Para a demonstra¸c˜ao do pr´oximo teorema, vamos precisar dos dois lemas a seguir, devidos a Zhang e Fu [71] e que fazem uso de um resultado de Robertson e Sey- mour [58] e tamb´em faremos uso do problema minimum monotone weighted sat.
Lema 5.18. [71] Dados dois v´ertices s e t e uma aresta e em um grafo simples, encontrar um caminho P que conecta s a t e cont´em a aresta e, ou verificar que tal caminho n˜ao existe, pode ser feito em tempo polinomial.
Lema 5.19. [71] Dados dois v´ertices s e t e duas arestas e1 = {u1, v1} e e2 =
{u2, v2} em um grafo simples, encontrar um caminho P que conecta s a t e cont´em
as arestas e1 e e2, ou verificar que tal caminho n˜ao existe, pode ser feito em tempo
polinomial.
A seguir, introduzimos o problema minimum monotone weighted sat que ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do Teorema 5.20.
minimum monotone weighted sat
instˆancia: Uma terna I = (U, C, w), na qual U = {x1, x2, · · · , xn} ´e um conjunto
de vari´aveis; C = {c1, c2, · · · , cm} ´e um conjunto de cl´ausulas no qual cada vari´avel
ocorre em no m´aximo duas cl´ausulas e nenhuma cl´ausula cont´em vari´aveis negadas; w uma fun¸c˜ao peso w : V (C) → R definida no conjunto V (C) das vari´aveis de U que est˜ao presentes nas cl´ausulas de C; e k ´e um inteiro.
pergunta: Existe uma atribui¸c˜ao de valores verdade η para U com todas as cl´ausulas satisfeitas, de modo que a soma dos pesos das vari´aveis verdadeiras de V (C) ´e no m´aximo k?
Teorema 5.20. min-colored-(s, t)-cut pode ser solucionado em tempo polino- mial quando toda cor aparece em no m´aximo dois (s, t)-caminhos de G, sendo G um grafo de entrada com (s, t)-caminhos de comprimentos quaisquer.
Demonstra¸c˜ao. Observe que encontrar, caso exista, um caminho entre s e t passando por uma determinada aresta e pode ser executado em tempo polinomial de acordo com o Lema 5.18. Al´em disso, um segundo e um terceiro caminhos entre s e t passando por e, caso existam, devem n˜ao conter ao menos uma aresta de cada um dos caminhos anteriores que passam por e. Sendo assim tais caminhos, caso existam, tamb´em podem ser obtidos em tempo polinomial. Note tamb´em que se a cor i aparece em no m´aximo dois (s, t)-caminhos, ent˜ao toda aresta colorida com a cor i ocorre em no m´aximo dois (s, t)-caminhos, caso contr´ario ter´ıamos mais de dois (s, t)-caminhos apresentando arestas coloridas com a cor i. Como esse resultado vale para todas as cores da colora¸c˜ao de arestas, podemos concluir que toda aresta do (s, t)-grafo G aparece em no m´aximo dois (s, t)-caminhos. Esse fato nos permite reconhecer em tempo polinomial se toda cor aparece em no m´aximo dois (s, t)- caminhos de G, assim como enumerar todos os (s, t)-caminhos de G em caso positivo, ou seja, o reconhecimento dos grafos que cumprem a hip´otese do teorema pode ser feito em tempo polinomial.
Portanto, feita a enumera¸c˜ao de todos os (s, t)-caminhos de G em tempo poli- nomial, podemos em seguida, construir em tempo polinomial uma instˆancia F de minimum monotone weighted sat, na qual cada cl´asula representa um (s, t)- caminho e cada cor representa uma vari´avel, de tal forma que F possua uma atri- bui¸c˜ao satisfat´ıvel de peso k se e somente se G possuir um corte de capacidade k. A seguir ilustramos com o aux´ılio da Figura 5.9 a constru¸c˜ao de F . Neste ponto, para resolver min-colored-(s, t)-cut basta executar em F o algoritmo polinomial para minimum monotone weighted sat (veja o artigo de Porschen e Specken- meyer [56]).
A Figura 5.9 apresenta um (s, t)-grafo no qual cada cor aparece em no m´aximo dois (s, t)-caminhos. A cor 1 aparece nos caminhos (s, a, b, c, t) e (s, a, b, c, e, f, t);
Figura 5.9: Exemplo de um (s, t)-grafo no qual cada cor aparece em no m´aximo dois (s, t)-caminhos.
