Roteiro de atividades complementares: Avaliação Final

Depois que os estudantes realizaram todas as atividades disponibilizadas nos quatro roteiros, que acabamos de analisar, percebeu-se a necessidade de avaliar todo o trabalho que foi desenvolvido. Para isso, organizou-se um material, apresentado no Anexo E, o qual explora os principais conceitos que foram trabalhados com auxílio do software Geogebra. Participaram dessas atividades os doze alunos que estavam presentes no último encontro.

Para a resolução das cinco atividades complementares de avaliação, os estudantes foram orientados a resolver e registrar as informações no material que receberam, sem ajuda, somente manipulando o software. Com isso pretendia-se avaliar se os estudantes dominavam a sintaxe do software e se foram capazes de compreender intuitivamente, através das atividades, os principais tópicos estudados nas disciplinas iniciais de Cálculo Diferencial e Integral do Ensino Superior, ou seja, as ideias de limites, velocidade média e velocidade instantânea (a noção intuitiva de derivada) e a área sob o gráfico de uma função em um intervalo (a noção intuitiva de integral definida).

Nas três primeiras atividades complementares, os estudantes depois de construírem no Geogebra o gráfico de ( ) , precisavam determinar o limite dessa função para x tendendo a 2, pela esquerda e pela direita e os limites para x tendendo a e . Para cada

limite precisavam apresentar (ou completar) a justificativa para a resposta obtida. Acompanhe, no quadro abaixo, a análise dessa questão.

ATIVIDADE COMPLEMENTAR COMENTÁRIOS

1) Calcular e interpretar o limite:

( )

Somente os alunos A11 e A13 erraram o valor do limite. Além disso, preencheram as tabelas da atividade incorretamente, confundindo-se com a função ( ) ( ) .

2) Calcular e interpretar o limite:

( )

Entre os alunos, oito apresentaram respostas totalmente corretas acerca do cálculo e da interpretação desse limite. Algumas justificativas desses estudantes:

“Na medida em que os valores de x crescem, os valores de f(x) decrescem muito”. (A2)

“Conforme os valores de x crescem os valores de f(x) diminuem”. (A14)

“Na medida em que os valores de x crescem cada vez mais, os valores de f(x) diminuem cada vez mais”. (A1)

“Os valores de f(x) diminuem na medida em que os valores de x crescem”. (A8)

Os alunos A5 e A4 apesar de terem acertado o tem anterior, confundiram-se com o sinal negativo e, juntamente com os alunos A11 e A13 apresentaram respostas incorretas.

3) Calcular e interpretar o limite:

( )

Os alunos que não acertaram o item anterior também apresentaram respostas incorretas a esse item. Além deles, os alunos A3 e A6, também consideraram os sinais trocados nesse item. Desta forma, somente seis alunos (50%) obtiveram êxito na obtenção e na interpretação correta desse limite. Algumas justificativas apresentadas:

“Na medida em que os valores de x decrescem os valores de f(x) diminuem também”. (A14)

“Os valores de f(x) diminuem na medida em que os valores de x decrescem”. (A8)

A atividade complementar 4 buscou explorar os conceitos desenvolvidos ao longo do terceiro roteiro de atividades, ou seja, velocidade média, velocidade instantânea, pontos de máximo ou mínimo, intervalos de crescimento e decrescimento. Após a construção sugerida na atividade (conforme figura 44) os alunos precisavam responder aos seguintes itens:

a) Quais as coordenadas do ponto , cuja reta tangente ao gráfico da função nesse ponto, fornece coeficiente angular igual a zero?

b) Qual a velocidade média do objeto no intervalo [1,2]?

c) Qual a velocidade do objeto no instante ? Justifique sua resposta. d) A função ( ) possui ponto de máximo ou mínimo? e) Quais as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo da função?

f) Qual intervalo do domínio fornece coeficiente angular positivo da reta tangente ao gráfico de ( ) ?

g) Qual intervalo do domínio que fornece o coeficiente angular negativo da reta tangente ao gráfico de ( ) ?

h) Qual é o intervalo de Crescimento da função ( ) ? i) Qual é o intervalo de Decrescimento da função ( ) ?

A tabela 12 apresenta o desempenho dos estudantes nessa atividade, de acordo com as respostas esperadas. Os itens errados por cada estudante aparecem marcados com (E) e os itens respondidos corretamente com (C). Os alunos A9 e A10 não participaram da atividade avaliativa.

