G RUPOS A BELIANOS E O TEOREMA DE B LOCH

Algumas conclusões importantes já podem ser obtidas para sistemas físicos que possuem propriedades de simetria que formam grupos Abelianos. Um exemplo de sistema com essa propriedade é uma rede cristalina, a qual é isométrica frente a algum grupo cristalográfico espacial.25

Em um grupo Abeliano, cada elemento forma uma classe por si próprio26e, por consequência, o número de representações irredutíveis é igual ao número de elementos do grupo. Contudo, como (5.19) deve sempre ser satisfeita,i. e.,

g

X

n=1

`<sup>2</sup><sub>n</sub>=g, sendog=P<sub>H</sub> , a única possibilidade é`n= 1, paran= 1,2, . . . , g.

Portanto, um grupo Abeliano de ordemg tem g representações irredutíveis unidimensionais e um sistema físico cujas isometrias pertencem a esse grupo possui o mesmo número de autoestados de energia. Um sistema cujo grupo do Hamiltoniano é Abeliano tem seus autoestados descritos por autofunções não degeneradas.

5.9.3.1 GRUPOS CÍCLICOS

Se além de Abeliano, o grupo for também cíclico, entãoP_H=PA: P_A^g =I=PA, P_A², . . . , P_A^g =

I , sendoPA o gerador do grupo.

Denotando por Γ (A) = r o valor que representaPA em uma certa irrep deP_H, a discussão realizada ao longo da seção5.6mostra queΓ (Pm

A) = [Γ (PA)]^m=rm(m= 2, . . . , g). Em particular, comoΓ (P_A^g) = Γ (I) = 1, resulta que a quantidadersatisfazrg= 1. Ou seja, asgirreps dePA são dadas pelasg raízes da unidade. Assim, pode-se escolher

r^g= 1 =⇒Γ⁽ⁿ⁾(PA) =rn=e^{2π(n−1)i/g},(n= 1, . . . , g),

sendo que esta escolha foi realizada para queΓ⁽¹⁾(PA) = 1seja a irrep trivial. As irreps de P2

A são, por conseguinte, obtidas a partir de Γ(n) P2

A = Γ(n)(P_A)2 = r2 n =

e4π(n−1)i/g. Assim, para qualquer elemento deP_Hpode-se escrever

Γ⁽ⁿ⁾(P_A^m) =e^{2πm(n−1)i/g},(n, m= 1, . . . , g). (5.46) Nota-se que com as escolhas aqui realizadas, a irrep trivial corresponde a Γ(1)(Pm

A) = 1, m =

1, . . . , g. A tabela5.4lista algumas das irreps deP_H. A mesma tabela também serve para listar os caracteres das representações.

Tabela 5.4:Tabela das representações irredutíveis do grupo cíclico de ordemg

PA: P_A^g =I , sendoω=e2πi/g. I PA P_A² P_A³ · · · P_A^g−1 Γ(1) 1 1 1 1 · · · 1 Γ⁽²⁾ 1 ω ω² ω³ · · · ω^(g−1) Γ(3) 1 ω2 ω4 ω6 · · · ω2(g−1) .. . .._. .._. .._. .._. . .. .._. Γ(g) 1 ω(g−1) ω2(g−1) ω3(g−1) · · · ω(g−1)2

5.9.3.2 O

TEOREMA DE

BLOCH

O teorema de Bloch possui grande importância da dinâmica de uma rede cristalina e pode ser deduzido facilmente considerando-se a simetria translacional inerente a estes sistemas. Este teorema será deduzido agora para uma rede unidimensional, mas o mesmo pode ser estendido para outras dimensões.

Conforme discutido na seção 3.4.3, em uma dimensão o grupo cíclico de ordemN é o grupo de simetria do Hamiltoniano para o potencial periódico de uma rede cristalina com N períodos

25Seção3.4.3.

