P é o perímetro, C é o comprimento e l é a largura.
Sujeitos de quinta série
Dos sujeitos de quinta série, apenas um substituiu corretamente os dados do problema na expressão representativa do perímetro, mas não foi adiante. Dois dos demais sujeitos interpretaram o problema como área e multiplicam 4 por 2 obtendo o resultado 8.
(SF) Eu fui resolvendo de duas maneiras, certo! Foi, duas vezes vinte igual quarenta, e a outra, eu fiz cinco mais três igual a oito, vezes cinco deu quarenta que deu o mesmo resultado (referindo-se a primeira tentativa).
(P) Você foi tentando fazer..., como é que é?
Um sujeito somou os dados do problema e encontrou 8 como solução. Um outro apenas escreveu “6 perímetros”, sugerindo que apenas somou o valor do lado com o da altura.
Novamente o problema indica que os sujeitos da quinta série não consideram a possibilidade da aplicação da propriedade distributiva, até mesmo porque desconsideram a expressão dada como possibilidade de auxílio na solução do problema. Mas um dos sujeitos vislumbrou a solução o que sugere ser menos difícil do que o problema anterior.
Sujeitos de sétima série
Dois sujeitos substituem corretamente os dados na expressão, mas param na aplicação da expressão, procedendo de forma análoga a alguns dos sujeitos de quinta série.
Um outro sujeito substitui os dados da expressão, mas cometeu um equívoco: ao resolver pela propriedade distributiva, eliminando o parêntese, obteve o resultado P= 6m + 4m. Tal procedimento indicava que o sujeito repetiu o quatro, pertencente à operação do parêntese. Este resultado não nos possibilitou compreender o resultado encontrado. O sujeito não efetuou a soma final.
Pelo menos no que diz respeito à substituição dos valores na expressão, os sujeitos pareceram aptos, mas ainda haviam aqueles que se equivocavam na solução do problema.
O diferencial entre esses sujeitos em relação aos sujeitos de quinta série, estava na utilização da expressão. Não é difícil inferir que isso ocorra porque os sujeitos de sétima série já estudaram o conteúdo de valor numérico, o que facilitou sua aplicação nesta expressão. Como podemos ver no protocolo abaixo.
(SC) Aqui tem P, é igual ( se referindo a fórmula existente no problema). Então, não tem que fazer nada com eles. Aí eu fiz dois aí..., eu, eu..., baixei o dois, aqui pra baixo. Eu fiz “C” mais um, o “C” como se ele fosse três. Aí eu, então, é, três mais um é quatro, aí eu fiz duas vezes quatro, deu oito.
Todos os sujeitos da sétima série entenderam que a expressão deveria ser usada na solução do problema. Mas somente dois deles o resolveram a contento utilizando a propriedade distributiva.
Sujeitos do primeiro ano do Ensino Médio
Todos o fizeram com sucesso e solucionaram a questão com êxito total. A diferença ficou por conta da opção entre solucionar por processo de eliminação do parêntese ou pela aplicação da propriedade em seu nível genérico. Três solucionaram pela aplicação da propriedade e dois por eliminação do parêntese.
Os sujeitos do primeiro ano pareceram dominar bem a questão da substituição dos dados na expressão. A exemplo, destacamos o protocolo da página seguinte.
Problema 3.d: Qual o valor de Y na equação 5y – 6 = 2(y - 9)
Sujeitos de quinta série
Apenas dois sujeitos ao resolverem o produto 2(y –9), descartaram o y e multiplicaram o 2 pelo 9 (desconsiderando também o sinal negativo. A expressão ficou 5y –6 = 18, sem continuidade de solução ( porque tem Y).
(SD) Perímetro eu multipliquei aqui no caso eu..., eu, é, eu dividi aqui que tinha que fazer igual a essa questão aqui (referindo-se a fórmula). Aí eu fiz, duas, ô,ô quatro metros de “c” e dois metros de “l”. Aí quatro metros eu fiz, fiz duas vezes quatro, que é o quatro do comprimento, e mais dois da largura. Aí duas vezes quatro deu oito, e, duas vezes duas, deu..., e deu oito, mais quatro...
(SA) Eu fiz pelo método da distribuição. Perímetro, é igual a duas vezes quatro, mais dois que é a largura. Aí duas vezes quatro, oito. E duas vezes duas, igual a quatro. E que dá doze.
