LATTICE BOLTZMANN
4.3 REVISÃO DA LITERATURA: USO DO LBM PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ELETRO-FLUIDO-DINÂMICOS
Nesta sessão, os principais trabalhos sobre a solução de problemas eletro-fluido-dinâmicos por meio do uso do método LB são mostrados. Ao longo do texto, será observado que a maioria destes trabalhos não está diretamente relacionada com a solução e/ou análise de problemas biológicos, porém, a abordagem teórica é a mesma.
Um aspecto muito importante a ser observado é se a equação discreta proposta recupera adequadamente a equação macroscópica correspondente. He, Shan e Doolen (1998) mostram que, equações de Boltzmann contendo termos de força precisam ser discretizadas até, pelo menos, seus termos de segunda ordem. Outra forma de eliminar os erros envolvidos é a modificação das distribuições de equilíbrio (SHAN; YUAN; CHEN, 2006) ou a correção do termo de força (GUO; ZHAO, 2005). Como será visto adiante, o termo que rege a migração iônica na Eq. (4.1) aparece, na respectiva equação discreta, como um termo de força. No entanto, nem sempre os modelos propostos na literatura se preocupam com tal aspecto. He e Li (2000), por exemplo, estudaram sistemas eletroquímicos nos quais a equação de N-P é resolvida utilizando uma equação de LB de primeira ordem. Embora tenha sido dito que a equação proposta recupera a equação de N-P, o modelo proposto introduz erros da mesma ordem do termo de força em tal equação (apêndice A). Eles introduziram reações químicas nos
contornos para estudar a indução da formação de uma dupla camada elétrica, um fenômeno que, conforme será visto no capítulo seguinte, é importante em regiões próximas à membrana neuronal.
Wang, Wang e Li (2005) negligenciaram a advecção e assumiram a hipótese de regime permanente. Aplicando essas duas simplificações, a solução da equação de N-P se resume a uma distribuição de Boltzmann: 0 , exp , i i i c B e z V C C k T (4.5)
em que C é uma condição de contorno. i c,
Neste caso, as Eqs. (4.1) e (4.4) ficam desacopladas. Substituindo (4.5) em (4.4), a equação de Poisson-Boltzmann, P-B, é obtida:
2 0 0 , 0 exp . v i i i c i r e A e z V V z C kT
(4.6)Esta aproximação, estritamente válida para escoamentos com velocidades baixas e solução diluída, nos quais o termo advectivo pode ser negligenciado dentro da equação de N-P, é comumente aplicada em escoamentos eletro-osmóticos. Nesta formulação, o escoamento é completamente descrito pelas equações de P-B e N-S com um termo de força de corpo que descreve a resposta do fluido ao campo eletrostático.
Guo, Zhao e Shi (2005), Wang, Wang e Li (2006), Tang et al. (2006), Chai e Shi (2007), Chai, Guo e Shi (2007); Chai, Shi e Zheng (2007), Tang et al. (2009) e Lin e Chen (2013) resolveram as equações de N-S e P-B de forma simultânea usando o método LB, ou seja, cada uma das equações foi resolvida via solução de uma equação de LB. Guo, Zhao e Shi (2005) e Chai, Shi e Zheng (2007) estudaram escoamentos eletro-osmóticos com transferência de calor. Neste caso, ambos os trabalhos resolveram a equação da energia também por meio do método LB. Wang, Wang e Li (2006) incluíram o chamado “fator de Boltzmann” dentro da distribuição de equilíbrio para a mistura, de modo a incluir a influência de campos de força conservativos. Eles usaram esta aproximação para analisar o efeito da dupla camada formada em microcanais. Tang et al. (2006) e Lin e Chen (2013) analisaram a influência de diferentes padrões de campos potenciais externos no aprimoramento de dispositivos microscópicos. Lin e Chen (2013)
também analisaram a influência da aplicação de diferentes campos de pressão. Chai, Guo e Shi (2007) estudaram escoamentos eletro- osmóticos em microcanais porosos e Tang et al. (2009) desenvolveram uma forma de calcular a tensão de cisalhamento local em fluidos não- Newtonianos e foram capazes de simular os escoamentos eletro- osmóticos de fluidos que satisfazem um modelo macroscópico de lei de potência em microcanais.
Liu e Yang (2009) introduziram o efeito do tamanho e volume dos íons, além dos efeitos de imagem (efeitos relacionados com a descontinuidade da constante dielétrica próximo às paredes) dentro da distribuição de P-B para analisar a conversão de energia em nanobaterias. A distribuição de equilíbrio da mistura foi desenvolvida com acuracidade até ordem 6, mas a equação de P-B modificada não foi resolvida usando-se o método LB. Li e Kwok (2003), assim como o já citado trabalho de Wang, Wang e Li (2006) introduziram o fator de Boltzmann dentro da distribuição de Boltzmann da mistura. Eles o fizeram para analisar a formação da dupla camada elétrica em microcanais submetidos a forças elétricas externas. Eles aplicaram esta equação a problemas plenamente desenvolvidos, obtendo o potencial elétrico de forma direta. Horbach e Frenkel (2001) e Landau et al. (2003) introduziram um termo relacionado com a carga de macroíons dentro da equação de Poisson para estudar a sedimentação destes dentro de uma solução eletrolítica. Eles resolveram a equação de P-B através do método SOR (Successive-Over-Relaxation).
Problemas em regime transiente requerem a solução temporal das concentrações dos íons. A literatura para este caso é limitada. Por exemplo, citam-se aqui os trabalhos de Park, Huh e Li (2006) e Wang e Kang (2010). Ambos usaram equações de LB para resolver os campos de potencial elétrico, concentrações de íons e mistura. Enquanto a equação de evolução para Ci proposta por Park, Huh e Li (2006) é de
primeira ordem apenas, a proposta por Wang e Kang (2010) envolve o cálculo de muitas derivadas, o que pode ser uma fonte de erros (LEE; LIN, 2005); (LEE; FISCHER, 2006). Wang e Kang (2010) dizem que sua equação recupera N-P, porém, esta análise não é mostrada. Melchionna e Marconi (2011) obtiveram uma equação cinética para a concentração dos íons que recupera uma equação macroscópica que não é limitada pela hipótese de soluções diluídas. O procedimento de discretização usado foi o mesmo proposto por Guo, Zheng e Shi (2002 b) e a equação de Poisson foi resolvida pelo método SOR.
Portanto, para problemas transientes, apenas as formulações de He e Li (2000), Park, Huh e Li (2006), Wang e Kang (2010) e Melchionna e Marconi (2011) são aplicáveis. Entretanto, com exceção do trabalho de Melchionna e Marconi (2011) (e, talvez, de Wang e Kang, 2010), todas as formulações são de primeira ordem e, como mostrado no Apêndice A, introduz-se erros no processo de discretização.
As formulações mostradas neste capítulo são mais simples do que a proposta por Melchionna e Marconi (2011), porém também recuperam corretamente a equação de N-P, conforme mostrado nas subseções a seguir.
Com relação às soluções da equação de Poisson usando LB, o único trabalho a fazer uma análise de C-E para mostrar que o modelo a recupera é a solução de Chai e Shi (2008). Um solver para Poisson foi proposto por Hirabayashi, Chen e Ohashi (2001). Contudo, como salientado por Chai e Shi (2008), este é um solver para a equação de difusão. Sendo assim, a equação de Poisson é modificada pela introdução de uma derivada temporal artificial.
4.4 FORMULAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DISCRETA DA