A segmentação apresentada no artigo “Breast Skin-Line Estimation and Breast Segmentation in Mammograms using Fast-Marching Method” [11] tem o intuito de estimar a fronteira da mama na imagem de mamografia utilizando o método de marcha rápida ou Fast-Marching Method como base do algoritmo.
Antes de serem mostrados os passos utilizados para desenvolvimento do algoritmo é necessário, um pequeno resumo sobre o método matemático Fast Marching utilizado pelos autores. O princípio desse método é a propagação de uma região baseando-se na formulação do valor da borda, onde uma função tempo T associa a cada ponto do espaço ao instante em que a região atinge este ponto (x, y). A ideia do Fast Marching é que, partindo de uma região inicial, discretizada sobre uma grade, a função T vai sendo construída sobre os pontos da grade, à medida que a interface se propaga. Este método é formulado a partir da equação Eikonal que é uma equação diferencial parcial não linear encontrada principalmente nos problemas de propagação de ondas na forma abaixo:
║∇T║ = F com T(v) = 0; (35)
onde F controla a velocidade do avanço e v é o ponto inicial.
(a) (b)
Portanto, o Fast Marching é uma curva propagando-se na direção do seu gradiente (Figura 8) ao longo de uma região com uma determinada velocidade constante F, onde é definida a distância de um ponto qualquer da região com o tempo T em que a onda leva para atingi-lo. Assim, os autores utilizaram o valor da função velocidade igual a um (F=1), o que leva a distância em relação ao ponto inicial a ser monótona e crescente ao longo da função T, e as Informações do gradiente de Intensidade como critério de parada da evolução do envoltório.
Considerando uma fronteira (Figura 8), movendo-se para a direção normal, ou seja, de dentro para fora e se expandindo com uma velocidade conhecida constante. Esse método explora fortemente a ligação entre equações de fluidos computacionais em físicas e é comum seu uso para detecção de fronteiras de objetos a partir de um ponto semente ou de uma região semente que é dada manualmente ou estimada.
Figura 8 Curva fechada que separa uma região de outra. Essa curva se propaga com uma velocidade F na direção normal.
Para o desenvolvimento desse algoritmo e como proposto pelos autores do artigo, considerou-se o caso especial da superfície movendo-se a uma velocidade F(x,y)>0 e T(x,y) sendo o tempo no qual a superfície cruza um certo ponto (x,y). A função então satisfaz a equação:
║∇T║F = 1 (36)
Então, para aplicar o Fast Marching é necessário, segundo o autor, resolver a equação para T(x,y). Como as imagens de mamografias possuem duas dimensões, o autor chegou a uma solução aproximada para a Equação 35:
[max(Di,j-xT,Di,j+xT,0)2 + max(Di,j-yT,Di,j+yT,0)2 ]1/2 = 1/Fi,j (37)
Para uma imagem dada com valores de intensidades I(x,y), os autores afirmam que frequentemente a função velocidade F(x,y) é definida como uma função decrescente baseada no gradiente local da imagem ║∇I(x,y)║. Portanto, as principais formas usadas para se encontrar a função velocidade F(x,y) são:
F(x,y) = 1+ 𝛼|∇(𝐺1
𝜎∗𝐼(𝑥,𝑦))| , 𝛼 > 0 (38)
e
F(x,y) = 𝑒−𝛼|∇(𝐺𝜎∗𝐼(𝑥,𝑦))|, 𝛼 > 0 (39)
onde 𝛼 é uma constante e a expressão 𝐺𝜎*I(x,y) denota a imagem convoluída com um filtro Gaussiano de suavização no qual 𝜎 é o desvio padrão. O termo ∇(𝐺𝜎∗ 𝐼(𝑥, 𝑦)) é zero exceto onde o gradiente da imagem muda rapidamente. Assim a função velocidade F(x,y) é muito próximo de 1 longe da fronteira imagem e zero próximo à mesma onde o gradiente muda rapidamente.