Os outros três sujeitos descartaram por completo a variável. Um deles substituiu o y de 5y por zero e obtendo o número 50 que subtraindo 6, dá 46 e no segundo membro da equação descartou o y e o sinal de –9 e ficou como 2( )9 (não é possível operar, porque não tem sinal.
Outro desconsiderou o primeiro membro da equação, bem como o y do segundo membro e o sinal de –9. Resultado: 2 x 9 = 18.
Um outro eliminou y do primeiro membro da equação, ficando com 5 –6 e substituiu y do segundo membro por 5. Multiplicou 2 por 9 e ficou com a expressão 5-6 = 2 (5 –18) que não concluiu a operação do parêntese.
Como já referendado, na questão 1.e, sobre o tratamento desses sujeitos, quanto às variáveis, nesta questão, as mesmas receberam o mesmo tratamento. Isto é, as resoluções expressaram que a matemática é somente uma linguagem numérica.
Observamos, porém, que dois sujeitos consideraram somente o segundo membro, aplicaram parcialmente a propriedade ao multiplicar o fator dois, por nove.
Até então, o procedimento era a eliminação do parêntese, através da soma ou da subtração. Bem como, o reconhecimento da soma como operação real entre o fator e o parêntese. Neste caso, esses dois sujeitos mudaram o procedimento utilizando o recurso multiplicativo entre o fator e o nove do parêntese do segundo membro.
Os sujeitos, em função da série, não reconheceram as variáveis como possibilidade operatória, pois descartam-nas como se elas não existissem no exercício.
(SA) Primeiro, ele me pergunta qual é o valor de “Y” na equação? È... eu acho que “Y” é zero. Eu fiz aqui (se referindo ao fato de repetir o cinco) cinco, aqui, zero né (se referindo a “Y”) né é cinqüenta menos seis ( referindo-se a 5y-6), baixei, deu quarenta e quatro e do outro lado, né, igual. Eu fiz aqui, abaixei o dois de novo, fiz aqui, é, zero (referindo-se a “Y”), baixei o nove, aí nove, menos dois, igual a sete.
Sujeitos de sétima série
Um sujeito aplicou a propriedade distributiva corretamente e isolou a variável y corretamente, mas ao subtrair 6 -18, diz que deu doze, ficando com a expressão 3y = 12, que não conclui. .
Um outro sujeito, procedeu como os sujeitos de quinta série. Descartou o primeiro membro da equação e aplicou parcialmente a propriedade distributiva no segundo membro, ficando com a expressão = 2y – 9. Daí conclui que y=9/2.
Outro sujeito separou os membros da equação como se fossem duas e dá uma solução baseada em sistemas de equações. A “primeira” também é “ajeitada”, ficando y= (2 –9 ) que ele conclui ser y= 7 (não considerou o sinal “-“).
Depois multiplicou 2 por 7 e colocou como resultado a ser igualado com o primeiro membro, ficando 5y – 6 = 14, que não concluiu (coloca por fim y = 7).
Um outro, aplicou parcialmente a propriedade no segundo membro, ficando com a equação 5y – 6 = 2y – 9. Em seguida, isolou a variável y, mas demonstra desconhecer o procedimento com os sinais, pois manteve o 9 no segundo membro, tirou o sinal, e, transportou o menos 6, manteve o sinal. A expressão ficou então 5y – 2y = 9 – 6 que ficou 3y = 3, que não concluiu.
Finalmente um outro aplicou corretamente a propriedade, ficando com a equação 5y – 6 = 2y – 18, mas somou os termos não semelhantes do segundo membro dando 16y. A equação ficou 5y – 6 = 16y. Daí em diante não se conseguiu entender a lógica do aluno, pois ele deu valores arbitrários e efetua operações incompreensíveis.
Os alunos de sétima série nesta expressão tinham vivências escolares no que diz respeito a equação do primeiro grau estudada na sexta série, o que nos possibilitou a pensar que a resolução deste tipo de equação ainda necessita de melhor compreensão e internalização deste processo.
Assim, indicamos que os sujeitos de sétima série demonstraram conhecer equação, mas estavam em processo, pois nenhum chegou ao resultado esperado.
