Resultados sobre RF

Nesta sec¸c˜ao mostram-se alguns resultados relativos `a formula¸c˜ao RF e `as suas relaxa- ¸c˜oes em programa¸c˜ao linear.

Sabe-se que um problema verifica a propriedade da integralidade se o seu valor ´optimo coincidir com o da sua relaxa¸c˜ao em programa¸c˜ao linear. No exemplo seguinte ´e analisada uma solu¸c˜ao ´optima da relaxa¸c˜ao em programa¸c˜ao linear RF para uma dada instˆancia do SARP.

Exemplo 4.2. Considere-se a instˆancia do SARP – cujo grafo aumentado se representa na Figura 4.2, onde os arcos com procura est˜ao a cheio – de parˆametros: tarefas com procura qu = 1 e dura¸c˜ao em servi¸co tu = 5; liga¸c˜oes com dura¸c˜ao em vazio du = 1;

K = 2 sectores; ve´ıculos de capacidade W = 2; dura¸c˜ao m´axima do servi¸co por sector L = 19; dura¸c˜ao de cada descarga λ = 1; e n´umero m´aximo de viagens por sector P = 2. Cada arco ´e designado pelo n´umero que se lhe juntou na figura (v[u] indica que v ´e o arco artificial associado ao arco u). O dep´osito e o dep´osito artificial situam-se, respectivamente, nos nodos 1 e 5 e os arcos artificiais foram numerados de 8 a 11.

3 2 4 1 1 2 7 6 5 4 3 5 8[1] 9[4] 10[5] 11[7]

Figura 4.2: Grafo aumentado G′ _{(Exemplo 4.2)}

A solu¸c˜ao ´optima de RF ´e a apresentada na Tabela 4.1, de valor ´optimo 38.

Os valores das vari´aveis numa solu¸c˜ao ´optima da relaxa¸c˜ao em programa¸c˜ao linear RF (xpk

Tabela 4.1: Solu¸c˜ao ´optima para RF (Exemplo 4.2) Sector 1 2 Viagem 1 2 1 2 Viagem (5,7) (4,3,1) (5,7) (5,6,1) Tarefas servidas 7 3,4 5 1,6 Dura¸c˜ao da viagem 7 12 7 12 Dura¸c˜ao do sector 19 19

Tabela 4.2: Solu¸c˜ao ´optima para RF (Exemplo 4.2)

Sector (k) 1 2 Viagem (p) 1 2 1 2 Arco (u) 1 (5/12;0;5/12) (0;1;0) (7/12;0;7/12) 3 (1;0;1) 4 (1;0;2) 5 (1;0;2) (0;5/12;5/6) (0;7/12;7/6) 6 (5/12;0;5/6) (7/12;0;7/6) 7 (1;0;1)

Valores de xpku, yupke fupkdados nos ternos (xpku; yupk; fupk).

Os valores n˜ao apresentados s˜ao nulos.

Como se pode ver, para esta instˆancia existe uma solu¸c˜ao ´optima de RF n˜ao inteira de valor ´optimo 35 e, consequentemente, o valor ´optimo de RF (38) ´e estritamente superior ao valor ´optimo da relaxa¸c˜ao em programa¸c˜ao linear RF . ¤

Este exemplo permite enunciar a proposi¸c˜ao que se segue, onde se mostra que a formula¸c˜ao RF do SARP n˜ao verifica a propriedade da integralidade.

Proposi¸c˜ao 4.3. A formula¸c˜ao RF n˜ao verifica a propriedade da integralidade.

Prova. A instˆancia do SARP considerada no Exemplo 4.2 mostra que a formula¸c˜ao

RF n˜ao verifica a propriedade da integralidade.

Defina-se desvio linear como sendo a diferen¸ca entre o valor ´optimo de um problema e o valor ´optimo da respectiva relaxa¸c˜ao em programa¸c˜ao linear. O corol´ario seguinte estabelece que o valor ´optimo do SARP pode ser estritamente superior ao valor ´optimo da relaxa¸c˜ao em programa¸c˜ao linear de RF , ou seja, que o desvio linear pode ser positivo.

Corol´ario 4.1. O desvio linear de RF ´e superior ou igual a zero e existe pelo menos

uma instˆancia do SARP para a qual ´e estritamente positivo.

Prova. Sendo RF uma relaxa¸c˜ao de RF e este um problema de minimiza¸c˜ao, tem-se

que v(RF ) > v(RF ), donde sai imediatamente que o desvio linear de RF ´e superior ou igual a zero. Relativamente `a segunda parte da proposi¸c˜ao, basta considerar o Exemplo 4.2.

Os dois exemplos e as duas proposi¸c˜oes apresentados abaixo dizem tamb´em respeito a relaxa¸c˜oes quanto `as vari´aveis consideradas na formula¸c˜ao RF . A partir delas ir´a poder concluir-se que a integralidade das vari´aveis que representam o n´umero de travessias de arcos em vazio, ypk

u , n˜ao ´e suficiente para garantir que as vari´aveis de servi¸co, xpku ,

assumam valores bin´arios quando esta ´ultima condi¸c˜ao ´e omitida e vice-versa.