202 5.9.Aplicações físicas da teoria de representações de grupo

em um anel circular ou em uma rede linear com condições de contorno periódicas, sendo a o parâmetro de rede. Neste caso, um elemento do grupo translação T é o operadorT1, cuja ação sobre a coordenadaxao longo da rede é

T₁x=x⁰ =x−a,

ou seja, transladar a origem para a direita por uma distância igual ao parâmetro de rede. O operador inverso é T₁⁻¹x=x+a e o operador que executa a translação porm6N períodos de rede é simplesmenteTmx=Tm

1 x=x−ma, onde, devido às condições de contorno,TNx=TN

1 x=

x−N a=x=Ex. Assim, observa-se queT1 é o gerador do grupo de translação, o qual pode ser descrito porT =

T1: TN

1 =E .

De acordo com o mapeamento (5.40), o operadorPT₁ que efetua a transformação correspon-dente na função de onda é dado por

PT₁ψ(x) =ψ T₁⁻¹x=ψ(x+a).

Da mesma forma, o operadorP_Tm↔T_mtem sua ação dada porP_Tmψ(x) =ψ T⁻1

m x

=ψ(x+ma).

Conforme a discussão realizada a respeito das propriedades do grupo do Hamiltoniano, dada a equação de Schroedinger (5.43) para um potencial periódico, o número total de autovalores de energia possíveis é igual ao número de representações irredutíveis do grupo P_H; ou seja,

E = En, com 1 6 n 6 N. Além disso, como o grupo T é cíclico, todos os autovalores são não degenerados, pois as irreps são unidimensionais. Finalmente, de acordo com (5.44), a ação de qualquer operador emT implica na transformação deψ(x)de acordo com alguma representação irredutível deP_H.

Assim, dada autofunção ψ⁽ⁿ⁾(x)associada ao autovalor En, esta deve se transformar sob a ação dePT₁ de acordo com a n-ésima irrep deP_H. De acordo com (5.46), resulta então

ψ⁽ⁿ⁾(x+a) =PT1ψ⁽ⁿ⁾(x) = Γ⁽ⁿ⁾(T1)ψ⁽ⁿ⁾(x) =e^{2π(n−1)i/N}ψ⁽ⁿ⁾(x) =ωⁿ⁻¹ψ⁽ⁿ⁾(x),

onde o parâmetro ω está na tabela5.4. Como as irreps na tabela são puramente fases unimo-dulares, a seguinte propriedade é imediata:

ψ⁽ⁿ⁾(x+a) 2 = ψ⁽ⁿ⁾(x) 2 .

Portanto, a forma mais geral para ψ(n)(x)é

ψ⁽ⁿ⁾(x) =e^iφn(x)u_n(x),

onde φn(x)é uma função real denominada função de fase eun(x)apresenta a periodicidade da rede: un(x+a) =un(x).

A forma explícita deφn(x)pode ser determinada. Aplicando-se uma translação qualquer,

P_Tmψ⁽ⁿ⁾(x)⁽⁵=^.46)ω^m(n−1)ψ⁽ⁿ⁾(x) =ω^m(n−1)e^iφn(x)u_n(x).

Por outro lado,

P_Tmψ⁽ⁿ⁾(x) =ψ⁽ⁿ⁾(x+ma) =e^iφn(x+ma)u_n(x).

Igualando-se ambos os resultados, conclui-se que a função de faseφ_n(x)deve satisfazer

φn(x+ma) =φn(x) +^2πm(n−1)

N ^.

Desenvolvendo-seφn(x+ma)em uma série de Taylor em torno dex,

φn(x+ma) = ∞ X r=0 mrar r! ^φ (r) n (x) =φn(x) +maφ⁰_n(x) +¹ 2^m 2 a²φ⁰⁰_n(x) +· · ·,

conclui-se que a identidade somente pode ser satisfeita se φ⁰⁰_n(x) = 0, ou seja, se esta for linear emx. Obtém-se também que

φ⁰_n(x) = ^2π(n−1)

L ⇒φ_n(x) =^2π(n−1)

ondeL=N aé a extensão da rede periódica eαé uma constante. Portanto, definindo-se a nova quantidade

kn=^2π(n−1)

L ^,

denominada onúmero de onda, a forma geral da autofunção é

ψ_n(x) =e^iknxu_n(x).

Este resultado é o teorema de Bloch (unidimensional) e esta forma para ψn(x) é denominada

função de Bloch.

