Resumo - Gramáticas livres de contexto adaptativas com verificação de aparência

Neste resumo vamos indicar as modifica¸cões e acréscimos que fizemos ao texto original de Salomaa[2]_{. O final da prova do teorema 2.2.1 foi re-escrito para esclarecer} como se fazem as deriva¸cões; as provas dos teorema 2.2.3 e 2.4.3, foram reorganizadas no sentido de colocar os argumentos numa ordem seqüêncial; em particular na prova do teorema 2.2.3 foram repetidas algumas constru¸cões (feitas no original apenas para dois dos quatro casos a serem considerados), seguindo indica¸cões no texto original da prova. Além disso, inclu´ımos alguns exemplos e demonstra¸cões de nossa autoria; a seguir apresentamos uma lista e uma breve descri¸cão dos mesmos:

1. No exemplo 2.1.4 sobre uma gramática matricial com deriva¸cões mais à esquerda que gera a linguagem L = {a2n

: n ≥ 0}, inclu´ımos a árvore de deriva¸cão para várias palavras mostrando as deriva¸cões mais à esquerda nessas árvores; analisando essas árvores de deriva¸cão, planejamos uma demonstra¸cão por indu¸cão matemática para provar que as deriva¸cões mais à esquerda geram as palavras da linguagem e inclu´ımos essa prova no final do exemplo.

2. O exemplo 2.2.1 foi desenvolvido para ilustrar o método usado na prova do teorema 2.2.1, no qual se prova que toda linguagem é variante no tempo de tipo 3, mas a fun¸cão de varia¸cão pode não ser computável.

3. O exemplo 2.2.4 foi desenvolvido para ilustrar o método usado na prova do teorema 2.2.3, no qual uma gramática matricial, com duas produ¸cões em cada matriz, é transformada numa gramática periodicamente variante no tempo. 4. Na observa¸cão 2.3.2 fazemos uma pequena modifica¸cão do exemplo 2.3.1 para

obter uma gramática programada que gera a linguagem gerada pela gramática do exemplo 2.3.1 e também a palavra vazia.

5. Na observa¸cão 2.4.1 introduzimos o autômato finito com alfabeto de entrada igual ao conjunto de produ¸cões da gramática com linguagem de controle regular; esse autômato finito é usado para planejar provas por indu¸cão nesse exemplo e nos seguintes.

6. No exemplo 2.4.4 usamos o método da prova do teorema 2.4.6 para obter uma gramática matricial, com duas produ¸cões em cada matriz, a partir de uma gramática com linguagem de controle regular; a gramática matricial assim obtida é a mesma que foi usada no exemplo 2.2.4.

As técnicas de demonstra¸cão introduzidas neste cap´ıtulo serão usadas no próximo cap´ıtulo para demonstrar que o formalismo proposto das gramáticas livres de con- texto adaptativas é equivalente aos quatro formalismos gramáticas estudados neste

Cap´ıtulo 3

Gram´aticas livres de contexto

adaptativas

Neste cap´ıtulo, apresentamos uma proposta de dispositivo gramatical que identi- fica a classe das linguagens recursivamente enumeráveis. Para tanto recordamos primeiramente o conceito de gramática adaptativa[1] _{e, a seguir, introduzimos uma} especializa¸cão, baseada apenas no formalismo das produ¸cões livres de contexto adap- tativas com verifica¸cão de aparência, que possui poder computacional de máquina

de Turing. A prova desta afirmativa se apóia na equivalência entre o formalismo proposto e o das gramáticas livres de contexto com mecanismos de controle e verifica¸cão de aparência, apresentadas no cap´ıtulo 2. As provas são construtivas, e podem ser usadas para traduzir exemplos de gramáticas livres de contexto com mecanismos de controle e verifica¸cão de aparência para gramáticas livres de contexto adaptativas com verifica¸cão de aparência. Fazemos tais tradu¸cões na parte final da se¸cão 3.2.

Esta apresenta¸cão das gramáticas adaptativas incorpora uma extensa simplifica¸cão da nota¸cão original. Para apresentar uma idéia das simplifica¸cões realizadas, mostramos na primeira se¸cão deste cap´ıtulo uma resenha das gramáticas adaptativas como definidas originalmente e, a seguir, definimos o novo formalismo. Para uma descri¸cão detalhada das gramáticas adaptativas e suas propriedades remetemos o leitor ao trabalho original de Iwai[1]_.

