Proposi¸c˜ao A.1 (Teorema 1.2 de [2]). Suponha que X0 ∈ L2, ´e independente do
movimento Browniano (Ws)0≤s≤T e que o drift b e a volatilidade σ satisfazem o seguinte:
• ∃ C > 0 tal que ||(b, σ)(t, ω, x, α) − (b, σ)(t, ω, x0, α)||≤ C||x − x0||, ∀t ∈ [0, T ], ∀ω ∈ Ω, ∀x, x0 ∈ Rn, ∀α ∈ A • Para cada x ∈ Rn e α ∈ A, E[ Z T 0 ||b(t, ω, x, α)||2ds] < ∞ e E[ Z T 0 ||σ(t, ω, x, α)||2ds] < ∞
Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao (Xs)0≤s≤T de
(
dXt= b(t, ω, Xt, αt)dt + σ(t, ω, Xt, αt)dWt,
X0 = x0 ∈ Rd
Proposi¸c˜ao A.2 (Teorema 7.9, pg. 91, de [16]). Sejam B = (Bs)0≤s<∞ e (FsB)0≤s<∞
um movimento Browniano d−dimensional e sua filtragem gerada, com distribui¸c˜ao ini- cial µ (medida de probabilidade sobre os borelianos de Rn) sobre (Ω, FB
∞, Pµ). Relativo
a filtragem Pµ−aumentada, B ainda ´e um movimento browniano d−dimensional.
Proposi¸c˜ao A.3 (adapta¸c˜ao do Teorema 16.3.11 de [13]). Seja H um processo c`adl`ag adaptado em (Ω, (Fs)0≤s<∞, P) com valores em Rm (nestas condi¸c˜oes escrevemos H ∈
D). Seja f : [0, ∞) × Ω → Rn×m tal que ||f (t, ω) − f (t, ω)|| ≤ C||ω − ω0||∗
A. Resultados Usados
C > 0 e seja tamb´em (Ys)0≤s<∞ ∈ D. Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao de
(
dXs= dHs+ f (s, ω)dYs
X0 = x0 ∈ Rm
Proposi¸c˜ao A.4 (Corol´ario 5.16, pg.200, de [16]). Seja µ = (µ1, ..., µd), onde para i = 1, ..., d µi ´e uma fun¸c˜ao progressivamente mensur´avel em C[0, ∞)n (espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas de [0, ∞) em Rn) para a qual ∃ K > 0 tal que ∀ (t, ω) ∈ [0, T ] × Ω, ||µ(t, ω)|| ≤ K(1 + ||ω||∗t). Ent˜ao, para Xt(ω) = µ(t, ω), o processo
exp Z t 0 hµ(s, X), dWsi − 1 2 Z t 0 ||µ(s, X)||2ds 0 ≤ t ≤ T, ´e um martingale.
Aqui (Ws)0≤s<∞´e um movimento Browniano d−dimensional.
Proposi¸c˜ao A.5 (Lema 8.9.2 de [5]). Fixado um espa¸co de probabilidade (Ω, F , P), seja θ ∈ L1(P) tal que dµ = θdP define uma medida de probabilidade. Ent˜ao, para
qualquer sigma-´algebra G ⊂ F e X ∈ L1(µ) vale o seguinte,
Eµ[X|G] = EP
[Xθ|G] EP[θ|G]
Onde Eµ, EPs˜ao as esperan¸cas matem´aticas sobre as medidas µ e P respectivamente.
Proposi¸c˜ao A.6 (Proposi¸c˜ao 1.1.3 de [12]). Se (Xi)i∈I tem a propriedade de lattice,
ent˜ao existe uma sequˆencia (Xin)n n˜ao-decrescente q.c. tal que ess sup
i∈I
Xi = lim n→∞Xin
q.c..
Proposi¸c˜ao A.7 (Teorema 8.9.4 (teorema de Girsanov) de [5]). Seja h um processo tal que Rab|hs|2ds < ∞ q.c. e E[Eh(t)] = 1 para todo t ∈ [a, b], onde Eh ´e o processo
exponencial de h. Al´em disso, seja (Bt)a≤t≤b ´e um movimento Browniano. Ent˜ao
Wt = Bt−
Z t
a
hsds
´e um movimento Browniano com respeito a medida dQ = Eh(T )dP.
Proposi¸c˜ao A.8 (adapta¸c˜ao do Teorema 2.2.1 de [12]). Seja (Xs)0≤s<∞uma processo
cont´ınuo `a direita adaptado satisfazendo para todo s Xs ≥ 0 q.c. e E(sup s≥0
Xs) < ∞.
Ent˜ao, definindo Us = ess sup τ ∈S[s,∞]
A. Resultados Usados
Proposi¸c˜ao A.9 (Proposi¸c˜ao 3.14, pg. 16, de [16]). Seja (Xs)0≤s<∞um submartingale
em uma espa¸co (Ω, F , P) com filtragem (Fs)0≤s<∞. Ent˜ao, existe Ω∗ ∈ F tal que
P(Ω∗) = 1 e para todo ω ∈ Ω∗ o limite existe, lim
s↓t,s∈QXs(ω) ∀t ≥ 0
Proposi¸c˜ao A.10 (Corol´ario 7.8, pg. 91, de [16]). Para qualquer processo Markoviano d−dimensional (Xs)0≤s<∞, cont´ınuo a esquerda e com distribui¸c˜ao inicial µ definido
sobre (Ω, F , (FXs)
0≤s<∞, Pµ), a filtragem Pµ−aumentada ´e cont´ınua.