A dedução recém concluída pode ser estendida para uma rede cristalina real (em 3D). Fazendo-se isso, pode-Fazendo-se mostrar que o número de onda é generalizado para ovetor de onda

k_n1,n2,n3 = 2π 3 X r=1 nr−1 N_r ^br,

onde {b_r} são os vetores translacionais da rede recíproca. Com isso, a função de Bloch fica escrita

ψk(r) =e^ik·ruk(r).

De acordo com a discussão realizada na seção5.9.2.3, o vetor de ondaké um bom número quântico para a função de onda de um elétron em um cristal, desde que a simetria translacional não seja quebrada por alguma perturbação. Neste caso, o vetor de onda aparece relacionado com o espalhamento do elétron e~ké o momento de um quantum de vibração da rede.

5.9.4 FUNÇÕES DE BASE PARA REPRESENTAÇÕES IRREDUTÍVEIS

Os exemplos apresentados na seção anterior já dão uma indicação da utilidade da teoria de representação para obter-se informações importantes a respeito da dinâmica do sistema quando o seu grupo de simetria é Abeliano.

Nesta seção, serão desenvolvidos métodos mais gerais, que irão também fornecer informações importantes quando os estados de energia são degenerados, em cuja situação as representações irredutíveis possuem dimensões maiores que um. Nesta situação, conforme salientado na dis-cussão a respeito de bons números quânticos (seção5.9.2.3), as funções de base dos subespaços vetoriais necessitam de, no mínimo, dois índices para a sua identificação, um índice para indicar a representação irredutível à qual pertencem e outro para indicar a coluna (ou linha) dentro da representação.

Retomando então a nomenclatura introduzida na seção 5.9.2.3,ψν⁽ⁿ⁾(r) é a função de base pertencente àν-ésima coluna dan-ésima irrep. As outras autofunçõesψµ⁽ⁿ⁾(r)necessárias para completar a base da representação são denominadas asparceirasdeψν⁽ⁿ⁾(r).

Então, retornando a (5.44), a ação de qualquer elemento PR do grupo do Hamiltoniano P_H

sobreψν⁽ⁿ⁾(r)pode ser expresso com o auxílio das parceiras como

P_Rψ_ν⁽ⁿ⁾= `_n

X

µ=1

ψ⁽_µⁿ⁾Γ⁽_µνⁿ⁾(R),

sendo`n a ordem da degenerescência don-ésimo estado de energia. Multiplicando-se agora am-bos os lados porΓ⁽_µ^m0ν⁾0^∗(R)e somando sobre os elementos do grupo, o teorema da ortogonalidade

5.2fornece X P_R∈P_H Γ⁽_µ^m0ν⁾0^∗(R)P_Rψ_ν⁽ⁿ⁾= `<sub>n</sub> X µ=1 X P<sub>R</sub>∈P<sub>H</sub> ψ<sub>µ</sub><sup>(n)</sup>Γ<sup>(</sup><sub>µν</sub><sup>n)</sup>(R) Γ<sup>(</sup><sub>µ</sub><sup>m</sup>0ν<sup>)</sup>0<sup>∗</sup>(R) = <sup>g</sup> `_n `<sub>n</sub> X µ=1 ψ<sub>µ</sub><sup>(n)</sup>δmnδµµ0δνν0 = <sup>g</sup> `n δmnδνν0ψ_µ⁽ⁿ0⁾,

204 5.9.Aplicações físicas da teoria de representações de grupo

lembrando queg=|P_H|.

O resultado acima permite definir-se ooperador de transferência

P

⁽_µνⁿ⁾=^{. `n}

g X

PR∈P_H

Γ⁽_µν^n)∗(R)PR, (5.47a) com o qual pode-se escrever o resultado como

P

⁽_µκ^k)ψ⁽_νⁿ⁾=δnkδνκψ⁽_µ^k). (5.47b) Ou seja, a atuação do operador

P

⁽_µκ^m)sobre uma função de base gera um resultado nulo, a não ser que esta pertença à κ-ésima coluna da k-ésima representação irredutível. Neste caso, se

n=keν=κ, resulta que

P

⁽_µνⁿ⁾ψ⁽_νⁿ⁾=ψ_µ⁽ⁿ⁾,

ou seja, ao se aplicar (5.47a) na função de base ψν⁽ⁿ⁾, obteve-se a sua parceira ψ⁽µⁿ⁾. Esta pro-priedade do operador

P

⁽_µνⁿ⁾fornece um método para se obter todas funções de base de uma dada irrep conhecendo-se somente uma delas.

