Ao longo do nosso estudo observamos as características dos professores de matemática em exercício e aos licenciandos com relação às atividades aplicadas. Algumas foram comuns como já citado anteriormente. Porém, não foi possível identificar alguns aspectos apenas através das notas de campo coletadas durante a aplicação da sequência didática. Por isso, fizemos uso de outro instrumento, o questionário. As características apresentadas através deste instrumento serão descritas a seguir.
Para tentar responder a pergunta da questão do estudo relacionada à compreensão que professores em exercício e licenciandos em matemática têm a respeito da resolução de equações do 2º grau, elaboramos um questionário (vide Apêndice A) com perguntas abertas e fechadas.
Ao responderem o que eles entendiam por uma equação do 2º grau (questão 5 do questionário), os licenciandos da terceira etapa definiram tal equação de maneira distinta. Eles relacionaram a equação do 2º grau, como: um polinômio igualado a zero cujo maior expoente possui variável dois; uma expressão do tipo ax² + bx + c = 0 onde são encontradas as raízes como solução; uma equação na qual a maior incógnita está elevada ao quadrado; uma equação que admite duas soluções ou uma ou nenhum para sua variável; uma forma algébrica de representação de uma parábola; uma igualdade; uma sentença matemática; um método usado para achar raízes de uma equação.
A definição de equação do 2º grau, não está bem determinada para a maioria dos licenciandos participantes do estudo. Alguns não responderam a esta pergunta, enquanto outros confundiram o conceito com o método para resolução da equação do 2º grau. Outros associaram a equação do 2° grau com suas raízes, sua representação algébrica, além do expoente da incógnita x². Alguns utilizaram o termo incógnita para se referir ao expoente, outros o termo variável quando deveriam utilizar o termo incógnita.
Analisando as respostas apresentadas pelos licenciandos, é possível identificar uma falta de clareza entre expressão algébrica, polinômio, sentença, função e equação. Achamos pertinente esclarecer a diferença entre os termos citados. Expressão algébrica é uma expressão formada por letras e símbolos numéricos como, por exemplo: a² - b². Um polinômio é uma expressão formada pela soma algébrica de vários monômios, por exemplo: x³ - 8x + 1. Uma sentença matemática relaciona quantidades expressa por palavras ou símbolos. Treze menos sete é igual a seis, é um exemplo de sentença matemática que podemos representar pela aritmética como 13 – 7 = 6. Temos como conceito de função: sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B. Temos como exemplo a função f: dada por f (x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a 0, denominada de função polinomial do 2º grau com uma variável, também conhecida como função quadrática. A função polinomial do 2º grau tem como representação gráfica a curva
que chamamos parábola. Por fim, equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras que representem números desconhecidos dessa sentença. Por exemplo: 3x² - 5x + 1 = 0.
Os professores de matemática em exercício da quarta etapa responderam que uma equação do 2º grau é uma equação de grau dois; é toda equação que possui duas raízes; é quando possui o coeficiente a elevado ao quadrado e pode originar duas raízes reais.
Também podemos perceber uma dificuldade dos professores em definir uma equação do 2º grau. Na maioria das vezes, os participantes descreveram características da equação, mas não citaram o conceito.
Perguntamos aos participantes qual método aprenderam para solucionar equações do 2º grau (questão 9 do questionário). Todos registraram o uso da fórmula de Bháskara. Apenas dois dos 29 licenciandos utilizaram o termo “fórmula resolutiva da equação do 2º grau”. Entre os dois, apenas um afirmou que o termo “fórmula de Bháskara” só é utilizado aqui no Brasil. Os professores também utilizaram o termo “fórmula de Bháskara” para definir o método utilizado para resolução da equação do 2º grau. Alguns licenciandos, assim como os professores, citaram como outros métodos de resolução estudados, o de formar um trinômio quadrado perfeito e as relações entre raízes e coeficientes em que a soma das duas raízes é descrita por e o produto das duas raízes é definido por
Quando questionados sobre que aspectos da História da Matemática relacionados à equação do 2º grau eles conheciam (questão 12 do questionário), os licenciandos citaram informações diversas. Afirmaram que conheciam o estudo do teorema de Pitágoras; o fato da solução da equação do 2º grau ter sido desenvolvida por Bháskara; o cálculo de áreas; citaram problemas da antiguidade envolvendo área e perímetro; afirmaram ter conhecimento sobre história egípcia, grega e geometria babilônica; expuseram que os babilônicos usavam a
resolução de problemas e as equações para resolver alguns destes problemas; que há o método de completar quadrado, onde se resolve equações do 2º grau; citaram aplicações de funções, resolução de problemas; além do estudo de quadrados perfeitos. Alguns licenciandos não responderam, outros afirmaram não lembrar ou não saber sobre aspectos históricos a respeito das equações do 2º grau.
