maiores que 1 e D como um Z–divisor. Usando o lema 6.5.5, reali- zamos possivelmente mais duas mudan¸cas de escala, para obter que r(D) =er(D) e r(KΓ− D) =er(KΓ− D). O corol´ario segue ent˜ao do
teorema de Riemann–Roch para Z–grafos.
6.6
Riemann–Roch para curvas tropicais
generalizadas
Vamos agora estender o resultado para grafos m´etricos quaisquer.
6.6.1. Proposi¸c˜ao. Seja D um divisor em um grafo m´etrico Γ de p.RRM
gˆenero g. Ent˜ao
r(D) − r(KΓ− D) = gr D + 1 − g.
Prova. Seja D = a1Q1+ · · · + amQm, com gr D = n. A id´eia ´e
encontrar um Q-grafo Γ0 “pr´oximo” de Γ com um divisor D0 tal que rΓ0(D0) = rΓ(D) e rΓ0(KΓ0 − D0) = rΓ(KΓ− D) e aplicar R–R para
Q–grafos6.5.6.
Para isso vamos definir uma vers˜ao relativa do espa¸co S(D) de interpretar a quantidade r(D) atrav´es desse novo espa¸co. Fixamos ε ∈ Q>0 menor que todos comprimentos das arestas de Γ e denota-
mos por A(Γ) o conjunto de todos os grafos m´etricos do mesmo tipo combinat´orio de Γ e cujas arestas tˆem comprimento maior ou igual a ε. Para um grafo m´etrico Γ0 ∈ A(Γ) denotamos por B(Γ0) o con-
junto de todos divisores em Γ0 escritos da forma a
1Q01+ · · · + amQ0m
para pontos Q0
1, . . . , Q0m ∈ Γ0 e a1, . . . , am como em D. Com essas
72 [CAP. 6: O TEOREMA DE RIEMANN–ROCH S := {(Γ0, D0, f, P1, . . . , Pn) | Γ0∈ A(Γ), D0∈ B(Γ0), (f, P1, . . . , Pn) ∈ SΓ0(D0)}, Mi := {(Γ0, D0, P1, . . . , Pn) | Γ0∈ A(Γ), D0∈ B(Γ0), P1, . . . , Pn ∈ Γ0}, para i = 0, . . . , n M := {(Γ0, D0) | Γ0∈ A(Γ), D0∈ B(Γ0)}.
Esses espa¸cos tamb´em s˜ao complexos poliedrais, o que segue de argumentos semelhantes aos apresentados na demonstra¸c˜ao de6.3.6, acrescentando-se novos dados, a saber:
• (discreto) v´ertices ou arestas de Γ0 nos quais os pontos de D0 est˜ao;
• (cont´ınuo) comprimento das arestas de Γ0 e posi¸c˜ao dos pontos
de D0 nas arestas correspondentes.
Temos morfismos de complexos poliedrais naturais entre esses com- plexos:
πi: S → Mi, (Γ0, D0, f, P1, . . . , Pn) 7→ (Γ0, D0, P1, . . . , Pi)
e
pi : Mi → M, (Γ0, D0, P1, . . . , Pi) 7→ (Γ0, D0).
Temos que rΓ0(D0) ≥ i para um divisor D0 ∈ B(Γ0) num grafo
m´etrico Γ0∈ A(Γ) se, e somente se, πi(S) cont´em (Γ0, D0, P1, . . . , Pi)
para toda escolha de pontos P1, . . . , Pi∈ Γ0. Isso ainda ´e equivalente
a dizer que (Γ0, D0) ∈ M \ pi(M \ πi(S)).
Sendo S um complexo poliedral e πi um morfismo de complexos
poliedrais, temos que πi(S) ´e fechado em Mi, ou seja, ´e uni˜ao de po-
liedros fechados. Conseq¨uentemente, Mi\ πi(S) ´e uni˜ao de poliedros
abertos (isto ´e, um subconjunto aberto de Mi cuja interse¸c˜ao com
cada poliedro de Mi ´e escrita como uni˜ao de espa¸cos dados por um
n´umero finito de inequa¸c˜oes lineares estritas).
