Resultados preliminares

A Tabela 6.2 apresenta os resultados do comprimento de recirculação da região primá- ria, nos oito níveis de refinamentos utilizados, para 𝑅𝑒 = 100. A partir dos resultados obtidos, observa-se que para este número de Reynolds todos os esquemas apresentam soluções seme- lhantes em quase todos os níveis de refinamento, onde os resultados podem ser considerados "independentes"do refinamento a partir da malha F.

Tabela 6.2: Comprimento de recirculação 𝑋1/ℎ para 𝑅𝑒 = 100.

Malha FOU CDS Exponencial SOU QUICK UNIFAES

A 2,69 1,83 3,07 3,42 2,62 3,47 B 2,69 2,15 2,98 3,35 2,72 3,34 C 2,70 2,55 2,93 3,30 2,96 3,27 D 2,75 2,93 2,93 3,23 3,04 3,21 E 2,81 3,00 2,95 3,14 3,05 3,11 F 2,83 3,01 2,95 3,10 3,04 3,08 G 2,84 3,00 2,95 3,09 3,03 3,07 H 2,86 2,99 2,95 3,06 3,01 3,03

O trabalho de Lee e Mateescu (1998) só fornece dados experimentais a partir de 𝑅𝑒 = 400 para a taxa de expansão 1:2. Entretanto, pode-se utilizar os dados experimentais de Armaly et al.(1983) para a taxa de expansão 1:1,94 como uma estimativa do comprimento encontrado experimentalmente para a taxa de expansão 1:2, conforme demonstrado no apêndice B. Para 𝑅𝑒 = 100, Armaly et al. (1983) encontraram experimentalmente que 𝑋1/ℎ = 3,11.

Os esquemas UNIFAES, QUICK e SOU apresentam resultados quase idênticos entre si, prevendo os resultados mais próximos do experimental para 𝑋1/ℎ. Além disso, o SOU e

UNIFAES preveem um comprimento de reatamento grande para malhas grosseiras e passam a convergir para valores menores conforme a malha é refinada. O esquema exponencial simples também obtém bons resultados, mas não foi um destaque como os esquemas anteriores. Como esperado o esquema FOU apresenta os resultados menos satisfatórios para 𝑅𝑒 = 100 dado a sua acurácia de primeira ordem.

A Tabela 6.3 apresenta os resultados do comprimento de recirculação da região primá- ria, nos oito níveis de refinamentos utilizados, para 𝑅𝑒 = 200. A partir dos resultados obtidos, observa-se que para este número de Reynolds todos os esquemas novamente apresentam solu- ções semelhantes em quase os todos níveis de refinamento, onde para 𝑅𝑒 = 200 Armaly et al. (1983) encontraram experimentalmente que 𝑋1/ℎ = 5,02.

Tabela 6.3: Comprimento de recirculação 𝑋1/ℎ para 𝑅𝑒 = 200.

Malha FOU CDS Exponencial SOU QUICK UNIFAES

A 4,33 - 4,71 5,58 - 5,58 B 4,32 - 4,78 5,48 - 5,46 C 4,36 - 4,83 5,38 - 5,34 D 4,50 - 4,85 5,29 - 5,26 E 4,66 - 4,90 5,19 5,13 5,17 F 4,71 - 4,92 5,16 5,11 5,14 G 4,75 5,08 4,93 5,14 5,10 5,12 H 4,80 5,07 4,95 5,11 5,08 5,09

É possível observar que os esquemas CDS e QUICK falham para malhas intermediárias, esse comportamento já era esperado para o esquema CDS, pois, a condição que garante a es- tabilidade não é mais satisfeita em 𝑅𝑒 = 200, onde o CDS passa a convergir apenas para as malhas G e H.

O QUICK apresentando problemas de estabilidade é algo novo neste trabalho, e chega a ser estranho num primeiro momento, pois, ao comparar o desempenho apresentado pelo mesmo esquema no problema teste linear, o QUICK em todos dos testes não apresentou nenhum sinal

de instabilidade. Entretanto, com uma breve pesquisa bibliográfica é possível constatar que esse é um comportamento comum para este esquema, como constatado por Sharif e Busnaina (1988) e Shyy (1985). Problemas de instabilidade como este é que deram origem às diversas versões do QUICK, como discutido na seção 3.2.4. A partir da tabela 6.3 observa-se que para 𝑅𝑒 = 200 o QUICK deixa de convergir para as malhas B, C e D.

A Tabela 6.4 apresenta os resultados do comprimento de recirculação da região primária, nos oito níveis de refinamentos utilizados, para 𝑅𝑒 = 300, onde para 𝑅𝑒 = 300 Armaly et al. (1983) encontraram experimentalmente que 𝑋1/ℎ = 6,76. O mesmo comportamento observado

anteriormente ocorre nos resultados da tabela 6.4, onde agora o QUICK deixa de convergir para a malha E e o CDS converge apenas para a malha H em 𝑅𝑒 = 300. Novamente os esquemas UNIFAES, QUICK e SOU apresentam resultados muito próximos quando não idênticos entre si, para o valor de 𝑋1/ℎ em números de Reynolds iguais a 200 e 300.

Tabela 6.4: Comprimento de recirculação 𝑋1/ℎ para 𝑅𝑒 = 300.

