Nesta seção mostraremos que subgrupos cíclicos de um grupo residualmente livre são retratos virtuais do grupo que os contém.
De nição 2.7.1. Um subgrupo H de um grupo G é um retrato de G se, existe um homomor smo f : G 7−→ H tal que f|H = id, onde id é a identidade de H .
Chamamos H um retrato virtual de G, se H é contido como um retrato de um subgrupo de índice nito de G.
Teorema 2.7.2. (Teorema de Marshall Hall Jr) Se F é um grupo livre e H um subgrupo namente gerado de F, então existe um subgrupo K de F de índice nito tal que K = H ∗ G, onde G ≤ F.
Lema 2.7.3. Seja G um grupo residualmente livre e L um subgrupo cíclico de G. Então G tem um subgrupo de índice nito H, contendo L, tal que L é um retrato de H ( isto é, L é um retrato virtual de G).
Demonstração. Como L = hzi 6= 1 é um subgrupo de G, então para z ∈ L existe um homomor smo f : G 7−→ F tal que f(z) 6= 1. Provaremos as seguintes a rmações:
i) f é injetiva sobre L. De fato, seja 1 6= x ∈ L tal que f(x) = 1. Como x ∈ L então x = zm onde m ∈ N . Logo f(z)m = 1, mas como f(z) ∈ F segue que ele
não pode ter ordem nita, pois F é livre de torção, portanto x = 1.
(ii) Existe um subgrupo de índice nito K de F tal que f(L) é um retrato de K. De fato, observemos que f(L) é um subgrupo livre de F, então pelo Teorema de Marshall Hall Jr (Teorema 2.7.2), temos que existe um subgrupo K de F de índice nito tal que K = f(L) ∗ M e M ≤ F.
Pela de nição de produto livre temos que, existe ϕ : K 7−→ f(L) tal que ϕ|f (L) = id|f (L), portanto f(L) é um retrato de K. E isto prova a a rmação.
Voltando à demonstração, tome H = f−1(K), então temos que L ≤ H. Ob-
servando o seguinte diagrama
temos que f−1◦ ϕ ◦ f : H = f−1(K) 7−→ Lé um homomor smo tal que f−1◦ ϕ ◦
f (z) = z, ∀z ∈ L. Resta provar que H = f−1(K) é um subgrupo de índice nito de G, para concluir que L é um retrato virtual de G. Seja a função,
ψ : { Classes laterais de H em G } 7−→ { Classes laterais de K em F} gH 7−→ f (g)K.
Notemos que ψ é injetiva. Sejam g1H e g2H classes laterais de H = f−1(K)
em G tal que ψ(g1H) = ψ(g2H), logo f(g1g2−1) ∈ K e então g1g2−1 ∈ H. Portanto
g1H = g2H e assim ψ é uma função injetiva, e desta forma temos que H é um
Cap´ıtulo
3
GRUPOS RESIDUALMENTE LIVRES
SOBRE 3-VARIEDADES
Neste capitulo mostraremos que as variedades atoroidais, compactas e ori- entáveis com bordo toral (possivelmente vazio) e grupo fundamental não trivial não têm grupo fundamental residualmente livre e que as variedades hiperbólicas de volume nito com bordo não vazio não têm grupo fundamental residualmente livre, além disso daremos uma classi cação das variedades bradas de Seifert compactas e conexas com bordo incompressível (possivelmente vazio) e grupos fundamentais residualmente livres não triviais. Finalmente, mostraremos que um grafo variedade (variedade com decomposição toral formada só por componentes variedades bradas de Seifert) conexo com bordo incompressível e grupo funda- mental residualmente livre não trivial é uma variedade brada de Seifert.
3.1 - Grupos residualmente livres sobre uma vari-
edade atoroidal e uma variedade hiperbólica
O objetivo desta seção é munir de uma estrutura geométrica às variedades irre- dutíveis, atoroidais, orientáveis, compactas com bordo toral (possivelmente vazio) e grupo fundamental residualmente livre não trivial. Além disso, demonstrare- mos que uma variedade hiperbólica com bordo não vazio e grupo fundamental não trivial tem grupo fundamental não residualmente livre.
Teorema 3.1.1. Se M é uma 3-variedade compacta, P2-irredutível com bordo
(possivelmente vazio) e grupo fundamental residualmente livre não trivial, então M é uma variedade de Haken.