Agora, observemos que os mapas pi s˜ao abertos por serem local-
[SEC. 6.6: RIEMANN–ROCH PARA CURVAS TROPICAIS GENERALIZADAS 73
M de todos (Γ0, D0) com rΓ0(D0) < i tamb´em ´e uni˜ao de poliedros
abertos. Portanto, seu complemento M \ pi(Mi\ πi(S)), isto ´e, o
lugar em M de todos (Γ0, D0) com rΓ0(D0) ≥ i, ´e uni˜ao de poliedros
fechados. Finalmente, observe que todos morfismos constru´ıdos s˜ao definidos sobre Q, de tal modo que o lugar de todos (Γ0, D0) com rΓ0(D0) ≥ i (e respectivamente, rΓ0(D0) < i) s˜ao de fato uni˜ao de po-
liedros fechados (respectivamente, abertos) racionais em M . Os mes- mos argumentos e conclus˜oes continuam valendo para rΓ0(KΓ0− D0).
Da discuss˜ao acima, conclu´ımos que o conjunto de todos (Γ0, D0)
com rΓ0(D0) < rΓ(D) + 1 e rΓ0(KΓ0 − D0) < rK
Γ−D(D) + 1 ´e uma
vizinhan¸ca aberta U de (Γ, D). Por outro lado, o conjunto de todos (Γ0, D0) com rΓ0(D0) ≥ rΓ(D) e rΓ0(KΓ0− D0) ≥ rΓ(KΓ− D) ´e uni˜ao
V de poliedros fechados racionais. Em particular, os pontos racionais de V s˜ao densos em V . Como U ∩ V n˜ao ´e vazio (pois cont´em (Γ, D)), segue que h´a um ponto racional em U ∩ V : um Q–grafo Γ0 com um Q–divisor D0 tal que rΓ0(D0) = rΓ(D) e rΓ0(KΓ0− D0) = rΓ(KΓ− D).
Como Γ e Γ tem o mesmo gˆenero (pois tˆem a mesma combinat´oria) e D e D0 tˆem o mesmo grau (por constru¸c˜ao), a proposi¸c˜ao segue do
corol´ario6.5.6.
Para mostrar R–R para uma curva tropical generalizada, vamos usar basicamente a no¸c˜ao de equivalˆencia linear de divisores. Relem- brando: D ∼ D ⇔ existe fun¸c˜ao racional f tal que D0 = D + (f ). 6.6.2. Lema. Seja Γ uma curva tropical e seja Γ o grafo m´etrico l.equi.trop
obtido de Γ removendo todas suas arestas ilimitadas. Ent˜ao todo divisor D ∈ Div Γ ´e equivalente em Γ a um divisor D0com supp D0⊂ Γ. Al´em disso, se D ´e efetivo, ent˜ao D0 tamb´em pode ser tomado efetivo.
Prova. Para cada ponto P ∈ Γ associamos uma fun¸c˜ao racional fP
como segue. Se P ∈ Γ, fazemos fP ≡ 0. Caso contr´ario, P est´a em
alguma aresta ilimitada e e ent˜ao definimos fP : Γ → R ∪ {∞}
Q 7→
min(d(P, Γ), d(Q, Γ)), Q ∈ e
0, c.c.
74 [CAP. 6: O TEOREMA DE RIEMANN–ROCH
outro zero ou p´olo fora de Γ.
Se D = a1P1+ · · · + anPn e definirmos f = a1fP1+ · · · + anfPn,
ent˜ao D+(f ) ´e um divisor equivalente a D sem zeros e p´olos fora de Γ. Al´em disso, se D ´e efetivo, D + (f ) tamb´em ´e, pois, pela constru¸c˜ao, todos p´olos de f s˜ao cancelados por D.
