Resultados: Estima¸ c˜ ao pelo m´ etodo de n´ ucleo e testes

Nesta se¸c˜ao apresentaremos resultados da estima¸c˜ao do VaR para diferentes com- bina¸c˜oes do parˆametro J (Jump) e p (MaxLag). Como veremos, mesmo para valores pequenos de tais parˆametros conseguimos boas estimativas do risco. Dessa maneira, fi- xamos s = 7000 (primeiras observa¸c˜oes) e n = 700 (´ultimas observa¸c˜oes) para estimar e testar respectivamente o Valor em Risco. Al´em desses parˆametros, tamb´em utilizamos J e p variados e o interesse, no presente trabalho, n˜ao ´e encontrar tais parˆametros ideais e sim mostrar que mesmo para J e p relativamente pequenos conseguimos estimativas de viola¸c˜oes que passam pelos testes.

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E poss´ıvel que existam diferentes distribui¸c˜oes para os retornos que consideraremos (BRENT, Ouro e ´Indice Nasdaq), portanto, n˜ao ´e esperado que os valores ideais de J e p sejam os mesmos para todos os ativos. A finalidade de J se resume em eliminar a estrutura de dependˆencia linear entre observa¸c˜oes e em princ´ıpio quanto maior o valor de p melhor pois se o modelo tiver uma defasagem menor os dados revelar˜ao isto de certa maneira e o ´unico custo de aumentar o p seria a perda de informa¸c˜ao com a elimina¸c˜ao das p defasagens iniciais. Entretanto, iremos perceber que a escolha de p que proporciona um melhor ajuste depender´a da s´erie em quest˜ao.

Em um primeiro momento, foi realizada a modelagem da s´erie do Ouro e, para tal, foram utilizadas para estima¸c˜ao do VaR o per´ıodo de 03 de janeiro de 1968 at´e 13 de setembro de 1995, enquanto serviram como intervalo para teste do VaR os dias entre 18 de janeiro de 2016 e 22 de outubro de 2018.

A Figura 27 ilustra a s´erie dos log-retornos no per´ıodo anteriormente citado, assim como o Var (di´ario) estimado. Tal gr´afico apresenta o VaR estimado para uma das

configura¸c˜oes ideais encontradas de J e p. No caso, para J = 4 e p = 6 o VaR estimado n˜ao foi refutado pelos backtests de Kupiec (1995) [12] e Cristofensen (1998) [13].

Figura 27: Log-Retorno e VaR estimado do Ouro para o conjunto Out of Sample e Jump=4 e p=6

Para a constru¸c˜ao da Tabela 5 definimos alguns pares de combina¸c˜oes para J e p tal que J = 1, 2, . . . , 5 e p = 1, 2, . . . , 6 totalizando um universo de 30 combina¸c˜oes. Com base em todas essas combina¸c˜oes podemos tirar algumas conclus˜oes para cada s´erie em particular.

Logo, na Tabela 5 podemos visualizar o comportamento das propor¸c˜oes de viola¸c˜oes para tais combina¸c˜oes (J ,p) e os respectivos p-valores para o Teste N˜ao Condicional e tamb´em Condicional, onde o primeiro visa identificar se as propor¸c˜oes de viola¸c˜oes encontradas s˜ao estatisticamente iguais a um n´ıvel de significˆancia α = 5% estabelecido e o segundo checa, al´em disso, se h´a independˆencia (hip´otese nula - H0) entre tais viola¸c˜oes.