Retornando ao último resultado acima, seµ=ν, resulta que

P

⁽ννⁿ⁾ψ⁽_νⁿ⁾=ψ_ν⁽ⁿ⁾.

Ou seja, ψν⁽ⁿ⁾ é uma autofunção de

P

⁽_ννⁿ⁾ com autovalor unitário. Esta propriedade permite identificar-se de forma única os índices de qualquer função de base e até mesmo se uma dada autofunção associada aEn é de fato uma função de base. Além disso, como

P

⁽_ννⁿ⁾é um operador linear, qualquer combinação de funções pertencentes à ν-ésima coluna de Γ(n), mas oriundas de diferentes escolhas de bases (tal como aψ⁽νⁿ⁾+bψν⁽ⁿ⁾⁰) também pertencerá às mesmas coluna e representação. Finalmente, como o autovalor é unitário, o operador é tal que

P

⁽_ννⁿ⁾

P

⁽_ννⁿ⁾ =

P

⁽_ννⁿ⁾. Operadores que possuem esta propriedade são denominados idempotentes.

Com base nas propriedades do operador de transferência, o teorema a seguir pode ser for-mulado.

Teorema 5.8. SeΓ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾, . . . ,Γ^(g)são as representações irredutíveis de um grupo de operadores

PR, então qualquer função F no espaço operado por PR pode ser decomposto em uma soma na forma F = g X n=1 `_n X ν=1 f_ν⁽ⁿ⁾,

ondefν⁽ⁿ⁾pertence àν-ésima coluna dan-ésima representação irredutível do grupo.

Demonstração. Considera-se todas as funçõesF, F₂⁰, F₃⁰, . . . , F_g⁰ obtidas pelas aplicações de todos os operadores P_R sobre F. Primeiro descarta-se todas as funções que são LD das outras e ortonormaliza-se as demais (e. g. via o processo de Gram-Schmidt). Denotando-se o conjunto resultante por Φ ={F, F2, . . . , Fm} (m6g), estas funções formam a base de uma representação unitária do grupo, identificada porD^ˆ, de tal forma que

PRFk = m

X

r=1

Fr_Dˆ_{rk(R), (k= 1, . . . , m).}

Agora, há duas possibilidades: ou a representação D^ˆ é irredutível ou não. Se for irredutível, então Fk pertence à sua k-ésima coluna e o teorema está provado. Se não o for, então existe uma matriz não singularSque gera uma transformação de similaridade que irá colocar todas as matrizes emD^ˆ na forma bloco-diagonal. Neste caso, as novas funções

F_`⁰⁰= m

X

k=1

F_kS<sub>k`</sub>, (`= 1, . . . , m)

podem ser escritas como combinações lineares de funções do tipofν⁽ⁿ⁾, as quais são as funções de base das irreps. Usando então a matriz inversaS⁻¹, pode-se finalmente escrever as funções emΦ(em particularF) em termos das funções fν⁽ⁿ⁾.

Com base neste teorema, é possível empregar-se o operador de transferência (5.47a) para a determinação das funções de base. Como foi constatado que

P

⁽κκ^k)f_ν⁽ⁿ⁾=δ_nkδ_νκf_κ^(k), (5.48a) a aplicação de

P

⁽_κκ^k) sobre uma função qualquerF resulta

P

⁽_κκ^k)F =

P

⁽_κκ^k) g X n=1 `<sub>n</sub> X ν=1 f<sub>ν</sub><sup>(n)</sup> ! = g X n=1 `_n X ν=1

P

⁽_κκ^k)f_ν⁽ⁿ⁾=⇒

P

⁽_κκ^k)F =f_κ^(k). (5.48b) Assim,

P

⁽κκ^k) atua sobre qualquer função F projetando sua componente ao longo da κ-ésima coluna da irrepΓ(k). Por esta razão,

P

⁽_κκ^k)é denominadooperador de projeção.