Os resultados provados na se¸cão 3.2 podem ser resumidos no seguinte enunci- ado: as gramáticas livres de contexto adaptativas com verifica¸cão de aparência geram a classe das linguagens recursivamente enumeráveis. Mais ainda, basta usar fun¸cões adaptativas posteriores1 _{sem geradores nem vari´}_{aveis, nem a¸c˜}_{oes elementares de}

consulta, nem a¸cões adaptativas inicial nem final; adicionalmente, o único parâmetro requerido é uma produ¸cão, sendo que esse parâmetro pode ser eliminando sobrecarre-

1_Iwai[1]_{provou que gram´}_{aticas adaptativas podem usar apenas fun¸c˜}_{oes adaptativas posteriores}

gando a nota¸cão das produ¸cões de uma forma compat´ıvel com a nota¸cão utilizada em Neto[8] _{e Iwai}[1]_.

3.1 Gram´aticas Adaptativas

Gramáticas adaptativas são dispositivos gramáticais dinâmicos[27]_{, isto é, que podem} mudar sua configura¸cão em tempo de utiliza¸cão significando que a deriva¸cão de uma palavra gerada pela gramática adaptativa pode ser interpretada como uma trajetória que percorre diferentes gramáticas.

Na sua especifica¸cão original[1]_{, as gramáticas adaptativas podiam, ao realizar} uma deriva¸cão, incorporar novos s´ımbolos não-terminais, assim como criar ou apagar produ¸cões; mais ainda, podiam incluir produ¸cões dependentes de contexto na sua defini¸cão. Era permitido definir variáveis sem tipo para armazenar nomes de não- terminais, terminais e geradores (apontadores a variáveis que podiam ser usados para “gerar dinâmicamente” novos valores de não-terminais ou produ¸cões). Mais ainda, o conjunto de produ¸cões podia ser pesquisado especificando um padrão de busca, e o resultado da pesquisa era um conjunto de produ¸cões que satisfaziam tal padrão de busca.

A seguir vamos apresentar um resumo destas e outras carateristicas; terminare- mos esta se¸c˜ao apresentando um exemplo, extra´ıdo de Iwai[1]_.

Seja G = (N, T, P, S) uma gramática livre de contexto. Consideremos adicionalmente: um alfabeto de s´ımbolos de contexto C, um conjunto de produ¸cões D aplicáveis a formas sentenciais com dependências de contexto e um conjunto A de “fun¸cões adaptativas”; estas permitem incluir ou eliminar produ¸cões nos conjuntos P e D. Associamos fun¸cões adaptativas às produ¸cões de modo que seja poss´ıvel incluir ou eliminar produ¸cões durante a deriva¸cão de uma palavra, definindo uma rela¸cão binária R sobre o produto cartesiano (P ∪ D) × A. Define-se a tripla (G, A, R) como sendo uma gramática adaptativa, cujo conjunto inicial de produ¸cões é P ∪ D. As fun¸cões adaptativas associadas às produ¸cões especificam quais produ¸cões devem ser retiradas da gramática ou adicionadas a ela em cada passo da deriva¸cão de palavras de T∗ _{pela gramática adaptativa (G, A, R). Vamos formalizar esses conceitos:} Defini¸cão 3.1.1 Gram´atica Adaptativa. Uma gramática adaptativa é uma tripla

G = (G0_{, A, R}0_{) onde}

1. G0 _{= (N}0_{, T, P}0_{, C}0_{, D}0_{, S) ´e uma “gram´}_{atica inicial” tal que}

1.1 N0 _{´e um conjunto finito de s´ımbolos n˜}_{ao-terminais,}

3.1. GRAM ´ATICAS ADAPTATIVAS 113

1.3 P0 _{´e um conjunto finito de produ¸c˜}_{oes livres de contexto, relativas aos}

n˜ao-terminais do conjunto N0 _{e aos terminais do conjunto T ,}

1.4 C0 _{´e um conjunto finito de s´ımbolos de contexto,}

1.5 N0_{, T e C}0 _s˜_{ao disjuntos dois a dois,}

1.6 D0 _{´e um conjunto finito de produ¸c˜}_{oes dependentes de contexto relativas}

aos n˜ao-terminais do conjunto (N0_{∪ C}0_{) e aos terminais do conjunto T ,}

1.7 S ∈ N ´e o s´ımbolo inicial.

2. A é um conjunto finito de fun¸cões adaptativas (veja defini¸cão 3.1.8) 3. R0 _{é uma rela¸c˜}_{ao bin´}_{aria sobre o produto cartesiano (P}0_{∪ D}0_{) × A.}

Defini¸cão 3.1.2 Produ¸c˜oes. Na defini¸cão dos conjuntos de produ¸cões P e D uti- lizaremos um ´ındice superior i que indica o número de altera¸cões já realizadas pela gramática adaptativa desde o in´ıcio do processamento corrente.