Seja dRF a relaxa¸c˜ao de RF resultante da substitui¸c˜ao das vari´aveis de servi¸co bin´arias, xpk

u , por vari´aveis reais definidas no intervalo [0, 1].

Exemplo 4.3. Considere-se a instˆancia do SARP do Exemplo 4.2 (p´ag. 81). Na Tabela 4.3 s˜ao apresentados os valores das vari´aveis xpk

u , yupk e fupk numa solu¸c˜ao ´optima

de dRF , sendo 35 o valor correspondente.

Tabela 4.3: Solu¸c˜ao ´optima para dRF (Exemplo 4.2)

Sector (k) 1 2 Viagem (p) 1 2 1 2 Arco (u) 1 (0;1;0) (1;0;1) 3 (1;0;1) 4 (1;0;2) 5 (7/11;0;14/11) (0;1;2) (4/11;0;8/11) 6 (1;0;2) 7 (7/11;0;7/11) (4/11;0;4/11)

Valores de xpku, yupke fupkdados nos ternos (xpku; yupk; fupk).

Os valores n˜ao apresentados s˜ao nulos.

Observa-se ent˜ao que, para esta instˆancia, existe uma solu¸c˜ao ´optima da relaxa¸c˜ao dRF n˜ao inteira para as vari´aveis xpk

u e fupk cujo valor ´e estritamente inferior ao valor ´optimo

Este exemplo ´e usado na proposi¸c˜ao que se segue, onde se mostra que a integralidade das vari´aveis que representam o n´umero de travessias de arcos em vazio, ypk

u , n˜ao ´e

suficiente para garantir que as vari´aveis de servi¸co, xpk

u , sejam bin´arias, ou seja, n˜ao ´e

suficiente para impor a integralidade da solu¸c˜ao ´optima. Proposi¸c˜ao 4.4. As vari´aveis de servi¸co, xpk

u , podem n˜ao assumir valores ´optimos

bin´arios na relaxa¸c˜ao dRF .

Prova. Para a instˆancia do SARP tomada no Exemplo 4.3 resultou uma solu¸c˜ao ´optima

com valores n˜ao bin´arios para as vari´aveis xpk

u . Conclui-se assim que a relaxa¸c˜ao dRF

n˜ao garante a integralidade da solu¸c˜ao ´optima.

Seja gRF a relaxa¸c˜ao de RF em que as vari´aveis inteiras n˜ao negativas relativas ao n´umero de travessias de arcos em vazio, ypk

u , s˜ao substitu´ıdas por vari´aveis cont´ınuas

n˜ao negativas.

Exemplo 4.4. Considere-se a mesma instˆancia do SARP – Exemplo 4.2 (p´ag. 81). Na Tabela 4.4 ´e dada uma solu¸c˜ao ´optima de gRF (xpk

u , yupk e fupk), de valor 37.5.

Tabela 4.4: Solu¸c˜ao ´optima para gRF (Exemplo 4.2)

Sector (k) 1 2 Viagem (p) 1 2 1 2 Arco (u) 1 (1;0;1) (0;1/2;0) (0;1/2;0) 2 (0;1/2;0) 3 (0;1;1) (1;0;1) 4 (1;0;2) (0;1/2;1) 5 (0;1/2;1) (1;0;2) 6 (1;0;1) 7 (1;0;1) 8 (0;1/2;0) 9 (0;1/2;0)

Valores de xpku, yupke fupkdados nos ternos (xpku; yupk; fupk).

Os valores n˜ao apresentados s˜ao nulos.

Para esta instˆancia verifica-se que existe uma solu¸c˜ao ´optima da relaxa¸c˜ao gRF n˜ao inteira para as vari´aveis ypk

u cujo valor ´e estritamente inferior ao valor ´optimo de RF

Este exemplo sugere a proposi¸c˜ao enunciada a seguir, onde se diz que o facto de as vari´aveis de servi¸co, xpk

u , serem bin´arias n˜ao ´e suficiente para garantir a integralidade

das vari´aveis que representam o n´umero de travessias de arcos em vazio, ypk

u , ou seja,

n˜ao ´e suficiente para assegurar a integralidade da solu¸c˜ao ´optima.

Proposi¸c˜ao 4.5. As vari´aveis de servi¸co que representam o n´umero de travessias de

arcos em vazio, ypk

u , podem n˜ao assumir valores ´optimos inteiros na relaxa¸c˜ao gRF .

Prova. Para a instˆancia do SARP usada no Exemplo 4.4 existe uma solu¸c˜ao ´optima

de gRF com valores n˜ao inteiros para as vari´aveis ypk

u . Conclui-se ent˜ao que a relaxa¸c˜ao

g

RF n˜ao garante a integralidade da solu¸c˜ao ´optima.