Em síntese, o Fast Marching Algorithm pode ser brevemente resumido como uma pequena região da imagem, muitas vezes um ponto semente, que cresce para fora em direção de sua normal e para na fronteira da imagem a ser segmentada, onde sua velocidade F se torna zero.
Imagens de mamografias em tons de cinza apresentam muito baixo contraste. Especialmente, próximo da região da borda da mama onde o contraste cai a um nível extremamente baixo e, portanto, é muito difícil distinguir os pontos de fronteira que separam área do tecido mamário do plano de fundo.
Isto é atribuído ao fato que o tecido mamário na zona da borda é menos denso em comparação com outros tecidos vizinhos e à falta de compressão uniforme sobre o tecido mamário pelo sistema de aquisição de imagem mamografia. Além disso, a área da borda do estroma, dentro da margem do limite da mama, e algumas outras regiões internas apresentam valores mais elevados das intensidades dos gradientes do que a região da fronteira do seio.
Por isso, o método de Fast Marching finaliza sua evolução da envoltória em alguns pontos internos que possuem intensidade mais elevadas, enquanto envolve mais rápido outras regiões com menor gradiente. Isto provoca um problema de aumento indesejado de fronteira e inutiliza informação da intensidade do gradiente por si só como único critério de parada para estimar com precisão a fronteira.
Diante do exposto, características adicionais da imagem devem ser incorporadas com a informação da intensidade do gradiente baseado na função de velocidade F. Assume-se, portanto, de acordo com os autores, a distribuição de Gauss para valores de intensidade dentro da
região do peito, e a Equação 40 para cálculo da probabilidade de intensidade entre a região do peito e outros pixels da imagem.
P(x,y) = 1
√2𝜋𝜎exp(−
(𝐼(𝑥,𝑦)−𝜇)2
2𝜎2 ) (40)
onde I(x,y) é o valor da intensidade de cada pixel no ponto (x,y), 𝜇 e 𝜎 representam a média e o desvio padrão dos valores das intensidades dos pixels dentro da região do peito, respectivamente. Os valores da média e do desvio padrão são estimados usando os pixels dentro da região semente inicial definida para o uso do método Fast Marching.
De acordo com a distribuição Gaussiana, pixels com valores de intensidades próximos do valor médio apresentará uma alta probabilidade de pertencer à região do peito. Assim o cálculo dos valores das probabilidades de intensidades pode ser usado para distinguir pixels entre a região de interesse (mama) e o plano de fundo (background). Então, pela proposta dos autores, a função de portabilidade é combinada com a função gradiente de intensidade baseado na função velocidade para formar uma nova função velocidade dada por:
Fnova = F(x,y)*P(x,y) (41)
Sendo assim, a nova função da velocidade apresentada na Equação 41 é baseada no valor da probabilidade de intensidade e na informação da intensidade do gradiente visando uma melhor estimativa da fronteira do seio na imagem.
Outra característica adicional foi adicionada pelos autores, uma vez que o método Fast Marching não gera bons resultadoos com imagens de baixo contraste e imagens com muitos ruídos. Essa nova característica é necessária para que a envoltória calculada pelo método Fast Marching pare o mais próximo possível da fronteira de interesse. Portanto, um ponto final precisa ser definido para assegurar a parada de crescimento da envoltória na linha da borda.
O algoritmo proposto em [11] foi desenvolvido especificamente para segmentação da área do tecido do peito e estimativa com precisão da borda da mama. Este algoritmo consiste principalmente em três fases, pré-processamento, segmentação (estimativa da fronteira) e, finalmente, pós-processamento.
O passo do pré-processamento é utilizado para reduzir o ruído e remover artefatos externos, tais como etiquetas de identificação, marcadores e cunhas da mamografia e para melhorar a área homogeneidade da imagem de entrada (Figura 9a). Os algoritmos de suavização Gaussianos e operadores morfológicos dos artigos em [12][13] são utilizados neste caso. Em
seguida o método de Fast Marching é aplicado na imagem para obter segmentação do tecido mamário e a estimativa da fronteira do seio. Finalmente, uma operação morfológica é usada para remover pixels espúrios da borda e obter uma estimativa mais suavizada da mesma.