(2,1) 2.143 0 0 (3,1) 4 0.209 0.334 (4,1) 3.714 0.103 0.166 (5,1) 3.714 0.103 0.013 (6,1) 4.429 0.49 0.733 (1,2) 1.857 0 0 (2,2) 2.571 0.001 0.003 (3,2) 3.857 0.149 0.022 (4,2) 3.857 0.149 0.09 (5,2) 4.857 0.862 0.077 (6,2) 4.714 0.726 0.058 (1,3) 1.714 0 0 (2,3) 1.857 0 0 (3,3) 3.571 0.068 0.007 (4,3) 3.571 0.068 0.034 (5,3) 3.571 0.068 0.034 (6,3) 4 0.209 0.451 (1,4) 1.429 0 0 (2,4) 2.429 0.001 0 (3,4) 3.714 0.103 0.166 (4,4) 3.857 0.149 0.004 (5,4) 4 0.209 0.135 (6,4) 4.429 0.48 0.347 (1,5) 2 0 0 (2,5) 1.429 0 0 (3,5) 3.714 0.103 0.264 (4,5) 3.286 0.027 0.083 (5,5) 4.429 0.48 0.005 (6,5) 3.857 0.149 0.004

Atrav´es da tabela acima notamos que, para esta s´erie em particular, valores de lag m´aximo (p) pequenos (em particular p=1,2) geram ajustes ruins uma vez que esperamos

α = 5% e, consequentemente, os backtests n˜ao os validam. Por outro lado, podemos dizer que, dentre o universo proposto (J = 1, 2, . . . , 5 e p = 1, 2, . . . , 6), existem combina¸c˜oes que geram boas estimativas do VaR de acordo com os backtests realizados..

Embora, em tese, s´eries de retornos possam apresentar um padr˜ao de dependˆencia no qual defasagens mais elevadas de que as que consideramos sejam importantes, notamos que, para esta s´erie do ouro, se p = 3 conseguimos encontrar combina¸c˜oes satisfat´orias variando o parˆametro J , ou seja, para p razoavelmente pequeno encontramos um bom ajuste para modelagem do risco.

De semelhante modo, podemos realizar a an´alise para a s´erie dos retornos do Petr´oleo Europeu - BRENT. A Figura 28ilustra o comportamento dos log-retornos do ativo assim como os valores estimados para o Value at Risk no conjunto Out of Sample. Para este gr´afico foi considerada a configura¸c˜ao Jump=1 e p=4 dentre todas aquelas combina¸c˜oes consideradas ideais.

Figura 28: Log-Retorno e VaR estimado do Petr´oleo Europeu (BRENT) para o conjunto Out of Sample e Jump=3 e p=4

A Tabela 6 apresenta, para o mesmo universo de combina¸c˜oes visto no exemplo ante- rior, os resultados para a s´erie BRENT utilizando o m´etodo proposto.

(2,1) 4 0.209 0.141 (3,1) 4.714 0.726 0.83 (4,1) 4.857 0.862 0.948 (5,1) 7.286 0.009 0.033 (6,1) 6.429 0.096 0.1 (1,2) 4.429 0.48 0.185 (2,2) 4 0.209 0.141 (3,2) 4.429 0.48 0.185 (4,2) 5.143 0.863 0.761 (5,2) 6.571 0.068 0.161 (6,2) 6.857 0.032 0.1 (1,3) 4.286 0.375 0.176 (2,3) 4.571 0.598 0.795 (3,3) 3.857 0.149 0.353 (4,3) 4.857 0.862 0.948 (5,3) 6.286 0.133 0.32 (6,3) 5.571 0.495 0.512 (1,4) 4.571 0.598 0.187 (2,4) 4.143 0.284 0.161 (3,4) 4.857 0.862 0.863 (4,4) 5.571 0.495 0.079 (5,4) 5.714 0.396 0.622 (6,4) 6.571 0.068 0.161 (1,5) 4.286 0.375 0.176 (2,5) 4.714 0.726 0.83 (3,5) 4.714 0.726 0.183 (4,5) 4.714 0.726 0.883 (5,5) 5.143 0.863 0.761 (6,5) 6.571 0.068 0.069

Notamos que, para este ativo, obtivemos mais combina¸c˜oes que gerassem resultados satisfat´orios para os backtests. Assim, diferentemente do Ouro, para p = 1 conseguimos

aceitar ambos os testes e a propor¸c˜ao de viola¸c˜oes sob α = 5% pode ser estatisticamente aceita. Destacamos, em negrito, as combina¸c˜oes (4,1) e (4,3), que embora tivessem valores de J distintos, os p-valores dos testes foram bastante significativos. Portanto, usar (4,3) pode ser mais vi´avel do que utilizar a combina¸c˜ao (4,1) uma vez que com J = 3 reduzido, a dependˆencia estrutural linear da matriz In Sample se torna menor e, consequentemente, o tempo computacional para gerar os resultados tamb´em.