6.6.3. Observa¸c˜ao. Usando a fun¸c˜ao constru´ıda no lema anterior, o.div.can
podemos mostrar que os divisores canˆonicos de Γ e Γ s˜ao equivalentes. De fato, se Pidenota o ponto de extremidade de Γ da aresta ilimitada
ei, seja f = PifPi. Ent˜ao f ´e nula no grafo Γ e tem inclina¸c˜ao 1
em cada aresta ilimitada. Se Qi ´e o v´ertice determinado por Γ ∩ ei,
ent˜ao (f ) =P Qi−P Pi, e portanto vale KΓ+ (f ) = KΓ.
6.6.4. Lema. Seja Γ uma curva tropical e seja Γ o grafo m´etrico l.RbarR
obtido de Γ removendo todas suas arestas ilimitadas. Dado um divisor D em Γ (que pode ser pensado como um divisor de Γ com suporte em Γ), temos RΓ(D) 6= ∅ se, e somente se, RΓ(D) 6= ∅.
Prova. Seja f ∈ RΓ(D). Estendemos essa fun¸c˜ao a uma fun¸c˜ao racional f que ´e constante em cada aresta ilimitada. Desse modo temos f ∈ RΓ(D).
Agora tome f ∈ RΓ(D) e fa¸ca f = f |Γ. Seja e uma aresta ilimi-
tada de Γ e P = Γ ∩ e o v´ertice de Γ onde e est´a conectado. Como f n˜ao tem p´olos em e, segue que f |e´e n˜ao crescente em e (identificando
e com o intervalo [0, ∞]). Assim, se λe≥ 0 ´e a inclina¸c˜ao de sa´ıda em
P na aresta e, temos ordΓPf = ordΓPf +λe, de onde segue f ∈ RΓ(D).
6.6.5. Observa¸c˜ao. Pelo lema 6.6.2 qualquer divisor efetivo P1+
o.RbarR
· · · + Pk em Γ ´e equivalente a um divisor efetivo P10+ · · · + Pk0 com
suporte em Γ. Assim, o n´umero rΓ pode ser pensado como o maior
inteiro k tal que RΓ(D − P1− · · · − Pk) 6= ∅ para todos P1, . . . , Pk em
Γ (ao inv´es de P1, . . . , Pk em Γ). Pelo lema 6.6.4conclu´ımos ent˜ao
que rΓ(D) = rΓ(D).
[SEC. 6.6: RIEMANN–ROCH PARA CURVAS TROPICAIS GENERALIZADAS 75
6.6.6. Corol´ario. Seja D um divisor em uma curva tropical (gene- ralizada) Γ de gˆenero g. Ent˜ao
r(D) − r(KΓ− D) = gr D + 1 − g.
Prova. Seja Γ o grafo m´etrico obtido de Γ retirando-se as arestas ilimitadas. Pelo lema 6.6.2e pela observa¸c˜ao anterior, consideramos supp D ⊂ Γ. Al´em disso, lembrando 6.6.3 podemos substituir KΓ
por KΓ (que tamb´em tem suporte em Γ) na f´ormula de Riemann– Roch. Finalmente, pela observa¸c˜ao6.6.5 podemos substituir rΓ(D)
e rΓ(KΓ− D) por rΓ(D) e rΓ(KΓ− D), o que reduz nosso problema
ao caso de um grafo m´etrico. Mas aqui podemos usar a proposi¸c˜ao
Apˆendice A
Grafos
A.1. Defini¸c˜ao. Um grafo Γ ´e um par (V, E), onde: d.grafo
• V ´e um conjunto e seus elementos s˜ao chamados de v´ertices. • E ´e um multiconjunto (ou seja, permite repeti¸c˜ao dos elementos
- ou atribui¸c˜ao de multiplicidade) cujos elementos s˜ao pares n˜ao ordenados de v´ertices. Esses elementos s˜ao chamados de arestas.
