O pensamento algébrico e o pensamento geométrico devem ser desenvolvidos desde o início do percurso escolar. O pensamento algébrico abrange toda a Matemática e envolve as capacidades de abstração, representação simbólica e generalização, bem como a exploração e modelação de situações com recurso à linguagem algébrica. O pensamento geométrico tem a ver com a forma como são estabelecidas habilidades e a compreensão geométricas. Dado que a Geometria tem como referenciais o raciocínio espacial e o seu conteúdo específico, é necessário compreender ambos os aspetos para promover o desenvolvimento do pensamento geométrico nos alunos. Os programas de Matemática apresentam orientações onde a Álgebra e a Geometria estão presentes ao longo dos vários anos do Ensino Básico e do Ensino Secundário. Os conteúdos e as metodologias de ensino propostas vão no sentido do desenvolvimento equilibrado e integrado destas duas formas de pensar matematicamente.
Em Portugal, a Geometria ganhou um novo ímpeto com o NPMEB, que dá enfase à visualização e à compreensão de propriedades de figuras geométricas, essenciais para o desenvolvimento do sentido espacial. O NPMEB salienta ainda que o trabalho em Geometria é de particular importância para o desenvolvimento da argumentação e do raciocínio matemáticos.
O pensamento álgebrico e o pensamento geométrico estão claramente presentes e em simbiose na Geometria Analítica. Esta carateriza-se pelo estudo da Geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da Álgebra e da Análise e contrasta com a abordagem sintética da Geometria Euclidiana, em que é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. A Geometria no Plano e no Espaço surge como Unidade Didática nos 10º e 11º anos, do programa de Matemática A e os seus conceitos são utilizados nou- tras unidades de aprendizagem, nomeadamente, Funções, Introdução ao Cálculo Diferencial, e Trigonometria e Números Complexos.
Por outro lado, a Geometria Analítica é o fundamento das áreas mais modernas da Geometria, incluindo Geometria Algébrica, Diferencial, Discreta e Computacional, sendo muito utilizada na Física e na Engenharia. Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões - Geometria Analítica no Plano. A Geometria Analítica ensinada nos programas escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito à definição e representação de formas geométricas de modo numérico e à extração de informação numérica dessa representação.
Capítulo 2
Seminários de investigação Matemática
2.1
Enquadramento dos temas
Os Seminários de investigação matemática I e II, elaborados durante este ano de Estágio, abor- dam problemas cuja resolução envolve a aplicação de conceitos algébricos e geométricos do 3º ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário.
A resolução de equações para demonstração ou obtenção de determinados resultados está pre- sente nos dois seminários, como caraterística intrínseca do ''fazer matemática''.
O Seminário I - Desafios Matemáticos nos Templos do Japão tem por base o artigoSangaku- Desafios Matemáticos nos Templos do Japão de Margarida Matias Pinto, publicado na revista A Gazeta da Matemática em 2011 [29]. Apesar de serem parte de uma história já por muitos esquecida ou até desconhecida, estes desafios matemáticos vindos dos templos do Japão consti- tuem um vasto rol de problemas que podem ser utilizados no ensino do currículo de Matemática dos dias de hoje.
O Seminário I enquadra-se nos princípios da Geometria Sintética/Euclidiana, uma vez que não são usados sistemas de coordenadas.
A resolução algébrica dos problemas apresentados neste seminário envolve os seguintes concei- tos matemáticos:
• Distância de um ponto a uma reta. 8º ano • Critérios de semelhança de triângulos. 8º ano • Critérios de congruência de triângulos. 8º ano • Casos notáveis da multiplicação. 8º ano • Teorema de Pitágoras. 8º, 9º ano
• Mediatriz de um segmento de reta. 9º ano • Bissetriz de um ângulo. 5º ano, 9º ano
• Reta tangente a uma circunferência. 5º ano, 9º ano • Circunferência inscrita num triângulo. 9º ano • Circunferência circunscrita a um triângulo. 9º ano • Trigonometria do triângulo retângulo. 9º ano • Racionalização do denominador. 10º ano • Equações de 1º grau. 7º ano
• Equações de 2º grau. 8º ano (eq. incompletas), 9º ano (eq. completas) • Fórmulas trigonométricas. 12º ano
O Seminário II - Álgebra e Geometria com Triângulos de Herão tem por base os artigos: ''Heron Triangles and Moduli Spaces''publicado na revista Mathematics Teacher em 2008 [33] e o artigo ''Heron Triangles and Elliptic Curves'' [39] do projeto Klein [46], cuja tradução foi efetuada por Elfrida Ralha e publicada na revista Gazeta da Matemática em 2010, com o nome''Os triângulos de Herão e as curvas elípticas''[31].
Um problema de congruência de triângulos colocado por um grupo de matemáticos americanos, do projecto Focus on Math [41], conduziu a uma investigação que envolve vários conceitos do currículo do 3º ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário. Geometria e Álgebra ajudam a responder à questão:
Triângulos com a mesma área e o mesmo perímetro são necessariamente congruentes?
O nome triângulos de Herão surge pelo facto dos investigadores utilizarem, como ponto de partida para o seu estudo, triângulos em que as medidas dos lados e a área são definidos por um número racional.
As construções geométricas elaboradas para dar vida a este estudo seguem os princípios da Geometria Analítica.
Ao longo deste trabalho foram aplicados os seguintes conceitos matemáticos do programa de Matemática do 3º ciclo do Ensino Básico [30] e do Ensino Secundário [13]:
• Critérios de semelhança de triângulos. 8º ano
• Equações (completas) do segundo grau e Fórmula Resolvente. 9º ano • Reta tangente a uma circunferência. 9º ano
• Bissetriz de um ângulo. 9º ano
• Circunferência inscrita num triângulo. 9º ano
• Razões trigonométricas no triângulo retângulo. 9º ano
• Relação entre seno, cosseno e tangente da amplitude de ângulos agudos. 9º ano • Continuidade de uma função em pontos não isolados do domínio. 12º ano • Corolário do Teorema de Bolzano. 12º ano
• Função derivada. 12º ano
• Função segunda derivada. 12º ano
• Estudo da derivada e segunda derivada de funções cúbicas. 12º ano • Estudo dos extremos de uma função. 12º ano
• Estudo do sentido da concavidade de uma função. 12º ano