Proposi¸c˜ao A.11 (exerc´ıcio 3.26, pg. 20, de [16]). Seja (Xs)0≤s<∞ um processo con-
t´ınuo `a direita e adaptado `a filtragem (Fs)0≤s<∞ tal que para todo s E|Xs|< ∞. Este
processo ´e submartingale se, e s´o se, para todo o par de tempos de parada S < T limitados adaptados a mesma filtragem tivermos E[XT] ≥ E[XS].
Proposi¸c˜ao A.12 (Teorema 5.4.6 de [13]). Suponha que (Ms)0≤s<∞ seja um processo
cont´ınuo a direita adaptado a filtragem cont´ınua a direita (Fs)0≤s<∞. Ent˜ao (Ms)0≤s<∞
´e um martingale uniformemente integr´avel se, e s´o se, para todo tempo de parada T E|MT|< ∞ e E[MT] = E[M0].
Proposi¸c˜ao A.13 (Teorema 21.3.4 de [13]). Seja U um espa¸co topol´ogico que ´e uni˜ao de uma quantidade enumer´avel de subconjuntos compactos e separ´aveis e X um espa¸co m´etrico separ´avel. Seja G : Ω × [0, ∞) × X × U → R tal que:
• G(·, ·, x, u) ´e prediz´ıvel para todo x ∈ X, u ∈ U ;
• G(ω, t, ·, u) ´e uniformemente cont´ınua para dP×dt quase todo (ω, t) e todo u ∈ U; • G(ω, t, x, ·) ´e cont´ınua para dP × dt quase todo (ω, t) e todo x ∈ X;
• ess inf
u∈U G(ω, t, x, u) > −∞ para dP × dt quase todo (ω, t) e todo x ∈ X;
• Para dP × dt quase todo ponto (ω, t) e todo x ∈ X existe v ∈ U tal que ess inf
u∈U G(ω, t, x, u) = G(ω, t, x, v).
Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao P × B(X)−mensur´avel u∗ tal que ess inf
u∈U G(ω, t, x, u) =
G(ω, t, x, u∗(ω, t, x)) dP × dt q.c.
Proposi¸c˜ao A.14 (Lema 3, pg. 190, de [4]). Dadas ξ1, ξ2, ... uma sequˆencia de vari´aveis
aleat´orias integr´aveis e G(t) uma fun¸c˜ao crescente n˜ao-negativa definida para t > 0 tal que: lim t→∞ G(t) t = ∞ e supn E[G(|ξn |)] < ∞ Ent˜ao a fam´ılia {ξn}n ´e uniformemente integr´avel.
A. Resultados Usados
Proposi¸c˜ao A.15 (adapta¸c˜ao do Teorema 4.10 (Decomposi¸c˜ao de Doob-Meyer), pg. 24, de [16]). Seja (Fs)0≤s<∞ uma filtragem de F cont´ınua a direita tal que F0 con-
t´em todos os elementos de F de medida nula. Se o submartingale cont´ınuo a direita (Xs)0≤s<∞ ´e tal que a fam´ılia {XT}T ∈L ´e uniformemente integr´avel (L ´e a fam´ılia de
tempos de parada T adaptados a filtragem tais que P(T < ∞) = 1). Ent˜ao ele tem uma decomposi¸c˜ao da forma:
Xs= Ms+ As, 0 ≤ s < ∞
Onde (Ms)0≤s<∞ ´e martingale, cont´ınuo `a direita e uniformemente integr´avel e
(As)0≤s<∞ ´e um processo n˜ao-decresecnte integr´avel.
Proposi¸c˜ao A.16 (Lema 5.3, pg. 193, de [16]). Suponha que (Zs)0≤s<∞´e um processo
exponecial de um outro processo e que seja tamb´em martingale. Fixe 0 ≤ T < ∞, definimos a medida de probabilidade PT(A) = E[1AZT], A ∈ FT. Se 0 ≤ s ≤ t ≤ T e
Y ´e uma vari´avel aleat´oria mensur´avel em Ft tal que ET|Y |< ∞. Ent˜ao:
ET[Y |Fs] = E[Y Z t|Fs]
Zs q.c. P, P
T
Proposi¸c˜ao A.17 (Teorema 4,15, pg. 182, de [16]). Seja (Ws)0≤s<∞ um movimento
Browniano d−dimensional em (Ω, F , P) e (Fs)0≤s<∞ a filtragem P−aumentada do
mesmo. Se (Xs)0≤s<∞ ´e um processo c`adl`ag, quadrado integr´avel e adaptado a esta
filtragem tal que X0 = 0. Ent˜ao existe um processo progresivamente mensur´avel
(Ys)0≤s<∞ tal que: E Z T 0 ||Y ||2ds < ∞, 0 ≤ T < ∞ Xt= Z t 0 hYs, dWsi, 0 ≤ t < ∞
Proposi¸c˜ao A.18 (Teorema 3.3, pg. 149, de [16]). Dada f : R → R de classe C2
e (Xs)0≤s<∞ um semimartingale cont´ınuo com decomposi¸c˜ao de Doob-Meyer Xs =
X0+ Ms+ As 0 ≤ s < ∞. Ent˜ao f (Xt)−f (X0) = Z t 0 f0(Xs)dMs+ Z t 0 f0(Xs)dAs+ 1 2 Z t 0 f00(Xs)dhM is, 0 ≤ t < ∞ q.c.
Proposi¸c˜ao A.19 (Corol´ario 2 (regra de integra¸c˜ao por partes), pg. 68, de [22]). Sejam X, Y dois semimartingales. Ent˜ao vale:
A. Resultados Usados
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