Esta seção tem como objetivo ilustrar a aplicação dos processos de identificação de sistemas lineares por meio de modelos BFO’s que empregam funções de Laguerre, Kautz ou GOBF com funções internas. O processo de identificação emprega os métodos propostos de otimização dos parâmetros do modelo utilizando os cálculos de gradientes analíticos apresentados anteriormente.
Considere inicialmente um sistema de terceira ordem com um polo real de multiplicidade 3. O sistema em questão é dado pela seguinte função de transferência em z:
G(z) = 0, 01741
com 3 polos em z = 0, 7408
Para a identificação do sistema utilizam-se amostras de entrada e saída do sistema obtidas através de simulação, como mostra a figura 2.8, na qual a entrada u(k) é um sinal aleatório com distribuição uniforme entre -1 e 1.
Fig. 2.8: Sinais utilizados na identificação do Modelo de GOBF com 3 polos
Como é comum na modelagem de sistemas dinâmicos a partir de dados de entrada e saída, partiu- se do pressuposto de que as características dinâmicas do sistema sob análise eram desconhecidas. Desta maneira, fez-se a identificação de modelos onde se variou o número de polos e de funções. Conforme descrito na seção 2.4.3, para a execução do processo de otimização, realizou-se o cálculo dos gradientes com relação aos parâmetros dos modelos a serem otimizados a partir das amostras de entrada e saída do sistema. Para este exemplo, identificou-se o sistema por meio de modelos com funções de Laguerre e GOBF com funções internas. A tabela 2.1 apresenta os resultados comparativos entre os modelos de Laguerre otimizados com o erro quadrático médio (EQM) gerado pelos modelos estimados (para dados de validação).
Tab. 2.1: Resultados dos modelos de Laguerre para o primeiro exemplo. N. de Funções Param. Polo Inicial Polo Final EQM
1 2 0,5000 0,9222 0, 0095 2 3 0,5000 0,8090 2, 2269.10−4 3 4 0,5000 0,7408 2, 0869.10−26 4 5 0,5000 0,7407 2, 4647.10−16
internas. Da mesma maneira como se procedeu com os modelos de Laguerre, considera-se que não há nenhum conhecimento a priori sobre as características dinâmicas do sistema. A tabela 2.2 apresenta os resultados para os modelos de GOBF com funções internas. Na tabela 2.2 a coluna NF indica o número de blocos Gb e a coluna NP indica o número de polos do modelo. A coluna Param. indica o
número de parâmetros otimizados no modelo GOBF (nbpolos + coeficientes da expansão da GOBF).
Tab. 2.2: Resultados dos modelos GOBF para o primeiro exemplo. NF NP Param. Polos Finais EQM
1 1 2 0,9222 0, 0095 2 1 3 0,8090 2, 2269.10−4 3 1 4 0,7408 2, 0791.10−26 4 1 5 0,7407 2, 4948.10−16 1 2 4 0, 8486 ± 0, 0806i 7, 3566.10−5 2 2 6 0,7335 e 0,7427 7, 9837.10−15 3 2 8 0,7045 e 0,7528 1, 4079.10−15 1 3 6 0, 7478 ± 0, 0109i 2, 3724.10−12 0,7267 2 3 9 0,7433 e 0,7397 1, 0009.10−14 0,7267 3 3 12 0,7408 9, 0340.10−31 0, 1299 ± 0, 8143i
Através da análise das tabelas 2.1 e 2.2 pode-se verificar que o método proposto foi eficiente na identificação do sistema sob análise. Os modelos de Laguerre e GOBF com um polo apresentaram resultados semelhantes, sendo que os modelos de Laguerre com 3 funções e GOBF com um polo e 3 blocos Gb apresentaram os melhores resultados quando considerados o número de parâmetros dos
modelos e sua precisão. Inicializou-se os modelos GOBF com um polo em 0, 5, os modelos com dois polos em 0, 5 ± 0, 5i e os modelos com três polos foram inicializados nos polos 0, 1325 ± 0, 8141i e 0,7350 com os parâmetros γ iniciais sendo [0, 5 −0, 5 0, 5].
A figura 2.9 apresenta o decaimento da função de custo J em relação a cada iteração do algoritmo de otimização para o modelo GOBF com um polo e 3 blocos Gb. A figura 2.10 mostra a comparação,
para dados de validação, entre a saída estimada do modelo com polos iniciais em 0,5 e finais em 0,7408 para o mesmo modelo GOBF da figura 2.9.
Verifica-se através da análise da tabela 2.2 que os polos otimizados, nos modelos com 2 ou 3 polos, não são exatamente os polos do sistema como aconteceu quando se restringiu os polos nos modelos com somente um polo. Contudo, os polos se encontram na vizinhança dos polos exatos do sistema e apresentam uma boa precisão. Modelos com reduzido número de funções ou com número de polos inferiores ao valor necessário para se representar adequadamente o sistema podem apresentar
Fig. 2.9: Valor da função de custo
Fig. 2.10: Respostas do modelo com 1 polo com multiplicidade 3
soluções menos precisas por não serem capazes de representar adequadamente a dinâmica do sistema analisado.