É importante mencionar que a função fν⁽ⁿ⁾(r) projetada pelo operador

P

⁽_ννⁿ⁾ aplicado a uma função arbitrária F(r) está diretamente relacionada à função de base ψν⁽ⁿ⁾(r), pertencente à

ν-ésima coluna da irrep Γ(n), por fν⁽ⁿ⁾(r) = c⁽νⁿ⁾ψ⁽νⁿ⁾(r), sendo c⁽νⁿ⁾ ∈ _C uma constante a ser determinada,e. g., pela normalização da autofunção.

Com os recursos deduzidos acima, é possível obter-se as funções de base de qualquer re-presentação irredutível (por exemplo, Γ⁽ⁿ⁾). Partindo de uma função F arbitrária, projeta-se inicialmente a mesma ao longo de uma coluna da irrep, obtendo-se assim fν⁽ⁿ⁾ (por exemplo). Esta função é então normalizada, obtendo-se assim a função de base ψν⁽ⁿ⁾ adequada. A partir daí, o uso sistemático do operador de transferência

P

⁽_µνⁿ⁾ irá gerar todas as suas parceiras, uma vez que

P

⁽_µνⁿ⁾ψ⁽νⁿ⁾=ψµ⁽ⁿ⁾. O físico americano John Hasbrouck Van Vleck (1899–1980) denominou este procedimento demáquina geradora das funções de base.

Os resutados recém obtidos requerem o conhecimento total das representações irredutíveis do grupo do Hamiltoniano. Em algumas situações, este conhecimento é impossível ou muito difícil de ser obtido. Em comparação, a dedução da tabela de caracteres é mais fácil de ser obtida, se for aplicado um procedimento semelhante ao discutido na seção5.6.6. Nesta situação, ainda é possível obter-se informações a respeito das funções de base, conhecendo-se os caracteres da representação. Com este intuito, retorna-se a (5.47a), coloca-se µ= ν e soma-se sobreν para obter

P

⁽ⁿ⁾=^. `n X ν=1

P

⁽_ννⁿ⁾= <sup>`n</sup> g X P<sub>R</sub>∈P<sub>H</sub> `n X ν=1 Γ⁽_νν^n)∗(R) ! P_R,

P

⁽ⁿ⁾= ^`n g X P_R∈P_H χ^(n)∗(R)PR, (5.49) sendoχ(n)(R)o caractere dePRnan-ésima representação irredutível.

A ação de

P

⁽ⁿ⁾sobre uma função qualquer das coordenadas pode ser vista a partir de (5.48b),

P

⁽_ννⁿ⁾F=f_ν⁽ⁿ⁾=⇒^X ν

P

⁽_ννⁿ⁾F =^X ν

f_ν⁽ⁿ⁾=⇒

P

⁽ⁿ⁾F =f⁽ⁿ⁾,

isto é, a partir de uma função arbitrária,

P

⁽ⁿ⁾ projeta a parte pertencendo à n-ésima irrep, a qual consiste na soma das funções de base da mesma. Este resultado, da mesma forma que o caractere, não é afetado por transformações de similaridade que alteram as funções de base.

Por sua vez, a ação de

P

⁽ⁿ⁾sobre a funçãof(n)pode ser visualizada a partir de (5.48a),

P

⁽_κκⁿ⁾f_ν⁽ⁿ⁾=δ_νκf_κ⁽ⁿ⁾=⇒^X κ

P

⁽_κκⁿ⁾f_ν⁽ⁿ⁾=^X κ δ_νκf_κ⁽ⁿ⁾=⇒

P

⁽ⁿ⁾f_ν⁽ⁿ⁾=f_ν⁽ⁿ⁾. Então,

P

^(n)X ν f_ν⁽ⁿ⁾=^X ν f_ν⁽ⁿ⁾=⇒

P

⁽ⁿ⁾f⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾.

Finalmente, retornando à ação genérica do operador de transferência sobre uma função de base, dada por (5.47b), fazendoκ=µe somando sobreµek, resulta

X

k

206 5.9.Aplicações físicas da teoria de representações de grupo

Ou seja,

X

k

P

^(k)=PI,

sendoPI a identidade do grupo do Hamiltoniano.

