4. RECURSOS E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS
4.1. Rotinas e aplicativos desenvolvidos em Matlab
A seguir serão apresentadas as rotinas desenvolvidas em Matlab para simular vários aspectos da geração do campo ultra-sônico, do comportamento de um sistema linear e da aplicação de varreduras de senos. Essas rotinas foram empregadas basicamente como ferramentas para melhor compreensão dos fenômenos físicos envolvidos, e foram implementadas a partir dos conceitos teóricos apresentados no Cap.
2. Muitas das figuras apresentadas naquele capítulo foram geradas com o auxílio das rotinas apresentadas a seguir.
4.1.1. RF_Sist.m – simula o módulo da Resposta em Freqüência de um sistema
A rotina simula o módulo da RF de um sistema a partir dos parâmetros informados na linha de comando, que são:
- tipo de curva do espectro (gaussiano, plano ou logarítmico);
- Freqüência de Amostragem (em Hertz); e - Número de Pontos da RF.
No caso do módulo da RF ser uma curva gaussiana, devem ser informados, ainda, a Freqüência Central, FC, da RF, seu Fator de Qualidade, FQ, definido como a relação entre a freqüência central e largura de banda de meia potência, i.e, FQ=FC BW (onde BW é a largura de banda do sistema), e a amplitude mínima da RF (em dB). Também
são gerados os coeficientes de um filtro FIR (Finite Impulse Response) a partir da RF simulada. A quantidade de coeficientes é informada pelo usuário. A rotina foi utilizada na simulação da equalização da potência emitida por transdutores (ver a Seção 4.2). A Figura 15 apresenta uma saída típica da rotina.
FIGURA 15. Exemplo da saída gerada pela rotina RF_Sist.
Em uma situação real, para se equalizar a potência emitida por um transdutor, sua RF deveria ser previamente obtida a partir da medição de suas características, isto é, de uma calibração. Como normalmente o módulo da RF de transdutores apresenta um formato gaussiano, foram especificados dois parâmetros: Freqüência Central (FC) e Fator de Qualidade (FQ). A RF foi então simulada por uma curva gaussiana, centrada em FC e com desvio padrão (σ) tal que 50% da energia da RF ficasse limitada a
BW
FC±0,5× , onde BW é a largura de banda do transdutor.
O outro parâmetro informado é a amplitude mínima da RF, em dB. Esse parâmetro determina a faixa dinâmica com a qual será construída a RF, ou a PSD, do sistema. No exemplo da Figura 15, a RF está limita em –15 dB.
Segundo [31] (pg 916-919), o fator de qualidade de um filtro pode ser definido como:
[ ( ) ]
{ }
[
P( )
f]
f P FQ E
x x
var
2
2 = (55)
onde Px
( )
f é um estimador do espectro de potência do filtro e var[ ]
• é a variância desse estimador. A equação (55) é equivalente a FQ=FC σRF , onde FC é a freqüência central (ou média, ou valor esperado) da RF do filtro e σRF é o desvio padrão da RF. Em sistemas mecânicos, que podem ser considerados filtros analógicos, o chamado “fator de ressonância de meia potência” é uma medida da largura de banda na qual cada componente espectral tenha pelo menos 50% da potência que o sistema gera (ou que por ele passa) – ver [104] para referência. Essa definição concorda com a de largura de banda de –6 dB para transdutores, como pode ser observado em [105].Analisando o gráfico da Figura 16, observa–se que a abscissa que coincide com a Amplitude de –3 dB e Potência de –6 dB é de aproximadamente FC±1,675×σRF (esse valor numérico pode ser extraído de tabelas estatísticas de distribuições normais).
Portanto, se a curva do módulo da RF for igual à curva de uma distribuição normal (gaussiana), uma queda de –6 dB na potência implica em largura de banda de aproximadamente 2×1,675×σRF, onde σRF é o desvio padrão da distribuição.
FIGURA 16. Resposta em Freqüência com distribuição gaussiana (Potência) e raiz quadrada da distribuição gaussiana (Amplitude).
4.1.2. CEP_AMag.m – cria o sinal no tempo a partir da magnitude do PSD
Essa rotina sintetiza um CEP-AMag a partir da magnitude do PSD, que pode ser obtida, por exemplo, da RF de um sistema ou de um transdutor do qual se pretenda equalizar a potência emitida. Na Figura 17 podem ser vistos os gráficos gerados por uma saída típica da rotina, ou seja, a PSD especificada para a rotina na entrada, a varredura gerada (sinal no tempo e espectograma) e o atraso de grupo da varredura. No exemplo, a PSD de entrada foi gerada com a rotina RF_Sist, descrita anteriormente.
FIGURA 17. Exemplo da saída da rotina CEP_AMag: a) PSD da varredura; b) Varredura, no tempo;
c) Atraso de grupo da varredura; d) Espectograma da varredura.
4.1.3. Equal_PotTx.m – simula a equalização da potência de saída de um transdutor Nessa rotina, RF_Sist.m e CEP_AMag.m são utilizadas para simular o processo de equalização da saída de um sistema ultra-sônico. A partir de uma RF, que pode ser, em tese, de um sistema ou de um elemento do sistema (como o transdutor, por exemplo), é gerado um CEP-AMag com PSD igual ao inverso da PSD do sistema. Em geral, as extremidades da curva de magnitude da RF de sistemas ultra-sônicos tendem a zero. O inverso de um número pequeno (tendendo a zero) é muito grande (tendendo a infinito).
No protocolo de geração de CEP-AMag adotado, o inverso das extremidades da PSD do sistema irá gerar valores elevados para a PSD da varredura. Isso equivale a dizer que grande parte da energia do sinal será empregada para compensar pequenas regiões do espectro, localizadas nas extremidades da PSD. Para evitar que isso aconteça, as extremidades da PSD que será utilizada para gerar o CEP-AMag são apropriadamente truncadas, segundo um parâmetro definido pelo usuário, a faixa dinâmica da varredura.
Um filtro FIR com RF idêntica a do sistema é implementado e convoluído com o CEP-AMag, simulando sua utilização como sinal de excitação. A resposta do sistema a essa
excitação deve ser, teoricamente, plana, ou pelo menos deve apresentar largura de banda aumentada significativamente. A rotina Equal_PotTx.m é a base da simulação descrita na Seção 4.2. A Figura 18 mostra um exemplo dos gráficos gerados pela rotina. Nesse exemplo, foi utilizada uma RF gaussiana limitada entre 100 Hz e 11.000 Hz. A freqüência de amostragem foi de 22.050 Hz, FC igual a 5.500 Hz e FQ igual a 0,9. Foi estabelecido um limite de faixa dinâmica de -30 dB para a PSD do sistema e o CEP foi gerado com duração de 2 segundos. Observa-se no gráfico do canto inferior direito (Figura 18d) que, após a filtragem, a PSD da saída ficou plana, com variação bem inferior a 3 dB, até aproximadamente a Freqüência de Nyquist.
FIGURA 18. Exemplo da saída da rotina Equal_PotTx.m: a) PSD do sistema e da varredura;
b) Varredura, no tempo; c) Espectograma da varredura; d) PSD da resposta do sistema ao ser excitado com o CEP-AMag.