Diante das respostas apresentadas, foi possível observar que os licenciandos apontaram seus conhecimentos históricos relacionados não só à equação do 2º grau. O que induz a percepção de que eles não leram atentamente a pergunta que era direcionada ao conhecimento histórico sobre equações do 2º grau ou que simplesmente desconhecem isso. Outro fato percebido é relativo à informação de que os babilônios utilizavam as equações para resolver seus problemas. O que podemos afirmar é que os problemas babilônicos remetem ao que hoje chamamos de equações do 2º grau quando utilizada a simbologia atual para representar o enunciado do problema. As ideias implícitas nos métodos utilizados para resolução dos problemas babilônicos provavelmente são baseadas na resolução geométrica, representada pela geometria corte e cole. Assim, as informações que alguns participantes têm a respeito das equações do 2º grau e sua resolução são imprecisas.
Os professores apontaram a relação do trinômio quadrado perfeito com a geometria como aspectos históricos relacionados à resolução da equação do 2º grau. Porém, nenhum dos participantes resolveu as equações do 2º grau propostas no questionário, pelo uso da geometria. Assim como os licenciandos, a maioria dos professores utilizou a fórmula resolutiva enquanto outros fizeram uso da relação entre raízes e coeficientes.
Sintetizando, diante do exposto anteriormente, entendemos que a compreensão que os professores e licenciandos em matemática têm a respeito da equação do 2º grau é confusa, não estando precisa sua definição. Em relação à resolução dessas equações, em nenhum momento houve alguma anotação referente aos conhecimentos geométricos que alguns afirmaram ter. Os participantes apenas reproduziram a técnica de resolução através do uso da fórmula resolutiva.
Objetivando responder ao questionamento referente à mudança da compreensão dos participantes acerca da resolução da equação do 2º grau, através do uso das atividades mediadas pela História da Matemática, aplicamos a sequência didática com os participantes e ao final de cada etapa indagamos sobre a abordagem utilizada para resolução das atividades sugeridas. Em todas as etapas, os participantes afirmaram que a proposta da sequência didática utilizada contribui para dar significado ao procedimento de resolução de equações do 2º grau através da manipulação algébrica a partir do método geométrico, tendo no recurso visual um fator positivo e favorável na utilização em sala de aula. Os professores complementaram afirmando que as atividades são apresentadas em uma sequência coerente para resolução de problemas, possibilitando justificar a fórmula resolutiva para os alunos. Eles ainda afirmaram que a abordagem história proporciona um significado a fatos matemáticos, em épocas e contextos diferentes indicando que os conceitos matemáticos têm origens históricas e são passíveis de entendimento também por parte dos alunos.
Percebe-se aí, uma coerência entre a fala dos participantes e o que já foi apresentado no corpo deste estudo. Entende-se que, a abordagem histórica pode resgatar situações problematizadoras conduzindo à redescoberta através de atividades como defende Mendes (2001), entre outros pesquisadores já citados.
Buscando identificar se os professores e licenciandos em matemática estão preparados para trabalharem com esse tipo de atividade, iremos definir alguns componentes que julgamos necessários para obtenção de tal preparo.
Componentes Preparo intelectual Conhecimento matemático Conhecimento histórico
FIGURA7 –Componentes para se trabalhar com atividades mediadas pela história. Fonte: Produção própria.
Entendemos que para a utilização deste tipo de abordagem é necessário um preparo intelectual além de fatores articulador e motivador. Em nossa opinião é preciso um conhecimento prévio dos conceitos que o professor abordará, além de fatos que envolvem seu desenvolvimento, resultando assim, na necessidade de um preparo intelectual. Tal preparo pode ser obtido através de uma boa formação profissional por meio de cursos de graduação ou formação continuada. Classificamos o preparo intelectual em dois tópicos: o conhecimento matemático e o conhecimento histórico.
O conhecimento matemático se faz necessário para que haja um conhecimento teórico possibilitando uma conexão entre conceitos e estruturas que possam fundamentar os procedimentos adotados no estudo de elementos da matemática. É necessário que haja uma comunicação entre o leitor e textos matemáticos. Sem o entendimento das técnicas adotadas e do simbolismo matemático, tal comunicação é dificultada, podendo até mesmo não existir.
Com relação ao conhecimento histórico muitas vezes não está presente na formação do professor de matemática. Assim, para esses professores há uma lacuna a ser preenchida por informações que proporcionem uma visão panorâmica do desenvolvimento da ciência.