Exemplo 5.9 (Operador de projeção do grupo C1h). O grupo C1h contém apenas duas ope-rações (3.7): a identidade E e a reflexão σh, a qual realiza a transformação σhx = −x. Os correspondentes operadores que atuam no espaço funcional são PE e Pσ_h, cujas ações sobre uma funçãoF(x), de acordo com (5.40), sãoPEF(x) =F(x)ePσ_hF(x) =F(−x). A partir agora da tabela de caracteres do grupo (tabela5.3), os operadores de projeção do grupo são dados por (5.49):

P

⁽¹⁾=¹

2^(PE+Pσh),

P

⁽²⁾=¹

2^(PE−Pσ_h).

Estes operadores, ao atuarem sobre uma função arbitráriaF(x), resultam em

P

⁽¹⁾F(x) =¹ 2^{[PEF(x) +Pσ}hF(x)] = ¹ 2^{[F(x) +F(x)],}

P

⁽²⁾F(x) =¹ 2^[PEF(x)−Pσ_hF(x)] = ¹ 2^[F(x)−F(−x)].

Claramente, as funções resultantes são, respectivamente, par e ímpar frente a uma reflexão, como seria esperado para estas pertecerem às representaçõesΓ(1) eΓ(2), respectivamente.

5.9.5 PERTURBAÇÕES, REGRAS DE SELEÇÃO E SIMETRIA

Nesta seção será realizada uma breve discussão sobre como o formalismo da teoria de gru-pos pode auxiliar na obtenção de resultados aproximados envolvendo sistemas quânticos. Em particular, será abordado o problema do tratamento de perturbações que são aplicadas a um sistema inicialmente em um estado estacionário, levando o mesmo a transições para diferentes estados. Um dos objetivos do uso da teoria de grupos neste caso consiste na obtenção das regras de seleção que definem quais transições são permitidas ou quais são proibidas.

5.9.5.1 PERTURBAÇÕES SOBRE AUTOESTADOS

Em geral, a solução completa da equação de Schroedinger completa (5.39) não existe; de fato, na maior parte das situações, mesmo a forma estacionária (5.43) não é exatamente solúvel. Contudo, para simplificar a discussão, será suposto que as soluções da equação independente do tempo sejam conhecidas.

Assume-se que o sistema físico esteja inicialmente em um estado estacionário, determinado pela solução de (5.43), quando o Hamiltoniano é formalmente escrito como

H

=

H

0. Aplica-se então uma perturbação sobre o sistema de tal forma que o Hamiltoniano é alterado por

H

0→

H

, onde

H

inclui o efeito da perturbação. Se esse efeito puder ser considerado suficientemente “pequeno” (sob algum critério), então a perturbação pode ser adicionada linearmente ao Hamil-toniano original e pode-se então escrever

H

=

H

0+

H

⁰,

onde

H

⁰ é o termo que inclui a perturbação.

SejaP0 o grupo das transformações de simetria de

H

0. Em geral, existe um ou mais opera-doresPR∈ P0 para os quais

PR,

H

⁰

6

= 0,i. e., existem operações para as quais

H

0 é invariante, mas

H

⁰ não o é. Isto se deve ao fato de que a ação da perturbação remove uma ou mais simetrias do sistema físico. Supõe-se que, neste caso, o sistema atuado pela perturbação apresente um conjunto reduzido de isometrias, o qual é um subconjunto das isometrias originais. Por isso, assume-se que ainda existe um grupo de transformações de simetria de

H

⁰, denotado porP0e tal que todos os operadores P_R⁰ ∈ P0 satisfaçam

P_R⁰,

H

⁰

= 0,i. e., deixam

H

⁰ invariante. Supõe-se também queP0⊂ P₀,i. e., é um subgrupo das operações de simetria de

H

0. Com isso, o Hamil-toniano completo

H

permanece invariante apenas sob as transformações de simetria comuns a

Retornando ao Hamiltoniano não perturbado

H

0, uma vez que suas propriedades foram su-postas conhecidas, sabe-se quantos autovalores de energia En existem e as ordens de suas degenerescências. Conhecem-se também os conjuntos de autofunçõesΨ_n=

ψ^{₁^n}, . . . , ψ^{_`^n} n , as quais formam as bases ortonormais dos subespaçosHn e a partir das quais as representações irredutíveisΓ(n)(P₀)são deduzidas.