Demonstração. Pelo Teorema 1.3.20 só restaria provar que o numero de Betti de π1(M ) é positivo, ou seja, b1(π1(M )) > 0. Já que M é uma 3-variedade
compacta, então π1(M ) é nitamente gerado. Seja g um elemento não trivial de
π1(M ), da Proposição 2.2.3 temos que existe um subgrupo N E π1(M ) tal que
g /∈ N e π1(M )/N é um grupo livre. Já que π1(M ) é nitamente gerado, então
π1(M )/N é um grupo livre de posto nito, logo
π1(M )/N
(π1(M )/N )0 é um grupo abeliano
livre de posto nito. Já que π1(M )/N
(π1(M )/N )0 =
π1(M )/N
(π1(M )0N )/N, então pelo 3
◦ Teorema fun-
damental dos homomor smos temos que π1(M )/N
(π1(M )0N )/N
∼
= π1(M )/(π1(M )0N ), logo
π1(M )/(π1(M )0N ) é abeliano livre de posto nito. Pelo 3◦ Teorema fundamen-
tal dos homomor smos, temos que π1(M )/(π1(M )0N ) ∼= π1(M )/π1(M )
0
(π1(M )0N )/π1(M )0, logo
π1(M )/π1(M )0
(π1(M )0N )/π1(M )0 é também abeliano livre de posto nito. De namos o homomor-
smo projeção
φ : π1(M )/π1(M )0 7−→
π1(M )/π1(M )0
(π1(M )0N )/π1(M )0
g 7−→ g(π1(M )0N )/π1(M )0, onde g = g π1(M )0.
De φ observamos que, como π1(M )/π1(M )0
(π1(M )0N )/π1(M )0 é abeliano livre de posto nito,
π1(M )/π1(M )0 contém elementos de ordem in nita, pois π1(M )/π1(M )
0
(π1(M )0N )/π1(M )0 contém
elementos de ordem in nita.
Sabemos que o primeiro numero de Betti de π1(M ) é igual à quantidade de
fatores Z na decomposição do grupo abeliano nitamente gerado π1(M )/π1(M )0,
logo como π1(M )/π1(M )0 tem elementos de ordem in nito, temos que existe pelo
menos um fator Z na decomposição do grupo abeliano π1(M )/π1(M )0, portanto
b(π1(M )) > 0.
Corolário 3.1.2. Se M é uma 3-variedade compacta, orientável, atoroidal com bordo toral (possivelmente vazio) e grupo fundamental residualmente livre não trivial, então M é uma variedade hiperbólica completa de volume nito.
Demonstração. Pelo Teorema 3.1.1 temos que M é uma variedade de Haken. Logo, a conclusão segue direto do Teorema 1.7.3.
Corolário 3.1.3. Se M é uma 3-variedade compacta, orientável, atoroidal com bordo vazio e grupo fundamental não trivial, então M tem grupo fundamental não residualmente livre.
Demonstração. Suponha que π1(M ) é residualmente livre. Pelo Teorema 2.4.5
Pelo Corolário 3.1.2, temos que M é uma variedade hiperbólica completa de volume nito. Usando o Corolário 1.4.21, temos que π1(M ) não contém Z × Z,
logo π1(M ) é totalmente residualmente livre. Se π1(M )não é cíclico, então pelo
Teorema 2.6.1 temos que π1(M )tem in nitos automor smo externos, pois π1(M )
é nitamente gerado e não é cíclico. Mas, pelo Corolário 1.4.25, π1(M )tem nitos
automor smos externos, o qual nós da uma contradição. Se π1(M ) é cíclico,
então pelo Teorema 1.6.7 temos que M é uma variedade brada de Seifert, logo é modelada por uma das geometrias na gura 1.6 , o qual é uma contradição, pois M é uma variedade hiperbólica , logo é modelada pela geometria H3.
Portanto π1(M )não é residualmente livre.
Teorema 3.1.4. Se M é uma 3-variedade hiperbólica compacta de volume nito com grupo fundamental não trivial e bordo não vazio, então π1(M ) é não residu-
almente livre. Demonstração.
Suponha que π1(M ) é residualmente livre. Pelo Teorema 2.4.5 temos que
π1(M ) contem F2× Z ou π1(M ) é totalmente residualmente livre. Separamos a
demonstração em dois casos:
1) Suponha que π1(M ) contém F2 × Z. Pelo Teorema 1.4.23 temos que o
bordo de M é toral, ou seja, o bordo de M é formado por toros. Pelo Teorema 1.4.26 temos que o grupo fundamental de uma componente do bordo de M é malnormal, ou seja, o grupo fundamental de um toro T2 contido no bordo de M
é um subgrupo malnormal de π1(M ). Já que o grupo fundamental de um toro é
isomorfo a Z×Z, então Z×Z é um subgrupo malnormal de F2×Z, pois Z×Z está
contido em F2× Z, assim pelo Lema 2.3.2, temos que F2 × Z é um grupo CSA.
Logo, da Proposição 2.4.2, temos que F2 × Z é totalmente residualmente livre,
pois F2× Z é um grupo CSA e residualmente livre, o qual é uma contradição, já
que pelo Exemplo 2.3.9 F2× Z não é totalmente residualmente livre.
2)Se π1(M )é totalmente residualmente livre, então pelo Teorema 2.6.1 temos
que π1(M ) tem in nitos automor smo externos, pois π1(M ) contém Z × Z e é
nitamente gerado. Mas, pelo Corolário 1.4.25, π1(M )tem nitos automor smos
externos, o qual da uma contradição.