciadas com SSOR (precondicionador fixo mais eficiente, no conjunto de problemas). Por meio da compara¸cão entre as colunas da tabela podemos perceber o ganho em utilizar as estratégias de mudan¸cas de precondicionadores, uma vez que houve uma diminui¸cão do número de vezes em que os problemas divergiram, passando a divergir apenas no problema 5.

6.3 Resultados numéricos 45 Problema Jacobi ILU SSOR Estratégia 1 Estratégia 2

1 DIVERGIU DIVERGIU DIVERGIU

4 DIVERGIU DIVERGIU

5 DIVERGIU DIVERGIU DIVERGIU DIVERGIU DIVERGIU

6 DIVERGIU 7 8 DIVERGIU 9 10 11 DIVERGIU DIVERGIU 14 15 16 17 DIVERGIU 20 DIVERGIU 21 22 24

Tabela 6.2: Convergˆencia dos problemas com uso das estrat´egias de mudan¸ca de precondicionadores

Nas figuras seguintes tra¸camos o perfil de desempenho [7], a fim de comparar o número de itera¸cões internas e externas dos métodos com precondicionadores fixos e das estratégias. Para tanto selecionamos a permuta¸cão nas duas estratégias que iniciaram com o SSOR. Além disso retiramos o problema 5 para o qual nenhum método precondicionado convergiu.

A partir das figuras 6.5 e 6.6, podemos perceber que as duas estrat´egias foram melhores que os precondicionadores fixos, e que a segunda estrat´egia foi melhor que a primeira nesse conjunto de problemas.

6.3 Resultados num´ericos 46

Figura 6.5: Perfil de desempenho das itera¸c˜oes internas, precondicionadores fixos e duas estrat´egias

Figura 6.6: Perfil de desempenho das itera¸c˜oes externas, precondicionadores fixos e duas estrat´egias

Cap´ıtulo 7

Conclus˜oes

Estudamos o precondicionamento pela esquerda no m´etodo de Newton Inexato - GMRES(m).

Vimos no cap´ıtulo 5 que há uma grande diversidade de precondicionadores dispo- n´ıveis na literatura e propomos duas estratégias que alternam os precondicionadores dentro do método de Newton Inexato de acordo com informa¸cões do GMRES, como descrito na se¸cão 6.1. Desse modo, se um precondicionador inicialmente escolhido não apresentar o comportamento desejado, poderemos trocá-lo por outro antes de iniciar uma nova itera¸cão no método de Newton Inexato.

A fim de testarmos estas estratégias, utilizamos três precondicionadores: Jacobi, ILU e SSOR. Para comparar o uso das estratégias propostas com o uso desses precondicionadores fixos ao longo de todo o método de Newton Inexato, testamos nossas estratégias na resolu¸cão dos problemas descritos na subse¸cão 6.2.1, retirados de Luk- san [13], [14] por meio do método de Newton Inexato-GMRES precondicionado. Os resultados obtidos foram analisados por meio de uma ferramenta que tra¸ca perfis de desempenho [7], e permite uma compara¸cão direta entre vários métodos na resolu¸cão de uma série de problemas, conforme descrito na se¸cão

Desse modo, apresentamos as seguintes constata¸c˜oes:

• Para o conjunto de problemas testado percebeu-se que o método do NI-GMRES sem precondicionadores é mais robusto, resolvendo mais problemas que os outros. Apesar disso o método precondicionado pelo SSOR foi mais eficiente, resolvendo mais problemas com um número menor de itera¸cões internas e externas.

• Comparando o resultado dos precondicionadores fixos e das duas estratégias percebemos um ganho, pois alguns problemas que não convergiam com precondicionadores fixos obtiverem convergência ao acionar uma troca de precondicionadores,

7.1 Perspectivas futuras 48 tornando assim os métodos mais robustos. Além disso, as estratégias de altera¸cão no precondicionamento são extremamente simples, de modo a não influenciar no custo computacional. Por outro lado, se o precondicionador não foi trocado, o método funcionará como um método de precondicionador fixo.

• Verificamos especialmente que o método da segunda estratégia possibilitou que, iniciando com o SSOR, seguido de Jacobi e ILU, obtivéssemos o melhor resultado para os métodos precondicionados, sendo que esse método não convergiu em apenas um dos problemas (5) e se mostrou o mais eficiente dos métodos testados.

7.1 Perspectivas futuras

Como vimos nas subse¸cões 6.3.2 e 6.3.3, apesar do método de Newton ter convergido em todos os problemas testados, o uso de precondicionadores possibilitou uma maior eficiência, especialmente quando foi aplicada a estratégia 2 proposta de mudan¸ca de precondicionadores.