Aplicando-se então a perturbação

H

⁰ sobre o sistema, o grupo de simetrias é reduzido para

P0. Como P0 é subgrupo de P0, as funções de base em Ψn ainda geram uma representação de dimensão`nparaP0, mas esta representação será, em geral, redutível. Essa representação pode ser reduzida à forma bloco-diagonal, quando então surgirão novos subconjuntos de funções de base, expressos a partir deΨn, tais que uma dada função de um determinado subconjunto será expressa apenas em termos de suas parceiras no subconjunto sob a ação de qualquerP_R⁰ ∈ P0. Como as representações irredutíveis de P0 foram determinadas a partir das autofunções dege-neradas (normais) aos autovalores de

H

0, os novos subconjuntos serão compostos por funções degeneradas a novos autovalores, exceto no caso de degenerescências acidentais; em outras pa-lavras, os autovalores de energia originais

En⁽⁰⁾ dividem-se em novos níveis devido à redução na simetria do sistema físico.

5.9.5.2 O

TEOREMA DOS ELEMENTOS DE MATRIZ E REGRAS DE SELEÇÃO

Uma importante aplicação do tratamento perturbativo da mecânica quântica está na de-terminação das probabilidades temporais (ou taxas temporais) de transições entre dois estados estacionários de energia sob a ação de uma perturbação dependente (de forma “lenta”) do tempo. É assumido que antes da perturbação incidir sobre o sistema, este estava em um estado estaci-onário bem definido, descrito pela autofunçãoψ⁽νⁿ⁾(r), associada ao autovalorEn,27os quais são soluções do Hamiltoniano

H

0.

Uma perturbação dependente do tempo é então aplicada ao sistema em um dado instantet=

t₀. Um tipo comum de perturbação deste tipo consiste na incidência de radiação eletromagnética sobre átomos, moléculas ou sólidos. Essa perturbação não somente reduz a simetria do sistema, como também promove transições entre diferentes estados, de tal maneira que se no instantet=

t_f > t₀ a perturbação é removida e o sistema torna a ser regido por

H

0, existe uma probabilidade não nula de o mesmo se encontrar em um outro autoestadoψµ^(m), distinto do inicial.

Empregando a teoria de perturbações dependentes do tempo na mecânica quântica, mostra-se que a probabilidade de transição por unidade de tempo na premostra-sença de uma perturbação pode ser expressa genericamente pelaregra de ouro de Fermi

w=^2π ~

ρ(m)H_mµ,nν⁰ 2

, sendoH_mµ,nν⁰ =^Dψ_µ^(m),

H

⁰ψ_ν^(n)E.

Na expressão acima, ρ(m)é a densidade de estados finais e H_mµ,nν⁰ é o elemento da matriz do Hamiltoniano perturbado

H

⁰ que conecta o estado inicial nν com o estado final mµ. A partir desta expressão fica evidente que a transiçãonν → mµ somente poderá ocorrer se H_mµ,nν⁰ 6= 0. Transições que satisfazem esta condição são denominadas permitidas, ao passo que aquelas para as quaisH_mµ,nν⁰ = 0são ditasproibidas.

A teoria de representações de grupos pode fornecer informações acerca de quais transições são permitidas ou não. Para tanto, considera-se a ação da perturbação

H

⁰ sobre a autofunção do estado inicialψ⁽νⁿ⁾. Como

H

⁰ψν⁽ⁿ⁾continua sendo uma função pertencente ao espaço de Hilbert

H completo, o teorema5.8mostrou que a mesma pode ser decomposta em termos do conjunto completo de autofunções de

H

0 por

H

⁰ψ⁽_νⁿ⁾=^X m

X

µ

ψ⁽_µ^m)c(n, ν;m, µ),

sendo{c(n, ν;m, µ)} ∈_C constantes a ser determinadas. Como as autofunções

H

0 são ortonor-mais, estas constantes são formalmente dadas por

c(n, ν;m, µ) =^Dψ_µ^(m),

H

⁰ψ_ν^(n)E=H_mµ,nν⁰ . Ou seja,

H

⁰ψ_ν⁽ⁿ⁾=^X m X µ ψ⁽_µ^m)H_kκ,mµ⁰ .