No conjunto das produ¸cões das gramáticas adaptativas há dois tipos de produ¸cões livres de contexto, pertencendo ao conjunto Pi_{, com i ∈ N}

Tipo 1. Produ¸c˜oes da forma:

A → {A}α

onde α ∈ (N ∪ T )∗_{, A ∈ N}i_{, e A ´e uma a¸c˜}_{ao adaptativa opcional.} Tipo 2. Produ¸c˜oes da forma:

A → φ

onde φ é um meta-s´ımbolo que indica o conjunto vazio; regras desse tipo são usa-- das para o caso de existirem regras que referenciem não-terminais que deverão ser dinâmicamente definidos, pela aplica¸cão de a¸cões adaptativas.

Adicionalmente, h´a as produ¸c˜oes dependentes de contexto do conjunto Di_{, com i ∈ N} Tipo 3. Possuem um dos formatos seguintes: Sendo A, B ∈ Ni _{e A uma a¸c˜}_ao

adaptativa opcional,

αA ← {A}βB, com α ∈ C ∪ {λ}, β ∈ C

Neste caso, a seta para esquerda indica que o β est´a sendo injetado na cadeia de entrada.

αA → {A}βB, com α ∈ C, β ∈ (T ∪ {λ})∗

Neste caso, αA esta sendo substitu´ıdo por βB enquanto a cadeia β ´e gerada como sa´ıda.

Defini¸c˜ao 3.1.3 Geradores. São “apontadores a variáveis” automaticamente pre- enchidos ao in´ıcio da execu¸cão da fun¸cão adaptativa, com valores que não se repetem, preservando este valor apenas até o final da execu¸cão da fun¸cão.

Nas duas defini¸cões a seguir vamos considerar que p é um padrão de busca que corresponde a um dos três tipos de produ¸cões descritos na defini¸cão 3.1.2, e pode referenciar variáveis ainda não preenchidas.

Defini¸c˜ao 3.1.4 A¸c˜ao elementar de consulta. ? [p]

Consulta a existência de regras que correspondem ao padrão p. Se existirem as regras correspondentes, então preenche toda variável que apare¸ca no padrão p com os valores correspondentes nas regras encontradas.

Defini¸cão 3.1.5 A¸cão elementar de remo¸cão. − [p]

Consulta a existência de regras que correspondem ao formato indicado para exclusão e, se existirem as regras correspondentes, então as remove; caso contrário, nada ocorre.

Defini¸cão 3.1.6 A¸cão elementar de inser¸cão. + [p]

onde p é uma produ¸cão de um dos três tipos de produ¸cões descritos na defini¸cão 3.1.2, que pode referenciar variáveis preenchidas e geradores; essa a¸cão inclui no conjunto de regras da gramática adaptativa a regra p. A inser¸cão de uma regra já existente é inócua. A inser¸cão de regras que referenciam variáveis indefinidas é inócua.

Defini¸cão 3.1.7 Variável para fun¸c˜oes adaptativas. Variáveis são s´ımbolos que dão nome a elementos cujos valores são desconhecidos no momento da chamada da fun¸cão adaptativa, mas que devem ser preenchidos, como efeito da execu¸cão de a¸cões adaptativas elementares durante sua execu¸cão.

3.1. GRAM ÁTICAS ADAPTATIVAS 115 Defini¸c˜ao 3.1.8 O formato geral de uma fun¸cão adaptativa é o seguinte:

Nome(lista de parˆametros formais)

{lista de vari´aveis, lista de geradores:

a¸c˜ao adaptativa opcional inicial a¸c˜ao elementar 1

a¸c˜ao elementar 2

...

a¸c˜ao elementar n

a¸c˜ao adaptativa opcional final

}

Faremos a defini¸cão da aplica¸cão de uma produ¸cão considerando, primeiro, as produ- ¸cões de tipo 1, 2 ou 3 sem levar em conta a fun¸cão adaptativa opcional e, depois, explicaremos a aplica¸cão de produ¸cões que incluem fun¸cões adaptativas.

