Resultados Numéricos

As fórmulas de avaliação obtidas nos capítulos anteriores foram aplica- das num caso prático. Os cálculos numéricos que serão apresentados foram elaborados para as maturidades de 3 e 10 anos usando a volatilidade, σ, igual a 0,25, a taxa de juro sem risco, r, igual a 4%, o preço do ativo subjacente no momento atual, S0, igual a 100 e a dividend yield, q, igual a 0. Considera-se

que o intervalo de ti para ti+1 é de 1 mês.

Nas Tabelas 1 e 2, comparam-se as várias aproximações que se descreve- ram ao longo deste trabalho. As colunas referentes à média geométrica foram calculadas com base nas secções 1 e 2, sendo a primeira calculada em tempo contínuo e a segunda em tempo discreto. A coluna alusiva à média aritmética é relativa à aproximação calculada no capítulo 3. Por m, as duas últimas colunas dizem respeito à conditioning approach desenvolvida no capítulo 4, a qual visa chegar a dois limites, um inferior e outro superior.

A primeira coluna de ambas as tabelas diz respeito ao preço de exercício. Os valores escolhidos permitem observar preços de opções desde far in-of- money (K = 50) até far out-of-money (K = 200).

Na primeira tabela pode-se observar que os valores obtidos para os preços de uma opção asiática com média geomética em tempo contínuo e de uma opção em tempo discreto são muito semelhantes, já que a diferença é de mi- lésimas ou até menos. Quando se compara esta última com o limite inferior, observa-se uma grande diferença nos valores. Na Figura 5.1 constata-se que as duas aproximações têm curvas muito parecidas. Ao analisar-se a dife- rença destas duas aproximações verica-se que o erro diminui à medida que K aumenta, mas se se observar esta diferença como um rácio entre as duas aproximações, conclui-se que este rácio é maior quando K aumenta. Assim, quanto mais far out-the-money for a opção, maior é o erro cometido entre o preço de uma opção asiática com média geométrica em tempo discreto e o respetivo limite inferior.

K Média Geométrica AritméticaMédia Condicional Approach Contínuo Discreto Contínuo _inferiorLimite _SuperiorLimite 50 48,3776 48,3761 49,8945 50,0473 50,6536 60 39,5815 39,5799 41,0974 41,2289 41,8352 70 31,0659 31,0640 32,5677 32,6596 33,2659 80 23,2310 23,2286 24,6798 24,7461 25,3525 90 16,5122 16,5093 17,8465 17,9314 18,5378 100 11,1761 11,1730 12,3347 12,4759 13,0823 110 7,2363 7,2333 8,1820 8,3857 8,9921 120 4,5084 4,5058 5,2364 5,4813 6,0876 130 2,7192 2,7171 3,2513 3,5056 4,1120 140 1,5968 1,5952 1,9687 2,2056 2,8119 150 0,9175 0,9164 1,1680 1,3711 1,9775 160 0,5182 0,5174 0,6817 0,8453 1,4517 170 0,2887 0,2882 0,3928 0,5183 1,1247 180 0,1592 0,1589 0,2240 0,3168 0,9232 190 0,0871 0,0869 0,1268 0,1934 0,7998 200 0,0474 0,0472 0,0714 0,1181 0,7245

Tabela 5.1: Tempo para a maturidade 3 anos

Comparando agora o limite inferior com a aproximação feita para o preço de uma opção asiática com média aritmética com tempo contínuo, a Figura 5.2 demonstra que as curvas têm a mesma tendência e podemos ver pela Tabela 5.1 que a diferença entre os valores das duas aproximações é menor que a diferença analisada no ponto anterior. Além disso pode-se observar que o rácio é menor em todos os valores de K e que tem um crescimento mais acentuado em K ≥ 120.

Em relação à diferença entre o limite superior e o limite inferior, esta vai ser sempre igual a ε, denido na Proposição 4.2., pois este erro não depende de K. Deste modo, numa qualquer maturidade, a diferença entre os dois limites irá ser sempre a mesma em diferentes preços de exercício. O que se pode constatar é que quanto maior é o tempo de maturidade maior é o erro. Para T = 3 temos ε = 0, 6064 e para T = 10 obtém-se ε = 2, 3054.