Artefatos externos, em especial colocados próximos da fronteira do seio interferem na precisão da estimativa da borda da mama resultado da segmentação. Por isso, atributos morfológicos baseados nos algoritmo de supressão de artefatos [14] foram usados para removê- los do fundo da imagem das mamografias (Figura 9b). Pela proposta dos autores, esses atributos morfológicos não necessitam de um elemento estruturante pré-definido, tais como disco, quadrado, hexagonal, etc, como um operador morfológico padrão.
O atributo morfológico é uma boa solução para o problema de remoção de artefatos indesejados de uma imagem sem danificar a forma original do objeto analisado. Atribuir operadores morfológicos, como por exemplo, o area-opening pode ajudar na remoção de pequenos artefatos. Este operador pode ser visto como um transformador com um elemento estruturante que localmente adota a forma da estrutura da imagem, e, portanto, tem boa capacidade de filtragem preservando as formas originais.
Em resumo, o area-opening é uma erosão seguida de uma dilatação que são dois operadores morfológicos fundamentais para o processamento de imagem. A erosão é uma operação de diminuição ou afinamento dos objetos definida como:
A E = {z |(𝐸)𝑧 ⊆ A} (42)
Essa equação indica que a erosão de A por E é o conjunto de todos os pontos de z de forma que E, transladado por z, está contido em A. Como a afirmação de que E tem que estar contida em A é equivalente dizer que E nao tem elementos comuns com o fundo, pode-se expressar a erosão na seguinte forma equivalente:
A E = {z |(𝐸)𝑧 ∩ 𝐴𝑐 ≠ ∅} (43)
Em outras palavras, o pixel p da imagem que corresponde ao ponto central do elemento estruturante será ativado se o elemento estruturante estiver inteiramente contido na imagem original, caso contrário, será marcado como irrelevante.
Na dilatação, a imagem tem seus objetos “aumentados” ou “engrossados”. A forma especifica e a extensão desse espessamento são controlados pelo elemento estruturante definido como um elemendo com forma definida que irá percorrer os pixels da imagem, realizando operações de conjunto equivalente ao núcleo de convolução dos filtros lineares.
Por definição, a dilatação de uma imagem A por um elemento estruturante E é tida como:
A E = {z |Ê𝑍 ∩ A ≠ ∅} (44)
Essa equação baseia-se na reflexão de E em torno de sua origem, seguida da translação dessa reflexão por z. A dilatação de A por E é, então, o conjunto de todos os deslocamentos, z, de forma que E e A se sobreponham pelo menos por um elemento. Com base nessa interpretação, é possível definir a dilatação mais coerentemente como:
A E = {z |[(Ê)𝑧 ∩ A] ⊆ A} (45)
Assim, o elemento estruturante desliza sobre a imagem, se houver alguma interseção do elemento estruturante com a imagem, o pixel p da imagem correspondente ao ponto central do elemento estruturante será ativado, caso contrário será marcado como irrelevante.
Dilatação e erosão são usualmente empregadas em pares: a dilatação de uma imagem seguida de uma erosão da imagem dilatada ou uma erosão seguida da dilatação da imagem erodida. Em ambos os casos, o resultado da aplicação sucessiva de operações de dilatação e erosão é a eliminação de detalhes específicos da imagem menores que o elemento estruturante, sem uma distorção geométrica de detalhes.
Depois de retirar os artefatos externos da imagem de mamografia, mais uma vez, é proposto pelos autores a utilização do operador de atributo morfológico denominado de Alternating Sequencial Filter (ASF), ou seja, um area closing seguido por area opening (Figura 9c), para melhorar a homogeneidade entre regiões vizinhas na mamografia, aumentando a área de cada "Flat Zone", que na morfologia matemática, são regiões ligadas com intensidades constantes [15], mas diminuindo a quantidade total delas presente na imagem. Este filtro é muito bom para filtrar os impulsos de ruídos luminosos e escuros enquanto preserva a estrutura desejada da imagem [15] melhorando, assim, a precisão, estimativa e robustez do algoritmo.