Tabela 12 – Análise da atividade complementar 4

Item Resposta Correta ALUNOS A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A11 A12 A13 A14 a) P=(0,9) C C C C C C C C C C C C b) - 3 m/s C C E C C E C C C C C E c) - 4 m/s C C C C C C C C E C E C d) Ponto de Máximo C C C C C C C C E C E C e) P=(0,9) C C E C E C C C E C E E f) ( ) C C C E E C C C C E C E g) ( ) C C C E E C C C C E C E h) ( ) C C C C C C C C C E C C i) ( ) C C C C C C C C C E C C

Analisando a tabela, podemos verificar que em geral, o desempenho dos estudantes foi bom, nos itens analisados. Em especial, em relação ao cálculo da velocidade média no intervalo [1,2] conforme o item (b), os alunos que erraram apresentaram como resposta 3 m/s, esquecendo de considerar o sinal durante o seu cálculo já que, tem-se ( ( )) ( ) e ( ( )) ( ). Assim: .

Em relação ao cálculo da velocidade no instante , ao considerar a equação dada, como a equação do movimento de um objeto, os alunos A11 e A13 não conseguiram estabelecer as relações existentes entre a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em determinado ponto com a velocidade instantânea naquele ponto. Os demais estudantes

apresentaram justificativas de acordo com as ideias trabalhadas, demonstrando bom entendimento desse conceito, como por exemplo:

“É -4, pois é o coeficiente angular da reta y=-4x+13 no ponto P=(2,5)”. (A8)

“A velocidade é -4m/s, pois é o valor do coeficiente angular da reta tangente no ponto P=(2,5)”. (A4 e A5)

“A velocidade instantânea no ponto x=2 é -4, pois é o valor do coeficiente da reta tangente neste ponto”. (A7)

Nos itens f, g, h e i, consideramos correta a apresentação do intervalo fechado em zero, apesar de, neste ponto, a reta tangente ser paralela ao eixo OX e possuir coeficiente angular igual a zero. Na verdade, até x=0 podemos considerar que a função ( ) cresce e, de forma análoga, a partir de x=0 podemos considerar que a função decresce.

Portanto, pode-se perceber que as ideias de velocidade média, velocidade instantânea, ou seja, taxas de variação, de reta tangente e a análise do comportamento do gráfico de uma função a partir das variações no coeficiente angular dessa reta, foram compreendidas pela maioria dos estudantes participantes das atividades. Destaca-se também que esses conceitos poderiam ser trabalhados, aos poucos, juntamente com o estudo das demais funções estudadas no Ensino Médio, de modo que ao final dessa série, o estudante possa estabelecer relações mais concretas sobre a aplicação desses tópicos da matemática.

A última atividade complementar de avaliação explorou o cálculo da área limitada pelo eixo OX, pelo gráfico dessa função e pelas retas verticais e . Para essa atividade os alunos deveriam utilizar os comandos “soma superior” e “soma inferior” do Geogebra, como haviam trabalhado no decorrer do quarto roteiro de atividades. Observe na figura 45 a construção realizada pelo aluno A5.

Dos doze alunos, dez conseguiram completar os questionamentos da atividade corretamente e encontraram 18 unidades de área como aproximação da área da região descrita. No entanto, os alunos A11 e A13 inseriram incorretamente o intervalo considerado, logo suas aproximações não se referiam à área definida no exercício.

Acompanhe na tabela 13 as aproximações fornecidas pelo software Geogebra para os parâmetros “Soma Superior” e “Soma Inferior” para a função ( ) no intervalo [0,3].

Tabela 13 - Aproximações para o valor da área descrita na atividade complementar 5.

n = 5 n = 10 n = 20 n = 50 n = 100 n =200 n=500 n=1000 Soma

Superior “a” 20,52 19,62 19,31 18,88 18,66 18,13 18,03 18,01 Soma

Inferior “b” 15,12 16,24 16,61 17,08 17,31 17,86 17,97 17,99

Observe que o resultado obtido, através das aproximações, é exatamente o mesmo que se obtém ao calcular a integral definida:

∫ ( ) De fato:

∫ ( ) [ ] ( ) ( )

A partir das atividades avaliativas podemos verificar que os estudantes alcançaram os objetivos propostos para essa etapa, sem apresentar dificuldades significativas. Destaca-se que, embora as atividades tenham sido aplicadas fora do contexto de uma turma regular de alunos do primeiro ano do Ensino Médio, é possível desenvolver atividades semelhantes aliadas ao estudo de funções no decorrer do ano letivo. Percebe-se que a utilização do software foi um ponto positivo da realização das atividades, motivando os estudantes e fazendo com que participassem ativamente das atividades propostas.