Para uma maturidade de 10 anos, na Tabela 5.2 observa-se que as apro- ximações referentes à média geométrica continuam muito próximas, mas quando se compara com o limite inferior já existe uma diferença conside- rável. Deste modo, quanto maior é a maturidade, mais desadequadas são as aproximações com base na média geométrica.

Figura 5.1: Comparação entre a média geométrica em tempo discreto e o limite inferior.

Figura 5.2: Comparação entre a média aritmética em tempo contínuo e o limite inferior.

Comparando agora o limite inferior com a aproximação referente à média aritmética com tempo contínuo, os valores desta última são sempre maiores que os valores do limite inferior. Pela Figura 5.3, observa-se que os preços diminuem de uma forma mais gradual quando o K aumenta. Também aqui o rácio aumenta de forma mais gradual, cando a linha do gráco referente a este rácio muito semelhante a uma função linear. Assim, para maturida- des grandes, o erro tem um aumento mais uniforme mesmo para preços de exercício altos, ao contrário do que acontece para maturidades pequenas.

K Média Geométrica AritméticaMédia Condicional Approach Contínuo Discreto Contínuo _inferiorLimite _SuperiorLimite 50 44,4945 44,4902 49,2372 49,1961 51,5014 60 38,3333 38,3285 43,0894 42,8981 45,2035 70 32,6348 32,6297 37,3721 37,0396 39,3450 80 27,5013 27,4958 32,1692 31,7372 34,0426 90 22,9811 22,9753 27,5214 27,0436 29,3489 100 19,0752 19,0693 23,4319 22,9583 25,2637 110 15,7509 15,7450 19,8768 19,4464 21,7517 120 12,9551 12,9493 16,8157 16,4536 18,7589 130 10,6254 10,6199 14,1991 13,9184 16,2238 140 8,6978 8,6926 11,9751 11,7793 14,0847 150 7,1114 7,1066 10,0927 9,9786 12,2840 160 5,8109 5,8065 8,5043 8,4645 10,7699 170 4,7478 4,7438 7,1669 7,1918 9,4971 180 3,8803 3,8767 6,0424 6,1215 8,4268 190 3,1733 3,1700 5,0978 5,2206 7,5260 200 2,5974 2,5945 4,3046 4,4615 6,7668

Figura 5.3: Comparação entre a média aritmética em tempo contínuo e o limite inferior.

Conclusão

Neste trabalho foram expostas três aproximações, um limite inferior e um limite superior para o preço de uma opção asiática com média artimé- tica em tempo discreto. Duas das aproximações são iguais à fórmula fechada do preço de uma opção asiática com média geomética, uma em tempo con- tínuo e outra em tempo discreto. A última aproximação teve como base a média aritmética em tempo contínuo. Os limites foram obtidos com base na conditioning approach. Todos foram implementados recorrendo ao Excel, visto que são fórmulas muito simples e muito rápidas de calcular. A maior diculdade consistiu no cálculo de Z∗

A, tendo sido rapidamente ultrapassada

usando a ferramenta Solver para otimizar ZAde forma a satisfazer a equação

(4.8).

Os preços de opções asiáticas com média geométrica em tempo contínuo e em tempo discreto foram bastantes satisfatórios para maturidades pequenas, exceptuando quando a opção está deep out-of-money. Para maturidades maiores, estes valores não demonstraram ser boas aproximações.

A aproximação calculada com base na média aritmética em tempo con- tínuo relevou ser bastante precisa tanto para maturidades pequenas como grandes e ainda para todo o intervalo de preços de exercício que foi apresen- tado.

No caso do limite superior, o erro é sempre igual numa certa maturidade, uma vez que não depende do preço de exercício. Quando o preço de exercício aumenta, o valor da opção vai diminuindo, e por isso o erro vai ter um maior impacto no caso do preço de exercício ser grande. Deste modo, o limite superior é uma melhor aproximação para opções mais in-the-money. Também é possível observar que para maturidades grandes o erro é substancialmente maior.

Em suma, os resultados mais precisos são a aproximação com base na média aritmética e o limite inferior, descritos nos capítulos 3 e 4, respetiva- mente.

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