Sabemos que um item pode falhar por diversas causas, e em um contexto de testes acelerados, a falha da unidade em teste as vezes pode não estar associado a variável de aceleração que estamos considerando. Sendo assim, sabemos que a falha de um item em estudo pode estar associada a uma dek possíveis causas, e que em termos mais simples, essas causas estariam competindo para ocasionar essa falha.
Com base nisso, ao elaborarmos um estudo em que vamos levar em consideração que um item pode falhar por k possíveis causas, existem modelos adequados para modelar o tempo de vida desses itens, e esses modelos são conhecidos como riscos competitivos.
Como visto em Pintilie (2006), os riscos competitivos podem ser abordados de duas maneiras: a primeira abordagem é baseada apenas nos dados observáveis e a segunda abordagem é da forma latente. Vale ressaltar que neste trabalho vamos somente abordar a forma latente.
Motivada por Assane (2013), seja T1, T2, . . . , Tk os tempos de falha associados a cada uma dask possíveis causas de falha. Isto é, podemos interpretar cadaT1, T2, . . . , Tk como um "tempo de falha provável" que iria ser observado se as outras causas de falha não tivessem presentes.
Neste tipo de abordagem, assume-se que os tempos de falhas associados a cada uma dask possíveis causas são diferentes, isto é, a falha de um item irá ocorrer por uma única causa dentre as k possíveis, ou seja, não é possível que um item falhe por duas ou mais causas conjuntamente.
Cientes de que não é possível observar simultaneamente os T1, T2, . . . , Tk, observa-mos apenas o tempo mínimo entre eles (T) e a sua equivalente causa de falha, na qual denotaremos por (C). Assim:
1. Introdução 34 T = min(T1, T2, . . . , Tk)
C= arg min
j
{Tj :j = 1,2, . . . , k} (1.43) O problema de riscos competitivos é formulado em termos da função de sobrevivência conjunta. Com base neste contexto, temos que a função de sobrevivência conjunta pode ser expressa por:
S(t1, t2, . . . , tk) = P(T1 > t1, T2 > t2, . . . , Tk > tk)
= Z ∞
t1
Z ∞ t2
· · · Z ∞
tk
f(u1, u2, . . . , uk)duk. . . du2du1
, (1.44)
em que tj > 0, para j = 1,2, . . . , k, e f(t1, t2, . . . , tk) é a densidade de probabilidade conjunta.
Baseado em Elandt-Johnson e Johnson (1999), a função de sobrevivência marginal é dada por:
Sj(tj) = S(0,0, . . . , tj, . . . ,0) , (1.45) em que podemos interpretar como a função de sobrevivência para a causa da falha j (GAIL, 1975).
As funções de risco relacionadas as funções de sobrevivência marginal e conjunta, são dadas por:
1. Função de risco "net".
Como visto em Elandt-Johnson e Johnson (1999), a função de risco associada a função de sobrevivência marginal apresentada em (1.45) é dada por:
hj(t) =
−∂S∂tj(tj)
j
Sj(tj) =−∂lnSj(tj)
∂tj , j = 1,2, . . . , k. (1.46) Na qual podemos interpretar a expressão (1.46) como a taxa instantânea de falha pela causaj no tempo t, quando j é a única causa de falha atuando.
2. Função de risco "crude".
Como visto em Elandt-Johnson e Johnson (1999), a função de risco por causa espe-cífica associada a função de sobrevivência conjunta, isto é, na presença de todas as possíveis causas de falha é dada por:
λj(t) = −∂lnS(t1, t2, . . . , tk)
∂tj
t1=t2=···=tk=t
, j = 1,2,. . . ,k. (1.47) Em que podemos interpretar a expressão (1.47) como a taxa instantânea de falha pela causaj no tempo t, quando todas as possíveis causas de falha estão atuando.