Desse modo se apresentam duas poss´ıveis mudan¸cas para melhor avaliar o desempenho das estratégias de troca de precondicionadores: testar as estratégias para outro banco de problemas e modificar os precondicionadores. Dessa maneira seria poss´ıvel avaliar melhor a influência das trocas no desempenho do método.

Quanto à troca de precondicionadores acionada pela bandeira de precondicionador ruim, apesar de aproveitar informa¸cão do próprio algoritmo do GMRES, possui uma alternativa simples, uma vez que só aciona quando o precondicionador é considerado singular, cond(A) = inf pela precisão da máquina, de modo que precondicionadores com número de condi¸cão elevado podem ser considerados úteis ainda. Uma sugestão seria implementar um valor limite que implicasse na troca mesmo sem a bandeira do GMRES.

Referˆencias Bibliogr´aficas

[1] Bellavia, S. and Morini, B., A globally convergent Newton-GMRES subspace

method for systems of nonlinear equations, SIAM J. Sci. Comput., Vol. 23, No. 3,

pp. 940–960, 2001.

[2] Benzi, M. Preconditioning techniques for large linear systems: a survey, Journal of Computational Physics, Vol. 182, No. 2, pp. 418–477, 2002.

[3] Brown, P. N. and Saad, Y., Hybrid Krylov methods for nonlinear systems of equa-

tions, SIAM J. Sci. Stat. Comput., Vol. 11, No. 3, pp. 450–481, 1990.

[4] Cesari, L. Sulla risoluzione dei sistemi di equazioni lineari per approssimazioni

successive, Atti dell’Accademia Nazionale dei Lincei, Vol. 25, pp. 422–428, 1937.

[5] Dembo, R. S., Eisenstat, S. C. and Steihaug, T., Inexact Newton methods, SIAM J. Numer. Anal., Vol. 19, No. 2, pp. 401-408, 1982.

[6] Dennis, Jr., J. E. and Schnabel, R. B., Numerical Methods for Unconstrained

Optimization and Nonlinear Equations, SIAM Classics in Applied Mathematics,

1996.

[7] Dolan, E. D. and Mor´e, J. J., Benchmarking optimization software with perfor-

mance profiles, Math. Programming Ser. A 91, pp. 201–213, 2002.

[8] Eisenstat, S. C. and Walker, H. F. Choosing the Forcing Terms in an Inexact

Newton Method, SIAM J. Sci. Comput., Vol. 17, No. 1, pp. 16–32, 1996.

[9] Evans, D. J. The use of pre-conditioning in iterative methods for solving linear

systems with symmetric positive definite matrices, Journal of the Institute of the

Mathematics and Its Applications, Vol. 4, pp. 295–314, 1968.

[10] Ferronato, M. Preconditioning for Sparse Linear Systems at the Dawn of the 21st

Century: History, Current Developments, and Future Perspectives, Review Arti-

cle, International Scholarly Research Network Applied Mathematics, 2012. 49

50 [11] Gomes-Rugiero, M. and A., Rocha Lopes, V. L. and Toledo-Benavides, J. V. A sa-

feguard approach to detect stagnation of GMRES(m) with applications in Newton- Krylov methods, Comput. Appl. Math., Vol. 27, No. 2, pp. 175–199, 2008.

[12] Kelley, C. T., Iterative methods for linear and nonlinear equations, SIAM, 1995. [13] Lukˇsan, L., Inexact trust region method for large sparse systems of nonlinear equa-

tions, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 81 pp. 569–590, 1994.

[14] Lukˇsan, L. and Jan Vlcek, Sparse and Partially Separable Test Problems for Un-

constrained and Equality Constrained Optimization, Technical report No. 767 Ins-

titute of computer Science, Academy of sciences of the Czech Republic, 1999. [15] Paige, C. C. and Saunders, M. A. Solution of sparse indefinite systems of linear

equations, SIAM J. Numer. Anal., 12, pp. 617–624, 1975.

[16] Saad, Y. and Schultz, M. H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm

for solving nonsymmetric linear systems, SIAM J. Sci. Stat. Comput., Vol. 7, No.

3, pp. 856–869, 1986.

[17] Saad, Y., Iterative Methods for Sparse Linear Sistems, SIAM, 2003.

[18] Toledo-Benavides, J. V. Um m´etodo Newton-GMRES globalmente convergente com

uma nova escolha para o termo for¸cante e algumas estrat´egias para melhorar o de- sempenho de GMRES(m), 96p. Tese (Doutorado em Matem´atica Aplicada), Insti-

tuto de Matem´atica, Estatistica e Computa¸c˜ao Cientifica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2005.

No documento NI-GMRES precondicionado (páginas 51-61)