Em seguida, é aplicado na imagem de mamografia pré-processada, o método Fast Marching. Porém, antes de executar o Fast Marching na imagem, é necessário definir uma região semente inicial no interior da mama e um ponto final na fronteira do seio, evitando assim, o efeito de aumento indesejado de fronteira. Em seguida, o algoritmo começa a “crescer” da região inicial até que atinja o limite desejado no ponto final.
Uma vez que o contraste é muito baixo perto da região da borda do seio, como já citado, a função da velocidade F usada no algoritmo do Fast Marching deve ser altamente sensível aos valores de gradiente de intensidade perto da região limite da mama. Portanto, a Equação 41 é
utilizada como o componente do gradiente de intensidade da função de velocidade e o valor de𝛼 foi considerado 1 por sugestão dos autores do artigo. Em seguida, os parâmetros 𝜇 e 𝜎 são calculados usando os valores da intensidade dos pontos escolhidos como região inicial semente.
Outro fato importante é a escolha do ponto final na fronteira da mama. Uma vez que o ruído é elevado nas partes superiores e inferiores das imagens de mamografias, estas regiões podem se tornar fronteiras indesejadas. Assim, foi selecionado o primeiro ponto luminoso superior da borda da mama como ponto final para aumentar a precisão das estimativas finais.
Depois de obtida a estimativa da linha da borda do seio, os filtros morfológicos (area closing seguido pelo area opening com um "disco" de raio 8 pixels como elemento estruturante [16]) são aplicados para suprimir as inconsistências na estimação da fronteira da mama (Figura 9d). Geralmente, as partes inferiores e superiores das mamografias contêm ruídos além do baixo contraste no contorno do peito e isso pode, por vezes, introduzir artefatos indesejáveis na parte inferior e superior da fronteira estimada e na área da região da mama segmentada. Então, novamente, operadores morfológicos (ASF) são utilizados como proposta dos autores, para remover pequenos artefatos falso-positivos e falso-negativos da imagem segmentada.
Após a aplicação dos operadores morfológicos, obtém-se a imagem final (Figura 9e) segmentada a partir do algoritmo proposto em [11]. Um ponto negativo deste algoritmo é a necessidade para o envolvimento da seleção de uma região inicial de semente e um ponto final na aresta da mama. No entanto, este algoritmo é capaz de extrair o mamilo da mamografia quando está disponível no perfil. A partir dos resultados experimentais é possivel concluir que este algoritmo é robusto com respeito a diferentes densidades de tecido mamário.
A combinação de informação de intensidade com informações do gradiente apliacado a função velocidade de marcha rápida e introduzindo a restrição de ponto final para garantir que a fronteira se expande dentro a região pretendida e pare quando o limite do ponto final for atingido. Ao analisar os resultados obtidos a partir desta metodologia e as características da marcha rápida foi possivel concluir que, na maioria dos casos, a segmentação foi consideradasatisfatória, uma vez que a linha de borda preencheu toda a mama.
O método de avaliação proposto pelo autor baseia-se na comparação da imagem mamografia segmentada com o correspondente padrão ouro da imagem. Em seguida, medidas quantitativas derivadas são usadas para avaliar a precisão da segmentação do algoritmo. Ele sugere o método mais comum para avaliar o desempenho do algoritmo proposto, ou seja, assumindo a região segmentada como uma máscara e “casando-a” como o padrão ouro correspondente para calculos estatisticos de erros de estimação de fronteiras. No entanto, essa avaliação não foi possível por não se possuir um padrão ouro das imagens segmentadas. O esquema completo de desenvolvimento dessa proposta é apresentado na Figura 10.
Figura 9 (a) Imagem de entrada, (b) Supressão de Artefatos, (c) ASF aplicado no pré-processamento, (d) ASF aplicado no pós-processamento (e) Imagem final segmentada.
(e)