Malha FOU CDS Exponencial SOU QUICK UNIFAES

A 5,75 - 6,39 7,39 - - B 5,73 - 6,40 7,27 - 7,24 C 5,84 - 6,42 7,16 - 7,11 D 6,00 - 6,47 7,06 - 7,01 E 6,25 - 6,56 6,95 - 6,91 F 6,32 - 6,59 6,92 6,88 6,88 G 6,38 - 6,61 6,90 6,87 6,87 H 6,45 6,83 6,64 6,87 6,84 6,84

Através dos resultados apresentados nas tabelas 6.2, 6.3 e 6.4 pode-se observar que com- primentos de recirculação dos esquemas CDS, SOU, QUICK e UNIFAES diminuí conforme o nível de refinamento aumenta, já o contrário ocorre com os esquemas FOU e Exponencial simples onde o comprimento de recirculação aumenta com o aumento de tamanho da malha.

A tabela 6.5 apresenta os comprimentos característicos das duas regiões de recirculação para 𝑅𝑒 = 600. Para escoamentos com o número de Reynolds acima de 400 uma segunda zona de recirculação é formada parede superior do canal, essa segunda zona de recirculação é determinada pela diferença entre os comprimentos 𝑋2/ℎ e 𝑋3/ℎ.

Os esquemas SOU, QUICK e UNIFAES novamente fornecem resultados muito semelhan- tes entre si, e quando comparados as medidas experimentais obtidas por Lee e Mateescu (1998) estes esquemas mostram-se muito acurados na determinação dos comprimentos de desloca- mento e reatamento das zonas de recirculações. O QUICK manteve o mesmo comportamento

instável, apresentado nos casos anteriores, neste caso convergindo apenas para as malhas G e H.

Assim como o esperado, para altos números de Reynolds, o esquema exponencial simples apresenta resultados semelhantes ao FOU. O esquema FOU também se mostrou não conver- gente como o QUICK, onde não obteve resultados para as malhas B, C e D. O esquema CDS convergiu apenas na malha H, falhando em todos os outros refinamentos investigados.

Tabela 6.5: Comprimentos de recirculação 𝑋1/ℎ, 𝑋2/ℎ e 𝑋3/ℎ para 𝑅𝑒 = 600.

Comprimento Malha FOU CDS Exponencial SOU QUICK UNIFAES Experimental

𝑋1/ℎ A - - 7,97 10,78 - - 10,37 B - - 7,91 10,86 - - C - - 7,99 10,85 - 10,62 D - - 7,99 10,79 - 10,57 E 8,56 - 8,58 10,63 - 10,44 F 8,78 - 8,88 10,57 - 10,39 G 8,90 - 9,07 10,54 10,46 10,38 H 9,18 10,39 9,37 10,49 10,43 10,36 𝑋2/ℎ A - - - 7,84 - - 8,64 B - - 6,04 8,40 - - C - - 5,99 8,73 - 8,49 D - - 6,12 8,66 - 8,51 E 6,74 - 6,64 8,57 - 8,39 F 6,93 - 6,91 8,52 - 8,35 G 7,03 - 7,07 8,50 8,40 8,34 H 7,25 8,35 7,34 8,45 8,39 8,32 𝑋3/ℎ A - - - 16,29 - - 16,60 B - - 10,58 16,63 - - C - - 11,36 16,73 - 16,27 D - - 12,12 16,56 - 16,23 E 12,67 - 13,52 16,41 - 16,15 F 13,16 - 14,04 16,36 - 16,11 G 13,49 - 14,31 16,32 16,18 16,10 H 14,02 16,08 14,75 16,25 16,15 16,07

O SOU tem surpreendido até agora, apresentando resultados mais próximos que QUICK e o UNIFAES das medidas experimentais, além disso, este esquema também vem demonstrando a maior estabilidade para malhas groseiras para este problema. O UNIFAES não convergiu para as malhas A e B, entretanto, apresentou resultados muito acurados, ficando empareado com o SOU nas malhas médias e refinadas.

Segundo Shyy et al. (1985) o SOU apresenta maior estabilidade numérica que o QUICK por utilizar apenas os termos Upwind em sua curva interpolante que avalia a propriedade 𝜑 na face do volume de controle, diferentemente do QUICK que emprega uma curva quadrática.

O uso de um canal de entrada na geometria, pode ser uma possível causa para a insta- bilidade apresentada pelos esquemas FOU, CDS e QUICK, pois, é conhecido que esse com-

primento de entrada prejudica a dominância diagonal do sistema de equações. Muitos autores, como Pollard e Siu (1982), Patel e Markatos (1986) e Barton (1995) não consideram o com- primento de entrada no domínio computacional, favorecendo de certa forma o desempenho dos esquemas nesse problema. Estes três trabalhos utilizaram versões alternativas do QUICK, que não apresentam problemas de estabilidade. Mesmo quando comparado com essas versões alter- nativas, o SOU demonstrou-se mais acurado que o QUICK em escoamentos com recirculação.

Observa-se que em todas as tabelas apresentadas nessa seção os resultados com maior concordância com dados experimentais foram obtidos em malhas intermediárias e não nas ma- lhas mais refinadas, que deveria ser a mais acurada, pois, quanto mais refinado fosse a malha menor seria o erro numérico. Ferziger e Peric (2002) atribuem esse comportamento ao cancela- mento de várias formas de erros entre-si em malhas intermediárias ocasionado esse resultados mais próximos do experimental nesses níveis de refinamento.