Para o caso do ´Indice NASDAQ explorado, podemos visualizar atrav´es da Figura 29 o seu log-retorno e o VaR estimado via m´etodo proposto. As mesmas combina¸c˜oes utilizadas nos casos acima foram replicadas para este caso.

Figura 29: Log-Retorno e VaR estimado do ´Indice NASDAQ para o conjunto Out of Sample e Jump=5 e p=1

A Tabela 7 representa os resultados obtidos para estima¸c˜ao do VaR via m´etodo de n´ucleo.

(2,1) 7.143 0.014 0.021 (3,1) 6.571 0.068 0.19 (4,1) 7.714 0.002 0.006 (5,1) 7.857 0.001 0 (6,1) 8.714 0 0 (1,2) 5.857 0.31 0.359 (2,2) 8.143 0 0 (3,2) 6 0.239 0.143 (4,2) 8.429 0 0.001 (5,2) 6.571 0.068 0.005 (6,2) 9 0 0 (1,3) 7.143 0.014 0.031 (2,3) 6.857 0.032 0.033 (3,3) 6.286 0.133 0.13 (4,3) 7.429 0.006 0.018 (5,3) 8.429 0 0 (6,3) 7.571 0.004 0.001 (1,4) 7 0.022 0.07 (2,4) 7 0.022 0.067 (3,4) 9 0 0 (4,4) 6.571 0.068 0.045 (5,4) 9.143 0 0 (6,4) 7.857 0.001 0 (1,5) 5.714 0.396 0.683 (2,5) 6.429 0.096 0.005 (3,5) 7.714 0.002 0 (4,5) 8.429 0 0 (5,5) 7.714 0.002 0 (6,5) 6.571 0.002 0

Analisando a tabela acima, notamos, em rela¸c˜ao aos demais ativos, uma diminui¸c˜ao no n´umero de combina¸c˜oes satisfat´orias uma vez que observamos apenas quatro que n˜ao

refutam os testes de Kupiec e Cristoffersen. Embora a avalia¸c˜ao de outras configura¸c˜oes (com valores mais elevados de p e J ) n˜ao consideradas aqui possa sugerir outras confi- gura¸c˜oes ideais, ´e importante ressaltar que conseguimos boas estimativas mesmo para p e J razoavelmente pequenos.

Tendo em vista o m´etodo empregado na Se¸c˜ao 4.2, justificado atrav´es de bons resul- tados para distintos ativos vistos na presente se¸c˜ao, podemos compar´a-lo com m´etodos mais usuais e de mais f´acil implementa¸c˜ao, como: gaussiano, emp´ırico (ou hist´orico) e GARCH (ver, por exemplo, Hull (2015) [19]).

Desta maneira, as Tabelas 8,9 e 10 apresentam as propor¸c˜oes de viola¸c˜oes do VaR seguidas dos p-valores dos Testes de Cobertura Condicional e N˜ao Condicional para cada um dos ativos vistos, atrav´es dos seguintes m´etodos: m´etodo implementado no presente trabalho (seguindo as combina¸c˜oes ideais J e p de cada ativo), gaussiano, emp´ırico e GARCH (utilizado para modelar a volatilidade).