A seguir, apresenta-se a simulação e a identificação de um sistema com 4 polos (dois pares de polos complexos conjugados). A função de transferência em z do sistema é dada pela equação (2.67):
G(z) = 0, 02167z
3+ 0, 1226z2+ 0, 06434z + 0, 003167
z4− 1, 483z3+ 0, 9539z2− 0, 2995z + 0, 04076 (2.67)
cujos polos estão localizados em z = 0, 3635 ± 0, 2536i com multiplicidade 2.
Para o processo de identificação gerou-se através de simulação uma massa de dados de entrada e saída do sistema proposto conforme apresentado na figura 2.11. Como entrada foi utilizado um sinal aleatório de distribuição uniforme entre -1 e 1.
Assim como no exemplo anterior, considerou-se que não havia nenhum conhecimento a priori do sistema a ser modelado. A tabela 2.3 mostra os resultados dos modelos GOBF onde se variou o
Fig. 2.11: Sinais utilizados na identificação do Modelo de GOBF com 4 polos
número de polos e o número de blocos Gb. Na tabela 2.3 a coluna NF indica o número de blocos
Gb e a coluna NP indica o número de polos do modelo. O EQM é referente a dados utilizados para
validação do modelo.
O valor inicial do polo para os modelos com somente um parâmetro γ é de 0,5. Para o sistema com dois parâmetros γ, inicializou-se os parâmetros em [0, 5 −0, 5]. Os parâmetros γ do sistema com 3 polos foram inicializados em [0, 5 0, 5 0, 5] e o sistema com 4 polos teve seus parâmetros inicializados em [0, 5 0, 5 0, 5 0, 5]. Como pode-se verificar pela análise da tabela 2.3, o modelo com 2 polos e dois blocos Gbapresentou os melhores resultados quando considerada a precisão e o número
de parâmetros dos modelos. Outros modelos, como os modelos com 4 polos, apresentaram uma excelente precisão com polos convergindo para polos na vizinhança dos polos do sistema. A figura 2.12 mostra a resposta do modelo com 2 polos e dois blocos Gbutilizando-se dados de validação.
Para finalizar a aplicação de modelos GOBF à modelagem de sistemas lineares foi simulado e identificado um sistema com 3 polos, sendo um par de polos complexos e um polo real, dado pela seguinte função de transferência em z:
G(z) = 0, 07287z
2+ 0, 1587z + 0, 02187
z3− 1, 191z2+ 0, 5352z − 0, 09072 (2.68)
cujos polos estão localizados em z = 0, 3708 ± 0, 2537i e z = 0, 4493.
Assim como para os modelos anteriores utilizou-se um sinal aleatório com distribuição uniforme dentro do intervalo [−1, 1] como sinal de entrada para o sistema sob estudo e, conjuntamente com a resposta do sistema, foi implementado o método de identificação proposto. A tabela 2.4 apresenta
Tab. 2.3: Resultados dos modelos GOBF para o segundo exemplo. NF NP Param. Polos Finais EQM
1 1 2 0,7462 0, 0037 2 1 3 0,4671 4, 7335.10−4 3 1 4 0,6044 2, 1150.10−4 4 1 5 0,4345 1, 2888.10−5 1 2 4 0, 5977 ± 0, 2549i 9, 0818.10−5 2 2 6 0, 3635 ± 0, 2536i 1, 1613.10−32 3 2 8 0, 3633 ± 0, 2533i 2, 5884.10−16 1 3 6 0, 4537 ± 0, 3364i 2, 6546.10−7 0,4332 2 3 9 0, 3635 ± 0, 2536i 1, 1613.10−32 -0,3718 3 3 12 0, 3638 ± 0, 2532i 4, 1518.10−17 -0,3999 1 4 8 0, 4047 ± 0, 2815i 4, 9191.10−17 0, 3924 ± 0, 2700i 2 4 12 0, 3627 ± 0, 3422i 1, 9628.10−28 0, 3987 ± 0, 2760i
Fig. 2.12: Respostas do modelos com 2 polos e dois blocos Gb
alguns resultados de modelos GOBF com funções internas onde se variou o número de polos e blocos Gb que os compõem.
Inicializou-se os parâmetros γl dos modelos presentes na tabela 2.4 em 0,5; [0, 5 −0, 5] e
[0, 5 0, 5 0, 5] respectivamente para os modelos de 1, 2 e 3 polos. Através da análise da tabela 2.4 verifica-se que o modelo com 3 polos e um bloco Gb apresenta o melhor resultado dos modelos
Tab. 2.4: Resultados dos modelos GOBF para o terceiro exemplo. NF NP Param. Polos Finais EQM
1 1 2 0,8424 0, 0141 2 1 3 0,5079 8, 3448.10−4 3 1 4 0,3374 3, 0469.10−5 1 2 4 0, 5750 ± 0, 2644i 2, 0012.10−4 2 2 6 0, 3297 ± 0, 1571i 5, 4917.10−8 3 2 8 0, 2141 ± 0, 1479i 5, 0686.10−9 1 3 6 0, 3710 ± 0, 2538i 1, 0605.10−19 0,4490 2 3 9 0, 3636 ± 0, 2621i 1, 8292.10−13 0,4320
analisados. Este modelo apresenta uma ótima precisão e teve seus polos convergindo para os polos exatos do sistema. A figura 2.13 apresenta o comparativo entre a saída do modelo de 3 parâmetros γ e 1 bloco Gb com polos iniciais propostos e o modelo com os parâmetros otimizados (dados de
validação).