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Produto: Versão Professor
Aula sobre equação de Gauss
A sequência didática apresentada pela maioria dos livros de física para ensino médio no país apresenta o conteúdo de lentes esféricas aos alunos inicialmente pela nomenclatura das lentes e depois dividindo em dois grupos, as de bordas grossas e as de bordas finas. Em seguida discute o comportamento óptico da lente dividindo seu comportamento em convergente e divergente, dependendo do meio de propagação no qual a lente esférica está inserida. Quando estão inseridas no ar, cujo índice de refração é igual a 1, as lentes esféricas de bordas grossas são classificadas como divergentes e as lentes esféricas de bordas finas são chamadas de convergentes.
No próximo momento os livros trabalham as propriedades que determinam o comportamento de alguns raios de luz ao atravessar a lente. Em seguida abordam a formação das imagens através das lentes pelo ponto de interseção dos raios refratados (imagem real) ou de seus prolongamentos (imagem virtual). Com as construções das imagens para os alunos podemos sair da análise qualitativa para inserimos as equações de aumento linear da imagem e a equação dos pontos conjugados (Equação de Gauss) e dar um tratamento qualitativo ao problema de construção das imagens. Descrevemos
nosso produto a partir deste ponto no esquema abaixo.
Utilizando o aplicativo PhET para óptica geométrica conseguimos fazer medidas de distância entre o objeto e a lente (P) e a imagem real formada e a lente (P’). Antes de fazermos as medidas devemos ajustar o valor do raio de curvatura da lente para 0,3 m e do índice de refração para 1,5.
O foco da lente fina é calculado pela equação dos fabricantes de lentes.
𝐹 = ( 𝑛𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒−𝑛𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑛𝑚𝑒𝑖𝑜
) . (
1 𝑅1−
1 𝑅2+
𝑛(𝑚𝑒𝑖𝑜−1)𝑑 𝑛𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑅1 𝑅2) (1)
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Na convenção usual, R2 < 0. No caso de lentes finas (ou delgadas), a espessura da lente é depressível, logo, d = 0. Para o ar, n meio ≈ 1, logo:
𝐹 = (𝑛𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
− 1). (
1 𝑅1−
1
𝑅2
). (2)
Com os dados que ajustamos no programa (nLente = 1,5, nAr = 1 e raio de curvatura da lente = 0,3 m) o foco teria 30 cm, como ilustrado abaixo.1 𝐹
= (
1,5 1− 1) . (
1 0,3+
1 0,3) (3)
1 𝐹= (0,5). (
2 0,3) (4)
1 𝐹= (
1 0,3) (5)
𝐹 = 0,3 𝑚 = 30 𝑐𝑚 (6)Com o objeto a 60 cm da lente encontramos a imagem a 60 cm de distância da lente.
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Figura 2. Imagem a 60 cm da lente.
Quando colocamos o objeto a 45 cm da lente encontramos a imagem a 90 cm de distância da lente.
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Figura 4. Imagem a 90 cm da lente.
Quando colocamos o objeto a 90 cm da lente encontramos a imagem a 45 cm de distância da lente.
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Figura 6. Imagem a 45 cm da lente.
A tabela abaixo mostra os pontos tomados pelo aplicativo PhET.
P (cm) P'(cm)
1º Par 60 60
2º Par 45 90
3º Par 90 45
Tabela 1. Pares de pontos
Neste momento propomos uma breve inserção histórica sobre a vida e obra do professor Pierre Lucie, comentando sobre sua grande importância na fundação do instituto de física da PUC-RJ, sua participação na reformulação do ensino da Física nos Estados Unidos como membro do Physical Sciences Study
Committee (PSSC) desenvolvido no Massachussets Institute of Technology (MIT)
e sobre sua obra didática para o que hoje chamamos de ensino médio nos anos de 1970.
Após informar aos alunos sobre sua vida e obra, aplicamos um caminho didático apresentado pelo Prof. Pierre Lucie, o método gráfico das coordenadas, para resolver problemas quantitativos de formação de imagens em lentes esféricas em alternativa a equação dos pontos conjugados.
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Este método consiste em marcarmos no eixo Y (eixo das ordenadas) o valor da distância entre o objeto e a lente esférica (P) e marcarmos no eixo X (eixo das abscissas) o valor da distância entre a imagem e a lente esféricas (P’). Após essa marcação devemos traçar uma reta ligando esses dois pontos. Ao repetir esse procedimento com uma nova distância entre o objeto e a lente esférica encontraremos na intercessão das retas o valor da distância focal da lente esférica.
Aplicando o método gráfico das coordenadas utilizando o aplicativo gratuito GeoGebra aos pontos temos para o primeiro par de pontos.
Figura 7. Reta para P =60 cm e P’ = 60 cm.
Aplicando o método gráfico das coordenadas utilizando o aplicativo gratuito GeoGebra aos pontos temos para o segundo par de pontos.
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Figura 8. Reta para P =45 cm e P’ = 90 cm.
Aplicando o método gráfico das coordenadas utilizando o aplicativo gratuito GeoGebra aos pontos temos para o terceiro par de pontos.
Figura 9. Reta para P =90 cm e P’ =45 cm.
Percebemos que existe um ponto de interseção entre as retas. Esse ponto tem coordenada (30,30).
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Figura 10. Ponto de intercessão das retas (Foco).
Figura 11. Demonstração da Equação de Gauss a partir do método gráfico das coordenadas
Podemos, com geometria analítica, a equação de Gauss a partir do método gráfico das coordenadas. Para a demonstração vamos utilizar o primeiro par de pontos marcados (P =60 cm e P’ = 60 cm) sabendo que o foco objeto da lente convergente encontrado foi de 30 cm. Vejamos a figura abaixo.
Distância focal Método Gráfico 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 x y
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Figura 12. Coordenada do foco da lente.
Sugestão de atividade.
(UFES 2007) O "Método de Pierre Lucie" ou "Método Gráfico das Coordenadas (MGC)" é um interessante processo gráfico para obter a abscissa associada à posição da imagem de um objeto formada por um espelho ou uma lente esférica. O método consiste em construir um par de eixos coordenados. Sobre o eixo das ordenadas, marcar um ponto referente à posição do objeto P(0,p) e depois um ponto cujas coordenadas sejam a distância focal do espelho ou da lente, F(f,f). Traçar uma reta passando por P e F. O ponto P'(p',0) onde a reta intercepta o eixo das abscissa será a posição da imagem.
Usando o MGC,
a) obtenha a equação de Gauss;
b) determine a posição e natureza da imagem de um objeto que se encontra a 2 cm do vértice de um espelho côncavo de distância focal de 3 cm.
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Gabarito oficial da UFES:
a) Os triângulos sombreados são semelhantes.
𝑃−𝐹 𝐹
=
𝐹 𝑃′−𝐹→ 𝑃𝑃
′− 𝑃
′𝐹 − 𝑃𝐹 + 𝐹
2→ 𝑃𝑃
′= 𝑃
′𝐹 + 𝑃𝐹
Dividindo por P.P’.F, vem: 1 𝐹
=
1 𝑃+
1 𝑃′ b) Aplicando o MGC.Os triângulos sombreados são semelhantes, portanto:
−𝑃′
2
=
3
1
→ 𝑃
′= −6 𝑐𝑚 → 𝑉𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙
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𝐴 =
−𝑃′
𝑃
= 6 > 0 → 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
A figura referente a aplicação do método gráfico das coordenadas se difere das apresentadas na dissertação, pois no simulador de banco óptico do
PhET somente é possível produzir imagens reais (P’ positivo) e na questão