Robustez do Algoritmo

Já foi dito que querendo tratar o problema apresentado com todo o seu realismo os métodos tradicionais e exatos de otimização não são eficazes. Na presente tese trabalha-se com um método heurístico que, sendo bem implementado (parametrizado), permite obter boas soluções mas não necessariamente as melhores possíveis. Um outro aspeto que caracteriza o método selecionado é o facto de ser aleatório, o que faz com que, em execuções sucessivas, o resultado a que se chega pode não ser sempre o mesmo.

Com efeito, o algoritmo do Recozimento Simulado, que foi apresentado no Capítulo 5, tem dado bons resultados na resolução de problemas com as características do que se pretende resolver, mas só sob condições extremamente exigentes é possível provar a respetiva

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elevados que não são concretizáveis na prática. Neste sentido, são tomadas algumas opções para gerar um algoritmo que permita obter resultados num tempo de resolução aceitável e que chegue a uma solução de boa qualidade. São exemplo disso a escolha dos parâmetros

envolvidos no Processo de Arrefecimento, nomeadamente a taxa de arrefecimento, o número de soluções avaliadas em cada patamar de temperatura e o critério de paragem adotado. Assim, depois de construído o algoritmo que corresponde ao modelo formulado, e antes de se fazer a análise dos respetivos resultados, torna-se primordial verificar a robustez do algoritmo. Só fazendo prova desta é possível ter confiança nos resultados obtidos.

Por outro lado, outra análise que é feita neste contexto é a avaliação do esforço

computacional, onde o tempo de resolução é o principal parâmetro estudado (realizada mais adiante na Secção 6.3.5).

Para fazer as análises referidas são escolhidos e construídos vários cenários dentro da infinidade de possibilidades existente. Escolhem-se os mais apropriados às análises que se pretendem fazer sendo descritos pormenorizadamente para cada situação.

Nesta análise e nas que se seguem e para as respetivas execuções do algoritmo adotam-se os pressupostos apresentados para geração de uma cidade hipotética, escolha da solução inicial e geração das soluções candidatas. São também utilizados os valores para os parâmetros do Processo de Arrefecimento resultantes da calibração feita anteriormente.

O cenário escolhido para fazer a análise da robustez do algoritmo é o apresentado na Tabela 6.8.

Tabela 6.8 – Cenário para avaliação da robustez do algoritmo.

Cidade Crescimento populacional Combinação de Pesos

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É gerada uma cidade de dimensão considerada média, com 150000 habitantes, que sofre um crescimento populacional de 30%, e cujas características principais se encontram no anexo A. As densidades populacionais permitidas na expansão são três, 75 hab/ha, 50 hab/ha e 25 hab/ha e a combinação de pesos escolhida é a combinação 1, aquela que considera um peso igual para todos os componentes da função objetivo.

Assim, e com base nos dados constantes no anexo A já referido, apresentam-se as Figuras 6.16, 6.17, 6.18, 6.19, 6.20, 6.21, 6.22 e 6.23 com as características físicas da área em estudo e os traçados das infraestruturas da cidade existente.

Figura 6.16 – Mapa representativo do Índice de Aptidão de acordo com a Tabela 6.2 (cidade existente e

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Figura 6.17- Topografia (cidade existente e domínio de expansão).

Figura 6.18 – Inclinação do terreno (cidade existente e domínio de expansão).

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Figura 6.20 – Indicador da exposição solar (cidade existente e domínio de expansão).

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Figura 6.22 – Traçado da rede de drenagem de águas residuais (cidade existente).

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Figura 6.23 – Traçado da rede de abastecimento de água (cidade existente).

Nas condições descritas fizeram-se dez execuções do algoritmo cujos resultados estão representados nas Figuras 6.24, 6.25 e 6.26. No anexo B encontram-se dados adicionais e resultados relativos às soluções para as dez execuções.

É de referir que, apesar de se terem feito dez execuções do algoritmo, nas figuras que se seguem só se representam os resultados relativos a cinco, pois as restantes originam soluções idênticas, como pode ser consultado no referido anexo B.

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Figura 6.24 – Resultados das execuções do algoritmo para verificação da robustez do algoritmo – traçados

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Figura 6.25 – Resultados das execuções do algoritmo para verificação da robustez do algoritmo- traçados

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Figura 6.26 – Resultados das execuções do algoritmo para verificação da robustez do algoritmo - traçados

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Apresentam-se na Tabela 6.9 os desvios das várias soluções em relação ao melhor valor encontrado para a função objetivo para as dez execuções do algoritmo.

Tabela 6.9 – Desvios dos valores da função objetivo relativos às dez execuções para verificação da

robustez do algoritmo. Execução ^Função objetivo ^Desvio Tempo de execução (h) 1 0.785 0.64 26.10 2 0.786 0.77 17.24 3 0.791 1.41 24.01 4 0.785 0.64 22.60 5 0.786 0.77 15.10 6 0.780 0.00 13.24 7 0.780 0.00 20.48 8 0.780 0.00 13.10 9 0.789 1.15 11.79 10 0.785 0.64 26.65 média 19.03

Pela análise da Tabela 6.9, a robustez do algoritmo mostra-se desde logo evidente pela semelhança no valor da função objetivo obtido nas dez execuções. Calculando os desvios em relação ao mínimo valor encontrado para a função objetivo, verifica-se que aqueles valores quando não são nulos são muito pequenos.

Já se referiu que, sob determinadas condições, o algoritmo converge para uma solução ótima global, mas isso leva a tempos de execução impraticáveis. Os valores que resultaram da calibração do algoritmo, na Secção 6.3.3, pretendem fazer um equilíbrio entre uma solução de boa qualidade (se não ótima) e um tempo de execução razoável (19.03 h em termos médios de acordo com a Tabela 6.9).

Em cada execução, o algoritmo do Recozimento Simulado recorre a números aleatórios na definição da solução inicial, ou seja, cada execução do programa é inicializada partindo de

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uma solução diferente. Recorre igualmente a números aleatórios na geração de soluções candidatas e ainda quando utiliza o critério de Metropolis.

Os aspetos descritos podem assim levar a que o algoritmo não chegue à mesma solução, No entanto, verifica-se pelas figuras anteriores que, como era de esperar, chega a soluções bastante semelhantes não só em termos de valor da função objetivo com também em termos da distribuição das novas áreas de expansão pelo domínio de expansão.

O número de áreas de expansão é constante de solução para solução e são localizadas sempre na mesma região do domínio de expansão sendo-lhes atribuída a densidade populacional máxima permitida, de acordo com o Índice de Aptidão que as caracteriza. A seguir

apresentam-se as Figuras 6.27, 6.28 e 6.29 relativas à execução que originou a solução cujo valor da função objetivo é mínimo (consultar também o anexo A). A Tabela 6.10 apresenta a caracterização sumária das áreas de expansão relativas à solução de custo mínimo das dez execuções.

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Figura 6.29 – Traçado da rede de abastecimento para a solução de custo mínimo das dez execuções.

Tabela 6.10 – Caracterização dos centróides novos na solução de custo mínimo das dez execuções.

Avaliação do Índice de Aptidão Densidade populacional

hab/ha

População dos novos centróides ID Inclinação ^Exposição _Solar Permeabilidade Final

37 ideal boa 0 3 75 7500 38 fraca boa 0 3 75 7500 39 ideal boa 0 3 75 7500 40 ideal boa 0 3 75 7500 41 ideal boa 0 3 75 7500 42 ideal boa 0 3 75 7500

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Um estudo mais detalhado destas soluções será apresentado mais adiante.