a cor 2 aparece nos caminhos (s, a, b, c, e, f, t) e (s, d, e, f, t); a cor 3 aparece em (s, a, b, c, e, f, t) e (s, d, e, f, t); a cor 4 aparece em (s, a, b, c, t) e (s, a, b, c, e, f, t); a cor 5 aparece em (s, d, e, c, t) e (s, d, e, f, t); a cor 6 aparece em (s, g, h, i, t); a cor 7 aparece em (s, a, b, c, e, f, t) e (s, d, e, c, t); a cor 8 aparece em (s, a, b, c, t) e (s, d, e, c, t); a cor 9 aparece em (s, g, h, i, t) e a cor 10 aparece em (s, d, e, c, t) e (s, d, e, f, t). Note que o (s, t)-grafo dado possui 5 (s, t)-caminhos distintos, a saber: (s, a, b, c, t), (s, a, b, c, e, f, t), (s, d, e, c, t), (s, d, e, f, t) e (s, g, h, i, t). Construimos a instˆancia F de minimum monotone weighted sat fazendo U = {x1, x2, · · · , x10},
C = {c1, c2, · · · , c5}, c1 = (x1, x4, x8), c2 = (x1, x4, x7, x2, x3), c3 = (x5, x10, x7, x8),
c4 = (x5, x10, x3, x2), c5 = (x9, x6) e atribuindo o peso unit´ario a cada uma das
vari´aveis de U . Note que a atribui¸c˜ao que torna verdadeiras apenas as vari´aveis x1, x5 e x9 torna C satisfat´ıvel com peso 3 e essa atribui¸c˜ao corresponde a um corte
de arestas colorido com as cores 1, 5 e 9 (por exemplo, o corte [S, V \S] com S = {s}). Do mesmo modo, o corte de arestas [S, V \ S] com S = {s, a, b, c, d, g} apresenta as cores 6, 7, 8, 10 e corresponde `a atribui¸c˜ao que torna verdadeiras apenas as vari´aveis x6, x7, x8, x10 e faz C satisfat´ıvel.
Corol´ario 5.21. min-colored-(s, t)-cut pode ser resolvido em tempo polinomial quando cada cor ocorre no m´aximo em duas arestas e cada (s, t)-caminho tem com- primento dois.
Demonstra¸c˜ao. Se cada cor aparece em no m´aximo duas arestas e cada (s, t)- caminho tem comprimento dois, isto significa que cada cor poder´a aparecer em no m´aximo dois (s, t)-caminhos. Logo estamos nas condi¸c˜oes da hip´otese do Teo- rema 5.20 e o resultado segue diretamente.
A seguir apresentamos um resultado sobre a vers˜ao que n˜ao faz uso de um par (s, t) fixo, permitindo solucionar o problema mais geral min-colored-cut.
Lema 5.22. min-colored-cut pode ser resolvido em tempo polinomial quando para todo par s, t ∈ V (G) existe um (s, t)-corte n˜ao colorido de tamanho constante, e pode ser resolvido em tempo O(p5· m) em grafos planares.
Figura 5.10: Exemplos de grafos tais que para todo par de v´ertices distintos s, t ∈ V (G), sempre existe um (s, t)-corte de arestas n˜ao colorido de tamanho constante: os grafos com grau m´aximo limitado, k-regulares e as ´arvores fazem parte dessa classe.
Demonstra¸c˜ao. Dados s, t ∈ V (G) quaisquer, se sempre existir um (s, t)-corte de arestas n˜ao colorido de tamanho constante q, ent˜ao o corte colorido correspondente a ele tem capacidade no m´aximo q, j´a que o n´umero de cores presentes num corte de arestas ´e sempre menor ou igual ao n´umero de arestas desse corte. A Figura 5.10 mostra exemplos de grafos tais que para todo par de v´ertices distintos s, t ∈ V (G), sempre existe um (s, t)-corte de arestas n˜ao colorido de tamanho constante (os grafos k-regulares fazem parte dessa classe). Isso limita nossas possibilidades de escolhas de cores e torna o problema solucion´avel em tempo polinomial, pois basta analisarmos as remo¸c˜oes das combina¸c˜oes de at´e q cores escolhidas entre as p cores da colora¸c˜ao de arestas de G, resultando num algoritmo de tempo O(pq). Para o caso planar, utilizamos a propriedade de que em todo grafo planar existe pelo menos um v´ertice v tal que d(v) ≤ 5 [8], ou seja, ´e poss´ıvel obter um corte de arestas [v, V (G) \ {v}] de cardinalidade no m´aximo 5. A Figura 5.11 ilustra essa situa¸c˜ao. Consequentemente, esse corte d´a origem a um corte colorido com capacidade C ≤ 5 e assim basta testarmos a remo¸c˜ao de at´e C cores escolhidas entre as p cores da colora¸c˜ao de arestas de G.
Arestas por cor |(s, t)-caminho m´aximo| # (s,t)-caminhos por cor Complexidade
3 2 3 NP-completo
2 3 3 NP-completo
− − 2 Polinomial
2 2 − Polinomial
Tabela 5.1: Tabela apresentando um resumo dos resultados de complexidade para min-colored-(s, t)-cut.