Um grafo ´e geometricamente representado como um conjunto de pontos (v´ertices) ligados por curvas (arestas).
Dizemos que o v´ertices v, w ∈ V s˜ao adjacentes em Γ se {v, w} ∈ E. Uma aresta do tipo {v, v}, ou seja, conectando um v´ertice a ele mesmo, ´e dita ser um la¸co. Se V e E s˜ao finitos, dizemos que G ´e um grafo finito. O n´umero de v´ertices #V ´e chamado ordem do grafo e o n´umero de arestas #E ´e seu tamanho.
A valˆencia de um v´ertice v ´e o n´umero de arestas que o conectam a outros v´ertices, sendo que os la¸cos s˜ao contados duas vezes. Em s´ımbolos: val (v) = #{{v, w} | {v, w} ∈ E}.
A.2. Defini¸c˜ao. Um grafo m´etrico ´e um par (Γ, `) formado por um d.grafo.metrico
grafo Γ e uma fun¸c˜ao ` : E → R>0. Para cada e ∈ E, o valor `(e)
´
e chamado o comprimento da aresta e e a fun¸c˜ao ` ´e chamada de fun¸c˜ao comprimento.
77 Dado um grafo m´etrico Γ = {V (Γ), E(Γ), `}, identificamos o con- junto de v´ertices a um conjunto discreto de pontos Γ0 e cada aresta
ei ´e associada ao intervalo fechado da reta [0, `(ei)]. O grafo como
espa¸co topol´ogico ´e ent˜ao a uni˜ao disjunta
Γ0 #E
G
i=1
[0, `(ei)]
m´odulo a identifica¸c˜ao das extremidades dos intervalos com pontos de Γ0, de acordo com as adjacˆencias estabelecidas pelas arestas do
grafo Γ.
Como um objeto mergulhado em Rn, o grafo recebe a topologia induzida desse espa¸co, que coincide com a topologia descrita acima. Al´em disso, uma m´etrica intr´ınseca ´e induzida no grafo Γ pela m´etrica dos intervalos [0, `(e)] e portanto independe de como o grafo ´e mer- gulhado em Rn.
A.3. Defini¸c˜ao. Um Z–grafo (Q–grafo) ´e um grafo m´etrico (Γ, `) d.ZQ.grafo
cujas arestas tˆem comprimento inteiro (racional). Os pontos com distˆancia inteira (racional) a partir dos v´ertices s˜ao chamados de Z– pontos (Q–pontos) e o conjunto desses pontos ´e denotado por ΓZ
(ΓQ).
A.4. Defini¸c˜ao. O gˆenero de um grafo Γ, denotado por gΓ (ou
d.genero.grafo
apenas g, quando o grafo em quest˜ao est´a fixado), ´e definido como sendo o primeiro n´umero de Betti, ou seja
gΓ= #E(Γ) − #V (Γ) + n
onde n ´e o n´umero de componentes conexas de Γ.
A.5. Observa¸c˜ao. Intuitivamente, o primeiro n´umero de Betti re- presenta o m´aximo de “cortes” que se pode fazer num grafo sem criar mais componentes conexas. Esse n´umero coincide com a intui¸c˜ao de gˆenero, que seria o n´umero de “buracos” do espa¸co topol´ogico.
Estendemos agora a defini¸c˜ao de grafos m´etricos de modo a abran- ger grafos com arestas ilimitadas:
78 [CAP. A: GRAFOS
A.6. Defini¸c˜ao. Uma curva tropical generalizada ´e um grafo m´etrico curvagen
(Γ, `) em que a fun¸c˜ao comprimento tem como contradom´ınio o con- junto R>0∪ {∞}. `As arestas de comprimento ∞ damos o nome de
arestas ilimitadas. Cada aresta ilimitada possui uma extremidade ligada a um v´ertice de valˆencia igual a 1, chamado extremidade do grafo Γ.