Defini¸cão 3.1.9 Deriva¸c˜ao de um passo. A defini¸cão da rela¸cão ⇒Gi envolve

duas cadeias de s´ımbolos. A segunda é gerada a partir da primeira pela aplica¸cão de uma única regra de produ¸cão pertencente à gramática G. Temos quatro casos a considerar:

1. Se p = A → β ∈ Pi _{e α ∈ T}∗ _{e γ ∈ (N ∪ T )}∗ _ent˜_{ao dizemos que αAγ deriva}

diretamente αβγ na gram´atica Gi _{e denotamos} αAγ ⇒Gi αβγ.

Este tipo de deriva¸cão é chamada de “deriva¸cão interna”.

2. Se p = A → φ ∈ Pi _{e α ∈ T}∗ _{e γ ∈ (N ∪ T )}∗ _{e se n˜}_{ao houver outra produ¸c˜}_ao

aplicável então dizemos que αAγ não deriva nenhuma senten¸ca (nem sequer a cadeia vazia) na gramática Gi _{e denotamos}

αAγ ⇒Gi φ.

3. Se p = αA ← βB ∈ Di _{onde α ∈ C}∗_{, β ∈ C e A, B ∈ N}i _{e, al´em disso,} γ ∈ T∗ _{e δ ∈ (N ∪ T )}∗ _ent˜_{ao dizemos que γαAδ deriva diretamente γβBδ na}

gram´atica Gi _{e denotamos}

γαAδ ⇒Gi γβBδ.

4. Se p = αA → βB ∈ Di _{onde α ∈ C, β ∈ T}∗ _{e A, B ∈ N}i _{e, al´em disso,} γ ∈ T∗ _{e δ ∈ (N ∪ T )}∗ _ent˜_{ao dizemos que γαAδ deriva diretamente γβBδ na}

gram´atica Gi _{e denotamos}

Qualquer um destes quatro quatro casos é denominado uma “aplica¸cão da produ¸cão

p no ambiente da gram´atica” Gi.

Defini¸cão 3.1.10 Deriva¸c˜ao Adaptativa de um passo. A aplica¸cão de uma produ¸cão adaptativa (produ¸cão de tipo 3) da forma p = αA ← {A}βB ∈ Di _ou p = αA → {A}βB ∈ Di _{é chamada “deriva¸c˜}_{ao adaptativa de um passo”. Uma}

deriva¸c˜ao adaptativa de um passo ´e representada na forma

ωi ⇒Gi {A}ω_i+1

com ωi = γαAδ, ωi+1 = γβBδ e tem o seguinte significado: primeiramente, executa-

se a a¸c˜ao adaptativa A, que gera a gram´atica Gi+1_{; a seguir aplica-se a regra de}

produ¸c˜ao p′ _{= αA ← βB ∈ D}i _{ou p}′ _{= αA → βB ∈ D}i _{que atua no ambiente da}

gram´atica Gi_{, e, finalmente ´e feita a migra¸c˜}_{ao para a gram´}_{atica G}i+1_{, descartando-se}

a gram´atica Gi_.

Defini¸c˜ao 3.1.11 Deriva¸c˜ao. Seja G = (G0_{, A, R}0_{) uma gram´}_{atica adaptativa.}

Uma deriva¸cão de uma palavra w ∈ T∗ _{segundo G é uma seq¨}_{uência finita de}

deriva¸c˜oes de um passo de G tal que

i. O lado esquerdo da primeira deriva¸cão de um passo é o s´ımbolo inicial de G, ii. O lado direito da última deriva¸cão de um passo é w,

iii. O lado direito de cada uma das outras deriva¸c˜oes de um passo ´e igual ao lado esquerdo da seguinte.

Esquematicamente:

S ⇒G0 w₁ ⇒_G1 w₂ ⇒_G2 w₃...w_n−1⇒_Gn w_n = w.

Defini¸c˜ao 3.1.12 A rela¸c˜ao ⇒∗

G ´e o fecho reflexivo transitivo da rela¸c˜ao ⇒Gi.