Segundo Valdés (2006) a história nos proporciona um quadro no qual os elementos aparecem em sua verdadeira perspectiva, o que resulta em um grande enriquecimento, tanto para o matemático-técnico como para o que ensina. Além disso, proporciona uma visão dinâmica da evolução da matemática dependente do momento e das circunstâncias sociais, ambientais, dos prejuízos do momento, assim como dos mútuos e fortes impactos que a cultura em geral, a filosofia, a matemática, a tecnologia, as diversas ciências têm exercido
umas sobre as outras. Com essa visão dinâmica é possível identificar que “a ordem lógica não é necessariamente a ordem histórica, nem tampouco a ordem didática coincide com nenhuma das duas.” (VALDÉS, 2006, p. 16). Assim, o referido autor salienta que o professor deveria saber como as coisas acontecem para compreender melhor as dificuldades do homem genérico, da humanidade, na elaboração das ideias matemáticas e, através delas, as de seus próprios alunos; entender melhor a dedução das ideias, dos motivos e das variações da sinfonia matemática, além de utilizar este saber como um organizador da sua própria pedagogia.
Valdés (2006) esclarece que os que não possuem uma formação história, podem cometer o erro de ter uma visão linear e acumulativa do desenvolvimento da matemática, uma visão aproblemática e ahistórica não mostrando os problemas que geraram a construção do conhecimento, uma visão elitista apresentando o trabalho científico como um domínio reservado a minorias, além de uma visão descontextualizada socialmente neutra proporcionando uma imagem dos matemáticos fechados em ambientes e alheios à necessária tomada de decisão.
Tomando-se por base o que foi exposto, podemos indicar a necessidade de um conhecimento histórico como um unificador entre os conceitos matemáticos e os elementos que os envolvem. Assim, Mendes (2001) apresenta a existência de três aspectos correlacionais na matemática produzida e difundida socialmente: o cotidiano, o escolar e o científico. Para que haja um diálogo entre esses aspectos possibilitando praticar e dar ao conhecimento matemático uma visão transdisciplinar, o autor sugere a história da matemática procurando mostrar como a produção de conhecimento matemático se apresenta em diferentes contextos sócio-culturais e históricos.
De posse dos conhecimentos matemáticos e históricos é necessário o domínio de uma metodologia, por parte do professor, que possibilite ao aluno a construção do conhecimento matemático. Uma das possibilidades de tal metodologia é o uso de atividades que remetem a problemas didáticos fundamentados na história, porém não devemos fazer um recorte da
história e apresentar aos alunos. É preciso uma adaptação desse recorte para uso em sala de aula, assim isso requer um conhecimento e uma articulação pedagógica por parte do professor. Definimos essa adaptação pedagógica como o fator articulador em que o professor necessita adequar situações históricas para uso pedagógico. Neste sentido, é importante, segundo Bezerra (2008), que o futuro professor compreenda que diferentes épocas oferecem diferentes materiais didáticos ao ensino da história da matemática, os quais podem ser utilizados pedagogicamente em sala de aula. Em nossa visão o processo de adaptação pedagógica pode ser complexo para alguns professores que iniciam esse tipo de metodologia. Porém, é necessário ressaltar que as pesquisas relacionadas a essa abordagem metodológica estão avançando proporcionando situações enriquecedoras na qual podemos tomar como referências para construção de nossas próprias atividades.
Finalmente indicamos o fator motivador como outro componente necessário ao preparo do professor para utilização de atividades, como as abordadas durante este estudo. Entendemos que para elaboração de atividades mediadas pela História da Matemática, se faz necessário um levantamento histórico sobre o conceito que se pretende abordar e elementos que o cercam. Para isso é necessário que o professor disponha de tempo, tempo esse que muitas vezes não se faz presente no cotidiano do profissional em educação. Em geral, podemos indicar que o professor que se dispõe a pesquisar o faz devido ao interessepelo tema e percepção da utilidade do assunto, pela possibilidade de aplicação prática escolar ou pelo reconhecimento positivo dos resultados. Assim, o envolvimento emocional do educador é um fator importantíssimo para a efetivação de uma metodologia que requer um envolvimento como o uso de atividades mediadas pela História da Matemática.