A.7. Observa¸c˜ao.
(a) Quanto `a topologia desses conjuntos, as arestas ilimitadas s˜ao associadas ao intervalo [0, ∞] = R>0∪ {∞} e o v´ertice que ´e ex-
tremidade do grafo corresponde `a extremidade ∞ do intervalo. (b) O n´umero ciclom´atico, e portanto o gˆenero de uma curva tro- pical generalizada, ´e definido pela mesma f´ormula. Tendo em vista que para cada aresta ilimitada existe um v´ertice de valˆencia 1, o n´umero ciclom´atico de uma curva tropical generalizada coincide com o n´umero ciclom´atico de sua parte ‘finita’, ou seja, o subgrafo formado somente pelos v´ertices e arestas finitas.
Apˆendice B
Breve hist´orico
“... In other words, idempotent mathema- tics is an asymptotic version of the traditional mathematics over the fields of real and com- plex numbers.”[8]
A terminologia “tropical” ´e devida a Dominique Perrin, profes- sor de Ciˆencia da Computa¸c˜ao do Institut d’´electronique et d’informa- tique Gaspard-Monge, em homenagem ao matem´atico brasileiro Imre Simon (IME-USP).
O Prof. Simon foi pioneiro na utiliza¸c˜ao da estrutura de semi-anel definida em N ∪ {∞} para tratar de quest˜oes relativas a autˆomatas.
Como costuma acontecer com muitas id´eias matem´aticas interes- santes, uma manifesta¸c˜ao do semi-corpo tropical apareceu tamb´em na F´ısica Quˆantica. Em linhas gerais, fixe h ∈ R, h > 0 e imagine a mu- dan¸ca de vari´aveis x u = h ln x. Defina a aplica¸c˜ao Φh: R+→ T.
Transportamos as opera¸c˜oes de soma e produto de R para T usando Φh, i.e.,
u ⊕hv = h ln(exp(u/h) + exp(v/h)
u hv = u + v, 0 = −∞ = Φh(0), 1 = 0 = Φh(1).
Note que limh→0u ⊕h v = max{u, v}. Em F´ısica, h desempenha
o papel da constante de Planck. Assim, T ´e interpretado como a “dequantiza¸c˜ao”. Para mais referˆencias desse calibre, veja [8].
80 [CAP. B: BREVE HIST ´ORICO
A no¸c˜ao de curva alg´ebrica tropical resulta da necessidade de li- dar com invariantes discretos e explorar estruturas combinat´orias. O aluno que j´a viu o conceito de espa¸co topol´ogico sabe que in- forma¸c˜oes importantes podem ser codificadas pelo grupo fundamen- tal. Isso j´a permite, por exemplo, mostrar que R2n˜ao ´e homeomorfo a R2\ {(0, 0)}.
Grosso modo, curvas tropicais s˜ao os parceiros combinat´orios das curvas alg´ebricas “cl´assicas”.
Referˆencias
Bibliogr´aficas
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GMB [2] George M. Bergman, The logarithmic limit-set of an algebraic variety, Trans. Amer. Math. Soc. 157 (1971), 459469. 2.1 Ellis [3] A. Ellis, Classification of conics in the tropical projective plane,
disserta¸c˜ao de mestrado, Brigham Young University, 2005. 31 fultinho [4] W. Fulton, ALGEBRAIC CURVES, An Introduction
to Algebraic Geometry, reed. 2008, dispon´ıvel em http://www.math.lsa.umich.edu/
ewfulton/CurveBook.pdf
4.1,6.1
gat [5] A. Gathmann, Tropical algebraic geometry Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 108 (2006), no. 1, 3–32. (document)
gathkerber [6] A. Gathmann & M. Kerber, A Riemann-Roch theorem in tropical geometry Math. Z. 259 (2008), no. 1, 217–230.