Sujeitos de primeiro ano do Ensino Médio
Dos cinco sujeitos do primeiro ano um aplica a propriedade distributiva desenvolve o procedimento da equação e no resultado não executa 3y = -12, e um outro sujeito soma –18 + 6, encontrando 12 que dividiu por 3 e deu 6. Esses sujeitos apresentaram dificuldades com a soma algébrica.
Um outro sujeito demonstrou que estava no nível dos sujeitos da quinta série, pois descartou o parêntese do segundo membro e ficou com a equação 5y – 6 = 2 que a resolveu e obteve 8/5.
Os sujeitos do primeiro ano em sua maioria pareceram ter adquirido o processo de solução de uma equação do primeiro grau. Os sujeitos resolveram a equação com pequenas diferenças, mas somente dois concluíram com êxito a equação.
No contexto da resolução de problemas, no problema 3.a, percebemos que os sujeitos traduziram para a linguagem matemática a ordem dos fatos/dados apresentados no problema por sujeitos das três séries, podemos inferir que esses sujeitos, assim procedendo, apontam elementos para se deduzir que as habilidades de pensamento na resolução deste problema precisam ser maximizadas.
Quanto ao problema 3.b a linguagem matemática pareceu ser distante do domínio que as experiências escolares poderiam provocar nos educandos. Mesmo nos sujeitos que já passaram por estas situações, o pensamento abstrato exigido neste problema pode indicar que as generalizações necessárias para tal problema
(SD) Ah! Essa daí, eu não sabia fazer, aí saiu isso daí. (y= 16) (P) Isso daí, veio de onde?
(Rir)
(SD) Veio da conta!
(P) Qual é a conta? Mostra!(o sujeito aponta para 2 (y – 9)).
(P) E essa conta aqui? O que você fez com ela?(refiro-me ao primeiro membro) (Rir)
precisariam ser potencializadas.
Esta situação de erro no contexto escolar se provocasse um certo “estranhamento” no processo ensino-aprendizagem poderia se constituir como uma rica possibilidade para o aluno avaliar tanto as hipóteses empregadas, quanto seu raciocínio, bem como servir para motivar os aprendentes a repensar seu engajamento na atividade pedagógica.
A aplicação da propriedade distributiva no contexto da resolução de problemas quando vislumbrada nas resoluções traziam situações que dificultavam o êxito das questões do terceiro bloco. Essas situações as quais podemos chamar de erros também possuem significados diversos que somente um estudo bem próximo poderia desprender maiores elementos analíticos. E como a avaliação se insere neste contexto?
Insere-se, entre outros elementos, no contrato didático e social estabelecido nas relações de aprendizagens sejam tácitos ou não. Com a leitura sobre os procedimentos dos alunos, ou seja, a avaliação, não deve ser um “andar em torno de”, mas buscar um rigor explicativo, reflexivo no que está sendo observado para poder compreendê-lo melhor. Bem como, se insere na compreensão da resolução de problemas como uma estratégia metacognitiva, estratégia que se refere ao processo de reflexão do sujeito na construção de sua aprendizagem para tornar objetivo, consciente, tanto seus processos cognitivos, quanto a “regulação” desses processos.
4.2. APLICAÇÃO DA PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO
Com a intenção de elucidarmos como os sujeitos vislumbravam a aplicação da propriedade distributiva, apresentaremos os resultados quanto à freqüência dos sujeitos, lavando em consideração quatro categorias:
(1) Nível particular - nível que satisfaz no contexto numérico – é a eliminação do parêntese, quando “x”, “a” e “b” assumem valores conhecidos no campo da aritmética.
(2) Nível genérico - nível que satisfaz tanto no contexto numérico, quanto no algébrico, isto é, x (a + b) válidos em todos os campos da matemática.
(3) Parcial, quando sua aplicação não se desenvolvia a contento - os sujeitos só empregavam a distributividade em apenas um dos termos do parêntese.
(4) Em outras categorias, agrupamos as resoluções com as quais a aplicabilidade da propriedade não fora vislumbrada.
O instrumento foi elaborando levando em consideração a aplicação da propriedade distributiva em três contextos: numérico, algébrico e na resolução de problemas, assim, a freqüência da aplicação da propriedade distributiva realizada pelos sujeitos foi observada levando em consideração os contextos matemáticos em que a questão estava mais ligada. Na tabela 1, abaixo, apresentaremos a freqüência dos sujeitos.