Uma série temporal pode ser definida como um conjunto de observações sequenciais ao longo do tempo. Morettin [2006] cita que um dos principais objetivos em estudá-las é poder realizar previsões de valores futuros da série, geralmente de curto prazo.
2.2. Séries temporais financeiras 9 rais: valores de temperatura ao longo do ano, valores diários de poluição, precipitação atmosférica em um local, registro de marés, registro de roubos de veículo em uma ci- dade, entre muitos outros. Pommeranzenbaum [2014] afirma que um grupo de séries que se destaca são as séries financeiras, geralmente compostas por cotações históricas de ativos da bolsa de valores. A Figura 2.1 ilustra uma série temporal financeira.
Figura 2.1. Exemplo de uma série temporal financeira: índice Ibovespa ao longo de 10 anos. Fonte Google [2019]
Mantegna & Stanley [2000] afirmam que a imprevisibilidade nas séries financei- ras é um conceito majoritariamente aceito. E segundo Oliveira & Ziegelmann [2010], um dos motivos é a não linearidade das séries devido à natureza especulativa. Os au- tores também destacam a influência de fatores externos responsáveis por aumentar o comportamento aleatório.
Segundo Taylor [2007], a análise estatística diretamente aplicada nos preços ori- ginais é difícil, pois preços consecutivos são altamente correlacionados e a variância no preço aumenta ao longo do tempo. Preços não são estacionários e consequentemente se torna mais conveniente a análise na variação do preço (retornos). Resultados ob-
tidos para os retornos podem ser facilmente usados para fornecer resultados no preço original.
É conhecido na literatura que essas séries de retornos apresentam características singulares, os chamados fatos estilizados, Cont [2001]. A seguir são descritos alguns dos fatos estilizados abordados no trabalho:
• Distribuição dos retornos: as distribuições de probabilidade não são normais. Elas possuem caudas pesadas, são simétricas e possuem um pico elevado maior que uma distribuição normal. Há um número significativo de valores extremos nas distribuições.
• Estacionariedade e heterocedasticidade nas séries: as séries de retornos podem ser consideradas estacionárias em relação a média, entretanto é conhecido que a variância não é estacionária ao longo do tempo.
• Ausência de correlação linear das séries: valores de correlação linear são insigni- ficantes para as séries de retornos.
• Correlação linear positiva das séries transformadas: ao analisar as transformações das séries em valores absolutos e elevados ao quadrado, são constatados valores significativos e positivos de correlação linear. Este fato sugere que existe uma dependência não linear nas séries de retornos.
• Agrupamento da volatilidade: ao analisar as séries é possível identificar períodos em que a volatilidade é alta. Nestes períodos, grandes alterações nos preços são percebidas consecutivamente. Esta característica está diretamente relacionada a dependência não linear das séries de retorno.
2.2.1
Passeio aleatório
A ideia de passeio aleatório sugere que os retornos dos preços das ações variam de uma maneira não previsível, em uma forma aleatória. Taylor [2007] afirma que existem diferentes definições para esta hipótese, sendo que uma delas assume que os retornos tenham distribuições idênticas e independentes (i.i.d). Entretanto, segundo o autor, a hipótese i.i.d. não é muito relevante em termos da previsibilidade dos retornos. Por esse motivo a definição adotada neste trabalho da hipótese de passeio aleatório é a mesma de Taylor [2007], sendo que os retornos possuem médias idênticas e distribuições não
2.2. Séries temporais financeiras 11 correlacionadas
E[rt] = E[rt+τ]
cov(rt, rt+τ) = 0,
(2.1) para todo t e τ > 0. Sendo o logaritmo do retorno financeiro igual a rt = log(pt) −
log(pt−1), em que pt corresponde ao preço do ativo no dia t, e rt+τ = log(pt+τ) −
log(pt+τ −1).
Ao longo do trabalho, tanto a hipótese das séries serem i.i.d.s, quanto a hipótese de passeio aleatório, são testadas com o objetivo de evidenciar possíveis dependências temporais nas séries.
2.2.2
Teste contra a hipótese de passeio aleatório: teste da
razão da variância
As comparações entre a variância dos retornos de um período com a soma de retornos de multi períodos é utilizada para testar a hipótese do passeio aleatório (HPA). Vá- rios testes tentam explorar quaisquer divergências desta predição, sendo um dos mais famosos o teste da razão da variância proposto por Lo & MacKinlay [1988]. O teste se baseia na seguinte propriedade: se a série de retornos financeiros segue um passeio aleatório, a variância da soma de retornos consecutivos deve ser igual a soma das va- riâncias individuais. Por exemplo, a variância de rt+ rt+1 deve ser igual a duas vezes
a variância de rt. Seguindo o mesmo desenvolvimento adotado em Taylor [2007], a
intuição por trás do teste é descrita a seguir.
Suponha que o processo gerador de retornos é estacionário (com média e variância constantes), com a variância do retorno de um período sendo igual V (1) = var(rt). A
variância da soma dos retornos de dois períodos consecutivos é igual a
V (2) = var(rt+ rt+1) = var(rt) + var(rt+1) + 2cov(rt, rt+1) = (2 + 2ρ1)V (1), (2.2)
com ρ1 sendo igual ao coeficiente de autocorrelação de primeira ordem dos retornos
{rt}. A razão da variância dos dois períodos é então definida como
V R(2) = V (2)
2V (1) = 1 + ρ1. (2.3) O termo da autocorrelação é zero quando HPA se aplica e então a razão da variância é igual a 1. Caso contrário, a hipótese de HPA é falsa e a razão pode ser tanto maior ou menor do que 1.
Considerando um período de N retornos, sendo N um inteiro maior ou igual a 2. Quando a hipótese de HPA é verdadeira,
V (N ) = var(rt+ rt+1+ ... + rt+N −1) = var(rt) + var(rt1) + ... + var(rt+N −1) = N V (1)
(2.4) e assim a variância é 1 para todo N
V R(N ) = V (N )
N V (1) = 1. (2.5) Quando a hipótese de HPA é falsa, V(N) é igual a N V (1) mais os termos de covariância entre todos os pares de retornos distintos, sendo assim
V (N ) = N V (1) + 2 N −1 X i=1 N X j=i+1 cov(rt+i−1, rt+j −1) (2.6) V (N ) = V (1)[N + 2 N −1 X i=1 N X j=i+1 ρj −i] (2.7) V R(N ) = 1 + 2 N N −1 X τ =1 (N − τ )ρτ. (2.8)
O teste empírico utiliza os retornos observados para decidir se a amostra estimada da razão da variância é compatível com a predição teórica sendo igual a 1. O teste rejeita a hipótese de HPA quando o valor da razão diverge de 1. Isto acontece quando uma função linear das (N − 1) primeiras autocorrelações
(N − 1)ρ1+ (N − 2)ρ2+ (N − 3)ρ3+ ... + 2ρN −2+ ρN −1, (2.9)
se distanciam de zero. Todos os coeficientes são positivos e eles diminuem à medida que o lag aumenta. Sendo assim, para um conjunto de n observações de retornos financeiros com média igual a ¯r e variância ˆV (1) = P (rt− ¯r)2/(n − 1), a estimativa de V (N )
pode ser definida da seguinte forma
ˆ V (N ) = n (n − N )(n − N + 1) n−N +1 X t=1 (rt+ rt+1+ ... + rt+N −1− N ¯r)2 (2.10)
2.3. Correlação de Pearson 13