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82 REFERˆENCIAS BIBLIOGR´AFICAS
litvinov [8] G. L. Litvinov, The Maslov dequantization, idempotent and tro- pical mathematics: a brief introduction. arXiv:math/0507014 J. Math. Sci. (N. Y.) 140 (2007), no. 3, 426–444. 2.5.1,2.5 mik1 [9] G. Mikhalkin, Enumerative tropical algebraic geometry in R2,
http://arxiv.org/abs/math/0312530v4, J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 2, 313–377.
mik2 [10] The book project for the Clay Mathematical Insti- tute, http://www.math.toronto.edu/mikha/book.pdf B
vigeland [11] M. D. Vigeland, The group law on a tropical elliptic curve, http://arxiv.org/abs/math/0411485v1, 2004. (a aparecer em Math. Scand.) (document),3.4.4
vin [12] V. G. Ramos, Curvas Alg´ebricas e Geometria Tropical, dis- serta¸c˜ao de mestrado, UFRJ, 2007. (document)
5.2,5.4
rst [13] J. Richter-Gebert, B. Sturmfels & T. Theobald, First Steps in Tropical Geometry, Idempotent mathematics and mathematical physics, 289–317, Contemp. Math., 377, Amer. Math. Soc., Pro- vidence, RI, 2005. (document)
iv [14] I. Vainsencher, Introdu¸c˜ao `as curvas alg´ebricas planas,Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, IMPA / SBM, 160 p., 2005.
´Indice Remissivo
ameba, 12 tra¸cos de,13 aresta, 76 comprimento de,76 ilimitadas,78 B´ezout cl´assico,35 tropical,36 balanceamento,28 cˆonica tropical,10,27 degenerada,10 lisa,33 singular,34 coerente subdivis˜ao, 23 combinat´orio tipo,26 comprimento reticulado,28 curva tropical generalizada,53,78 grau de,30 lisa,30 n˜ao singular,30 distˆancia reticulada orientada,45 divisor,42 abstrato,49 canˆonico,50,53 efetivo,42
espa¸co de fun¸c˜oes de,55 grau de,42 linearmente equivalente,43 principal,43 dual pol´ıgono,29 subdivis˜ao,25 equil´ıbrio condi¸c˜ao de,28 espa¸co de fun¸c˜oes
de um divisor,55 est´avel interse¸c˜ao,39 extremidade,78 fun¸c˜ao convexa,18
linear por partes,18,54 racional,53
racional, zero de,54 gˆenero,31
de grafo,77 geral,9
grafo,76 83
84 ´INDICE REMISSIVO balanceado, 29 finito,76 m´etrico,76 mergulhado,19 grau de divisor,42 interse¸c˜ao est´avel,39 levantamento mapa de,23 liberdade graus de,9 Minkowsky soma de, 41 monˆomio tropical,18 multiplicidade de aresta,28 de interse¸c˜ao,36 de v´ertice,29 ordem de fun¸c˜ao racional,54 p´olo,54,56 cl´assico,48 peso de aresta,28 pol´ıgono de Newton, 23 polinˆomio tropical
grau de,30 polinˆomio tropical,16 primitivo vetor, 28,34 racional grafo,29 reta tropical,8,32,57 interse¸c˜ao de 2, 9 por 2 pontos,9 s´eries de Puiseux,13 semi-corpo,16 sistema linear abstrato,49 cl´assico,48 sonho de alunos,16 subdivis˜ao,23,43 convexa,23,24 dual,25,26 superf´ıcie tropical,20 suporte de um polinˆomio,17 total,30,43 tens˜ao nula,28 tent´aculo,44
tipo combinat´orio,26 tropicaliza¸c˜ao, 21, 22 v´ertice,76 adjacente,76 valˆencia, 76 valoriza¸c˜ao,14 vetor primitivo,34 zero e p´olo de fun¸c˜ao racional,54
´INDICE REMISSIVO 85 4.1