Tabela 8: Resultados de cada um dos m´etodos para a s´erie do ouro

M´etodo implementado Gaussiano Emp´ırico GARCH

Propor¸c˜ao de viola¸c˜oes (%) 4.429 1.857 1.857 4

p-valor uc. 0.48 0 0 0.209

p-valor cc. 0.347 0 0 0.141

Tabela 9: Resultados de cada um dos m´etodos para a s´erie BRENT

M´etodo implementado Gaussiano Emp´ırico GARCH

Propor¸c˜ao de viola¸c˜oes (%) 4.857 3.857 4.429 4.714

p-valor uc. 0.862 0.149 0.48 0.726

p-valor cc. 0.683 0.106 0.035 0.335

De uma maneira geral, atrav´es dos resultados obtidos nas tabelas acima podemos reparar que o m´etodo implementado gerou estimativas de propor¸c˜oes de viola¸c˜oes mais pr´oximas de α = 5% em rela¸c˜ao aos demais para as s´eries do Ouro e BRENT. Para a NASDAQ, os m´etodos Gaussiano e Emp´ırico apresentaram propor¸c˜oes mais satisfat´orias. Entretanto, atrav´es dos p-valores obtidos, notamos que o m´etodo Emp´ırico n˜ao ´e adequado para modelar a s´erie NASDAQ, sugerindo que as viola¸c˜oes geradas por tais m´etodos aparecem de forma agrupada. Em outras palavras, n˜ao s˜ao independentes ao longo do tempo. Para o m´etodo Gaussiano (param´etrico), embora o Teste Condicional n˜ao tenha sido refutado, ao n´ıvel de significˆancia de 10%, podemos desconfiar que para um novo conjunto de dados tal m´etodo n˜ao seja validado pelo teste.

Comparando apenas o modelo implementado e o GARCH, com base nos trˆes ati- vos explorados, vemos que em todos eles as propor¸c˜oes de viola¸c˜oes foram favor´aveis ao primeiro.

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Conclus˜ao

O presente trabalho teve como objetivo apresentar um m´etodo n˜ao param´etrico alter- nativo para estima¸c˜ao do Value at Risk. Como discutido em Wasserman [15], em modelos param´etricos encontramos resultados eficientes. Por´em, a qualidade de uma abordagem param´etrica depende da especifica¸c˜ao correta do modelo. Usualmente, n˜ao temos conhe- cimento da fam´ılia de distribui¸c˜oes que possam ter gerado os dados e isto ocorre, por exemplo, com dados de retornos, logo, uma alternativa encontrada foi estimar o α-quantil condicional via m´etodo de n´ucleo atrav´es da F.D.A., que pode ser dito como um m´etodo n˜ao param´etrico de estima¸c˜ao.

Mesmo desprezando dados mais recentes, anteriores `a 2015 (varia de acordo com o tamanho da s´erie de cada ativo), conseguimos estimar a F.D.A. e consequentemente o α-quantil condicional para instantes recentes (a partir de 2016 at´e 2018). Denominamos como gap o intervalo de tempo entre o conjunto utilizado para estimar a F.D.A. e larguras de banda (h) e o conjunto utilizado para prever o VaR. Possivelmente tal gap poderia interferir na qualidade do ajuste de modelos mais tradicionais. Entretanto, notamos que o gap n˜ao influenciou no ajuste do modelo trabalhado, tendo em vista os resultados gerados. A valida¸c˜ao do m´etodo para as s´eries em quest˜ao (Ouro, BRENT e NASDAQ) foi corroborada pelos resultados do Teste de Cobertura Condicional e N˜ao Condicional de Cristoffersen (1998) [13] e Kupiec (1995) [12], respectivamente. Para combina¸c˜oes de J e p razoavelmente pequenos, conseguimos obter estimativas que geraram razo´aveis propor¸c˜oes de viola¸c˜oes para ativos de naturezas distintas e, assim, esperamos, que para outros ativos, tamb´em com valores pequenos de p e J encontremos estimativas razo´aveis do VaR, logo, desta forma, provavelmente o m´etodo tamb´em ser´a adequado.

Por fim, em compara¸c˜ao com modelos param´etricos (GARCH e Gaussiano) e at´e mesmo hist´orico, usualmente utilizados no mercado financeiro, obtivemos melhores re- sultados via m´etodo de n´ucleo. Logo, ´e de fundamental importˆancia o aprimoramento do estudo realizado visando o enriquecimento do m´etodo e, por conseguinte, obter maio-