Resumo da metodologia de ajuste de curvas fechadas utilizando B-spline com pesos A metodologia proposta, para o ajuste de curvas fechadas a partir de um conjunto de

pontos conhecidos, que definem uma seção de um objeto, utilizando B-spline com pesos, pode ser resumida nas seguintes etapas:

1 – Traçado de uma B-spline aberta do tipo “clamped” considerando:  Qk (k = 0, ...,j) como pontos conhecidos;

 Cálculo de ̅̅̅ pelo método do comprimento de corda, Eq. (3.41);  Definição da quantidade de pontos de controle pela quantidade de pontos Qk (k =0,...,j)

que invertem a curvatura, item 5.3.1;

 Cálculo de U = {u0, ..., um} pelo método das Eqs. (3.52) e (3.53);

 Definição dos pesos wk (k = 0, ...,j) pela relação entre os raios das circunferências formadas a cada três pontos consecutivos de Qk (k = 0, ...,j), item 5.3.2;

 Cálculo dos pontos de controle pelo método dos mínimos quadrados, Eq. (3.48).

2 – Fechamento da B-spline cúbica aberta considerando:

 Cálculo de um novo vetor nó do tipo “unclamped” pelas Eqs. (3.54) e (3.55);

 Acréscimo de p+3 nós de modo que os seus vãos sejam iguais aos p+3 primeiros vãos do vetor nó definido pelas Eqs. (3.54) e (3.55);

 Repetição dos p+1 primeiros pontos de controle encontrados pela Eq. (3.48);  Traçado da curva cúbica B-spline fechada.

3 – Ajustes na curva:

 Definição do ponto inicial da curva através dos pontos considerados mais alinhados, item 5.3.3;

 Definição dos pontos de controle como 50% dos pontos Qk (k = 0, ...,j) para os casos em que a quantidade de pontos de inversão de curvatura é menor que esse valor, item 5.3.4;

Depois de todas as etapas concluídas é traçada a curva B-spline cúbica fechada com peso.

5.6 Conclusão

Escolher o tipo de curva e o método a ser utilizado é o primeiro passo para a reprodução de uma seção. A B-spline foi escolhida por possuir características como: controle local da curva, no qual a curva pode ser ajustada apenas em pontos necessários e resultado mais direto com tempo de processamento mais rápido. O método dos mínimos quadrados com peso possibilita a curva B-spline aproximar o máximo possível dos pontos oriundos da digitalização, pois tal método implica que o erro entre a curva obtida e a curva original deva ser o menor possível. Além disso, o peso relacionado a cada ponto que representa a coordenada do objeto, oferece à curva uma flexibilidade a mais, pois com esses pesos é possível aproximar ou afastar a curva dos pontos, possibilitando ao construtor definir de qual maneira ele pretende fazer isso.

Para a reprodução de uma seção transversal fechada é preciso definir a curva B-spline fechada, calculando de forma adequada os pontos de controle e os nós, de tal forma que ela possua suavidade no fechamento não deixando evidente onde está esse local.

Traçar a B-spline cúbica diretamente não gera o melhor resultado. Por isso, é necessário definir vários fatores. Além do peso, já mencionado, deve-se definir qual o melhor ponto para se iniciar o traçado da curva; qual a quantidade mais adequada de pontos de controle e, depois de traçada a curva, ainda fazer ajustes como a imposição de alguns pontos de controle sobre a direção da tangente do primeiro ponto, como nesse trabalho. Todos esses requisitos são utilizados para que se obtenha um melhor resultado da curva, ou seja, para que ela se aproxime ao máximo dos pontos dados.

Em todos os exemplos apresentados nesse capítulo, a curva obtida, depois de todos os ajustes e definições consideradas, teve um resultado satisfatório. Em todos os casos a curva representou de forma fiel a seção transversal.

CAPÍTULO VI

CONCLUSÕES

6.1 Conclusões

A digitalização de perfis tridimensionais de objetos e sua reconstrução têm apresentado um grande desenvolvimento e podem ser aplicadas em diversas áreas tais como na fabricação (fundição, estereolitografia, etc.), na engenharia reversa (reconstrução de componentes de máquinas que não possuem desenhos), na inspeção (permitindo verificar se o objeto está conforme o projetado), simulação virtual (efeitos especiais no cinema, jogos), na cópia de peças disponíveis em museus, na medicina (reconstrução de partes do corpo humano), na exploração científica e no mercado de consumo. Essa digitalização origina uma nuvem de pontos, em geral desorganizados que devem ser reduzidos, organizados e tratados com o intuito de preservar ao máximo o contorno do objeto. Para reconstruir a superfície através dessas amostragens são requeridos algoritmos eficientes e confiáveis. Essa reconstrução pode ser feita a partir da reconstrução das seções transversais que depois de unidas permitem representar a superfície do objeto.

Para a reconstrução dessas seções transversais é necessário definir qual o método a ser utilizado. Nesse trabalho foi utilizada a curva B-spline fechada associada a método de aproximação por mínimos quadrados com peso.

A B-spline é utilizada devido suas várias características, dentre elas o controle local da curva, que permite ajustar a curva somente em determinados pontos sem alteração do restante da curva, e é cúbica devido ao fato de ser mais adequada para muitas aplicações. A curva é fechada para reproduzir seções fechadas de um determinado objeto e os pesos são implementados para a aproximação ou afastamento da curva em determinados pontos.

O método utilizado possui como ajustes, além dos pesos, a definição da quantidade de pontos de controle, do ponto inicial e a definição de alguns desses pontos de controle sobre a tangente do ponto inicial para evitar distorções da curva nessa região. Tal método pode ser utilizado para qualquer conjunto de pontos dados obtendo resultados satisfatórios sem a intervenção do usuário. Ou seja, dado um conjunto de pontos que representam a seção transversal do objeto, a curva é traçada e todos os ajustes necessários são feitos de forma automática, definindo qual o ponto inicial, a tangente, os pesos adotados e a quantidade de pontos de controle sem a necessidade de uma avaliação e/ou modificação do usuário. O método ainda pode ser utilizado para qualquer tipo de grau da curva, mas nesse caso foi adotado o grau 3 devido às suas vantagens antes mencionadas.

A curva B-spline cúbica utilizada representou de forma fiel a seção transversal do objeto, mostrando através dos exemplos, que ela é um reconstrutor de forma eficiente.