Como visto em Tarumoto (2001) e considerando T = min(T1, T2, . . . , Tk), temos que a função de risco total, em termos de riscos por causa específica, é dada por:
1. Introdução 35 Além do mais, a função de risco total apresentada em (1.48) pode também ser expressa da seguinte forma:
Se integrarmos a expressão (1.49) em ambos os lados sobre o intervalo de(0, t), temos:
Z t 0
λT(u)du=−ln[ST(t)] , (1.50) após algumas manipulações algébricas, temos que:
ST(t) = exp forem independentes, temos quehj(t) = λj(t)e consequentemente:
λT(t) = (ELANDT-JOHNSON; JOHNSON, 1999) e (TARUMOTO, 2001).
1. Introdução 36 De acordo com (Kalbfleisch e Prentice (1980) apud Tarumoto (2001)), a probabilidade de um item falhar antes do tempo t pela causa j, considerando a presença de todas as possíveis causas de falha, pode ser expressa do seguinte modo:
Fj(t) =P(T ≤t, C =j) = P(Ti ≤t, Ti < Tl, i6=l)
= Z t
0
λj(u)ST(u)du.
(1.53)
Consequentemente, temos que a função de distribuição de T pode ser obtida do se-guinte modo:
FT(t) = P(T ≤t) = P(min(T1, T2, . . . , Tk)≤t) =
k
X
j=1
Fj(t) . (1.54) Por fim, através da expressão (1.53) podemos obter a função densidade de probabili-dade conjunta entre T e a causa da falha j, isto é:
fj(t) = λj(t)ST(t), j = 1,2, . . . , k. (1.55)
Capítulo
2
Testes de vida acelerados
Neste capítulo iremos abordar de maneira clara os principais conceitos que regem este trabalho, ou seja, iremos apresentar os mais importantes pontos da teoria dos testes de vida acelerados.
Uma das motivações para se realizar um estudo sobre testes acelerados, nasceu da ob-servação do cenário tecnológico atual. Devido a competitividade industrial e o desenvol-vimento de tecnologias cada vez mais sofisticadas, as grandes indústrias tem se mostrado cada vez mais preocupadas em produzir produtos de maior qualidade, buscando em um segundo momento analisar da melhor forma e de maneira rápida a confiabilidade destes produtos.
Se estamos interessados em inferir sobre a confiabilidade de um produto, é evidente que devemos realizar alguns tipos de testes. Como discutido na seção 1.1, se realizarmos os testes em condições normais de funcionamento do produto, muito tempo de teste será exigido. Sendo assim, uma alternativa para superar essa dificuldade, é o uso dos testes de vida acelerados. O objetivo dos testes de vidas acelerados é de acelerar a ocorrência da falha de um produto, submetendo o mesmo a condições elevadas de estresse.
Abordaremos a seguir algumas das formas que existem para se realizar esta aceleração, contudo de uma forma geral, esta aceleração ocorre quando submetemos algumas variáveis que estão relacionadas ao funcionamento de produtos a altos níveis de estresse, ou seja, quando aumentamos a temperatura, pressão, taxa de uso e etc.
2.1 Tipos de Testes acelerados
Como visto em Vieira (2006), iremos abordar a seguir dois tipos de testes acelerados que usualmente são utilizados em aplicações de análise de confiabilidade.
1. Testes de degradação acelerados: Quando optamos em usar esse tipo de teste, o nosso interesse se encontra em alguma medida relacionada a degradação do produto, como por exemplo o desgaste, que é algo que podemos observar ao longo do tempo de vida do mesmo. Neste caso, objetivo é estudar a degradação do produto por um determinado tempo, para posteriormente inferir sobre seu tempo de vida.
2. Testes de vida acelerados: Ao utilizar os testes de vida acelerados, temos como objetivo "forçar" a falha do item em teste, pois o nosso interesse é observar o tempo até a sua falha. Nesse tipo de teste, os itens são colocados a vários níveis elevados de estresse, e são observados seus tempos de falha. Os itens que não falharam até o final do estudo, são considerados como censurados. Feito isso, por meio de um modelo
37
2. Testes de vida acelerados 38 específico, é realizado uma extrapolação dos resultados obtidas para as condições normais de uso dos itens, para posteriormente realizarmos afirmações sobre a sua confiabilidade.