Diante do exposto anteriormente, nossas impressões durante o estudo nos leva a acreditar que se o professor não possuir um dos componentes apresentados, provavelmente não estará preparado para utilização dessa metodologia. Partindo desse pressuposto, notamos a ausência desses fatores em alguns participantes do estudo. Nem todos os participantes dominavam os conceitos envolvidos na resolução das atividades, outros não detinham conhecimento histórico sobre equação e sua resolução e, alguns não se mostraram receptivos a utilização da sequência didática em sala de aula, embora admitissem a importância de tal
abordagem. Percebe-se aí uma dificuldade dos participantes do estudo, referente aos componentes que julgamos necessários para obtenção de um resultado satisfatório na construção do conhecimento matemático.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao final do estudo achamos pertinente fazer uma reflexão a respeito do uso das atividades mediadas pela História da Matemática. Dentre a postura dos participantes do estudo, podemos indicar a receptividade referente à sequência didática apresentada, embora tenha havido um desânimo inicial por parte de alguns participantes, que logo se envolveram com a resolução das atividades propostas. A maioria dos participantes apontou a sequência didática como pertinente ao uso em sala de aula para interagir as representações simbólica e geométrica, proporcionando um significado à fórmula resolutiva da equação do 2º grau.
Porém, nem todos os participantes demonstraram um interesse em trabalhar com esse tipo de abordagem metodológica. Alguns relataram pretextos para a não utilização das atividades em sala de aula. Eles relataram a falta de equipamentos e apoio da escola, deficiência dos alunos em domínio dos conceitos envolvidos na resolução das atividades, além da falta de interesse dos alunos em uma abordagem não imediatista, que preferem o uso de uma fórmula para obtenção de um resultado. Contudo, percebemos que a resistência maior em trabalhar com uma abordagem diferente da utilizada até então, está em alguns participantes e não em seus (futuros) alunos. Podemos indicar como possíveis causas da resistência a necessidade de tempo para pesquisa e elaboração de atividades, da necessidade de domínio do professor dos conceitos utilizados, além da visão relacionada à formação do aluno, em que algumas pessoas entendem que ensinar matemática é encher o quadro e reproduzir o método adotado em uma lista de exercícios semelhantes.
Neste sentido, indicamos algumas sugestões aos professores e licenciandos que utilizam as adversidades como empecilho na abordagem metodológica adotada neste estudo. Em relação à falta de equipamento da escola podemos fazer uso de materiais alternativos como transparências, figuras recortadas em papel, cartolina ou EVA, além do quadro para registrar desenhos e cálculos. A deficiência de alguns alunos nos conceitos abordados pode
ser revertida de um fator negativo para um fator positivo. Podemos utilizar a sequência didática como uma oportunidade de retomada desses conceitos em uma abordagem diferente da utilizada comumente em sala de aula, possibilitando seu entendimento e aplicação. Devemos ainda, não utilizar a resistência do aluno como um fator desmotivante. Alguns alunos são resistentes a mudanças, mas frequentemente conseguem se adequar a uma nova perspectiva relacionada ao ensino, quando identificam seus benefícios.
O uso de uma sequência didática requer um maior número de aulas se comparado a abordagem em que consiste na apresentação de uma fórmula para resolução de atividade. Alguns professores podem ver esse acréscimo da carga horária como algo negativo. Mas, caso haja um entendimento por parte dos alunos na resolução da equação do 2º grau, a quantidade de aulas utilizadas para a sequência provavelmente será menor da que o professor utilizará para que o aluno consiga compreender o método de resolução, quando apenas se faz uso de uma fórmula. Frequentemente, a apresentação de uma fórmula seguida apenas de sua aplicação, pode gerar a necessidade de retomada da explicação de seu uso, não avançando no estudo do conceito adotado.
Nessa perspectiva é preciso não desistir diante das adversidades surgidas durante a aplicação de uma abordagem metodológica diferente da adotada, tentando saber lidar com o impacto que o novo causa para algumas pessoas, principalmente relacionado ao ensino. Sabemos que há inúmeros desafios dentro de uma sala de aula, porém fatores como alunos desestimulados que podem desanimar o professor, políticas públicas deficientes, falta de comprometimento profissional por parte do professor, são obstáculos a serem superados visando um melhor aproveitamento relacionado ao ensino e a aprendizagem.
É importante lembrar que a partir do momento em que os participantes admitem que uma sequência de atividades mediadas pela História da Matemática pode contribuir para o ensino de equações, eles já deram um passo importante para a iniciação desse tipo de abordagem. Porém, é preciso um posicionamento mais otimista quanto a sua utilização em sala de aula, buscando alternativas para driblar as dificuldades existentes.
Finalmente, diante do que foi apresentado durante esse estudo, concluímos que uma abordagem da História da Matemática através de atividades para compreensão de um conceito, é pertinente para utilização em sala de aula, por propiciar ao aluno uma redescoberta, por meio de fatos verídicos ocorridos durante a evolução do conceito adotado, mostrando uma humanização da matemática, assim como atribuindo significado a processos adotados no ensino, fato que pode contribuir para tornar a matemática mais significativa para o aluno.
REFERÊNCIAS
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