208 5.9.Aplicações físicas da teoria de representações de grupo

O que mostra que a componente de

H

⁰ψν⁽ⁿ⁾ao longo da função de base ψκ^(k) é justamente deter-minada pela matriz de transiçãoH_kκ,nν⁰

Na linguagem da teoria de grupos, o resultado acima mostra que a transição nν → mµ so-mente é permitida se o vetor

H

⁰ψν⁽ⁿ⁾ possuir uma componente ao longo do estado final. Isto demonstra o teorema a seguir.

Teorema (Elemento da matriz de transição). Se a função

H

⁰ψν⁽ⁿ⁾ não contiver uma compo-nente que se transforma de acordo com aµ-ésima coluna da representação irredutívelΓ(m)(P0), o elemento de matriz

H_mµ,nν⁰ =^Dψ_µ^(m),

H

⁰ψ_ν^(n)E

deve ser nulo.

É necessário ressaltar aqui que ainda assim pode ocorrer que transições em princípio per-mitidas pelo teorema acima resultem com H_mµ,nν⁰ = 0, mas neste caso isto ocorre devido a circunstâncias particulares.

Para determinar se uma transição é permitida ou proibida de acordo com este teorema, o seguinte procedimento genérico é adotado. Lembrando que, por hipótese, P0 ⊂ P0, a função

ψ⁰ =

H

⁰ψν⁽ⁿ⁾ pode ser usada para gerar uma representação D^ˆ

H0ψ_ν⁽ⁿ⁾ do grupo de simetria P₀. Contudo, essa representação em geral será redutível, uma vez que ψ⁰ não é autofunção de

H

0, exceto nos (raros) casos em que

H

⁰,

H

0= 0.

A perturbação

H

⁰, de forma isolada, é suposta ser uma função das coordenadas ou um fun-cional das coordenadas. Neste caso, pode-se usar o mesmo para gerar uma representação D^ˆ0

de P0, também redutível em princípio. Além disso, a autofunção sobre a qual a perturbação atua pertence à representação irredutível Γ⁽ⁿ⁾(P0). Então, para se construir de forma gené-rica a representação à qual

H

⁰ψ⁽νⁿ⁾ pertence, sem possuir-se maiores detalhes acerca da forma de atuação da perturbação, pode-se empregar a técnica de construção de produtos diretos de representações, discutida na seção5.8.

A funçãoψ⁰ =

H

⁰ψ⁽νⁿ⁾, considerada como o “produto” da “função”

H

⁰ com a função ψ⁽νⁿ⁾, per-tence à representação

ˆ

D

H0ψν⁽ⁿ⁾ = ˆD⁰⊗Γ⁽ⁿ⁾(P0).

Esta representação de produto direto, por sua vez, pode ser decomposta nas irreps de P0, de acordo com (5.35a),

ˆ

D

H0ψ_ν⁽ⁿ⁾ = ˆD⁰⊗Γ⁽ⁿ⁾(P0) =^X n

anΓ⁽ⁿ⁾(P0).

Portanto, fica claro que se o produto direto D^ˆ0⊗Γ(n)(P0)não contiver nenhum componente na representaçãoΓ^(m)(i. e.,am= 0), então o elemento de matrizH_mµ,nν⁰ deve ser nulo.

Deve ser observado que esta é uma condiçãofraca; ou seja, para determinar se uma transição é proibida, basta verificar seam= 0. Contudo, o resultadoam6= 0não é suficiente para determi-nar se a transição é permitida; para tanto, é necessário verificar se

H

⁰ψ⁽νⁿ⁾ contém alguma parte que se transforma de acordo com aµ-ésima coluna deΓ(m).

Um outro procedimento semelhante ao acima e que irá fornecer a mesma conclusão é devido à seguinte propriedade da decomposição de produtos diretos de representações:

Propriedade 5.2. Dadas Γ(α) e Γ(β) duas representações irredutíveis não equivalentes de um

No documento ATEORIA DE REPRESENTAÇÃO é um ramo da matemática que estuda estruturas algébricas (páginas 53-60)