Defini¸c˜ao 3.1.13 Linguagem. Seja G = (G0_{, A, R}0_{) uma gram´}_{atica adaptativa.}

A linguagem L(G) aceita por G ´e:

L(G) = {w ∈ T∗ : S ⇒∗_Gw}

Exemplo 3.1.1 Gram´atica adaptativa G = (G0_{, A, R}0_{) para a linguagem} L = {an_bn_cn _{: n ≥ 0}. Consideremos a gram´}_{atica adaptativa G = (G}0_{, A, R}0_{), com:} G0 _{= (N, T, P, C, D, S)}

N0 _{= {S, E, A, A}

3.1. GRAM ´ATICAS ADAPTATIVAS 117 T = {a, b, c}

C0 _{= ∅} D0 _{= ∅} A _{= {A, B}}

R0 = {(A → {A(A, A1, B1, C1)}aA1, A(A, A1, B1, C1)), (A → {B(B1, C1)}λ, B(B1, C1))} P0 _{= { p}0

1 = S → EC, p02 = E → AB, p03 = A → {A(A, A1, B1, C1)}aA1, p0

4 = A → {B(B1, C1)}λ, p05 = B → B1, p06 = C → C1, p0

7 = A1 → φ, p08 = B1 → φ, p09 = C1 → φ},

com A definido como especificado a seguir:

A(t, x, y, z) = {u∗_{, v}∗_{, w}∗ _:

− [t → {A(t, x, y, z)}ax] , − [t → {B(y, z)}λ] , + [t → ax] , + [x → {A(x, u, v, w)}au] , + [x → {B(v, w)}λ] , + [y → bv] , + [z → cw] , + [u → φ] , + [v → φ] , + [w → φ] } B(x, y) = { + [x → λ] + [y → λ] } Deriva¸c˜ao de aaabbbccc:

S ⇒G0 EC ⇒_G0 ABC ⇒_G0 {A(A, A₁, B₁, C₁)}aA₁BC

⇒G1 {A(A₁, A₂, B₂, C₂)}aaA₂BC ⇒_G2 {A(A₂, A₃, B₃, C₃)}aaaA₃BC

⇒G3 {B(B₄, C₄)}aaaλBC ⇒_G4 aaaB₁C ⇒_G4 aaabB₂C ⇒_G4 aaabbB₃C

⇒G4 aaabbbB₄C ⇒_G4 aaabbbλC ⇒_G4 aaabbbC₁ ⇒_G4 aaabbbcC₂

⇒G4 aaabbbccC₃ ⇒_G4 aaabbbcccC₄ ⇒_G4 aaabbbcccλ.

Observa¸c˜ao 3.1.1 A gram´atica G4 _{possui 32 produ¸c˜}_{oes e 16 n˜}_{ao-terminais. Pode-}

se observar que a nota¸cão ⇒Gi {A()} indica a fun¸cão adaptativa mas não a produ¸cão

aplicada; na se¸cão seguinte modificaremos esta nota¸cão para indicar a produ¸cão e a fun¸cão adaptativa aplicadas. Anotamos a seguir os conjuntos das produ¸cões das gramáticas intermediárias para podermos indicar quais produ¸cões foram aplicadas em cada passo da deriva¸cão anterior.

P1 _{= (P}0_{\ { p}0 3, p04}) ∪ { p13 = A → aA1} ∪ { p1 10 = A1 → A(A1, A2, B2, C2)aA2, p111= A1 → B(B2, C2)λ, p112= B1 → bB2, p1 13= C1 → cC2, p114= A2 → φ, p115= B2 → φ, p1 16= C2 → φ } P2 _{= ( P}1_{\ { p}1 10, p111 } ) ∪ {p210 = A1 → aA2} ∪ { p2 17= A2 → A(A2, A3, B3, C3)aA3, p182 = A2 → B(B3, C3)λ, p219 = B2 → bB3, p2 20 = C2 → cC3, p221 = A3 → φ, p222 = B3 → φ, p2 23 = C3 → φ }

P3 _{= ( P}2_{\ { p}2 17, p218 } ) ∪ { p317 = A2 → aA3 }∪ { p2 24 = A3 → A(A3, A4, B4, C4)aA4, p252 = A3 → B(B4, C4)λ, p226= B3 → bB4, p2 27= C3 → cC4, p228= A4 → φ, p229= B4 → φ, p2 30= C4 → φ } P4 _{= P}3 _{∪ { p}4 31= B4 → λ, p432= C4 → λ }

As produ¸c˜oes aplicadas foram:

No documento Gramáticas livres de contexto adaptativas com verificação de aparência (páginas 131-140)