Segunda etapa: treinamento e adapta¸c˜ ao

O algoritmo construtivo consiste na modifica¸c˜ao da estrutura gerada na etapa de inici- aliza¸c˜ao. Estas modifica¸c˜oes s˜ao executadas durante o processo de aprendizado, mediante a aplica¸c˜ao de operadores de adi¸c˜ao e de elimina¸c˜ao de regras nebulosas em conjunto com o algoritmo EM. Previamente ao aprendizado da estrutura, ´e necess´ario definir crit´erios de adi¸c˜ao e de poda, baseados em condi¸c˜oes desejadas ou pr´e-definidas. Quando o modelo atual n˜ao satisfaz as condi¸c˜oes desejadas, ent˜ao a estrutura do modelo ´e modificada, seja gerando novas regras ou eliminando regras existentes como parte da estrutura do modelo. No caso

em que uma das regras que comp˜oem a estrutura atual do modelo n˜ao ´e mais relevante, esta ´e eliminada da estrutura. Assim, o novo modelo ´e atualizado e re-ajustado aplicando uma seq¨uˆencia de passos EM, tendo sempre em considera¸c˜ao as restri¸c˜oes e condi¸c˜oes definidas para os parˆametros atrav´es das Equa¸c˜oes (5.5)-(5.8).

Os crit´erios para a aplica¸c˜ao dos operadores de adi¸c˜ao e de poda de regras nebulosas s˜ao descritos a seguir.

5.2.2.1 Gera¸c˜ao de uma nova regra o adi¸c˜ao

O crit´erio definido para a gera¸c˜ao de uma nova regra nebulosa ´e chamado crit´erio do antecedente, pois este tem como objetivo alocar os dados de entrada em regi˜oes ativas de- finidas para as regras nebulosas. Dado que cada uma das M parti¸c˜oes ´e representada pelo antecedente de cada uma das M regras nebulosas, o crit´erio ´e a princ´ıpio orientado `a gera¸c˜ao ´otima dos antecedentes destas regras.

O crit´erio do antecedente avalia a capacidade de cada regra nebulosa gerar cada um dos dados de entrada e assim, cobrir de forma adequada o espa¸co de entrada definido pelos dados apresentados. Isto ´e, cada dado de entrada deve ser gerado por uma das regras locais com uma probabilidade m´ınima superior a um limiar pr´e-definido. Isto implica na localiza¸c˜ao do dado de entrada na regi˜ao ativa da regra nebulosa.

Seja Rk

i∗ a regra que fornece o maior grau de pertinˆencia para xk, i∗ ∈ {1, 2, . . . , M}, k =

1, 2, . . . , N. Considerando que os dados seguem uma distribui¸c˜ao normal e dado o n´ıvel de

confian¸ca de γ%, pode-se construir o intervalo de confian¸ca [ci−zγ

p

diag(Vi), ci+zγ

p

diag(Vi)],

no qual ci ´e o centro e diag(Vi) ´e a diagonal principal da matriz Vi. Neste trabalho, foi

considerado um n´ıvel de confian¸ca γ = 72, 86%, tal que P(−zγ < Z < zγ) = 72, 86%, com

Z _{∼ N(0, 1), como ilustra a Figura 5.}

Assim, a probabilidade de xk

ativar a i−´esima regra (ver Equa¸c˜ao (4.4)) deve ser superior a 0, 1357, de acordo com a tabela de distribui¸c˜ao normal. Ou seja:

P[ i∗ _{| x}k ] > 0, 1357 (5.9) com: i∗= arg max i ³ P[ i_{| x}k ]´ i=1,...,M (5.10)

ci+ zγ p diag(Vi) ci− zγ p diag(Vi) xk γ%

Da tabela de distribui¸c˜ao normal: γ = 72, 86%

zγ = 1, 1

P(i_|x )

Se NΩ >0⇒ Nova regra

0, 1357= (1− 0, 7286)/2

Figura 5: Condi¸c˜ao para gerar uma nova regra nebulosa.

Se a condi¸c˜ao definida pela Equa¸c˜ao (5.9) n˜ao for satisfeita por um ou mais dados do conjunto de treinamento, significa que estes dados possuem uma probabilidade de pertencer a alguma regi˜ao ativa coberta pela base de regras, inferior ao desejado. Denotando por Ω o conjunto contendo todos os dados entrada-sa´ıda que n˜ao satisfazem a Equa¸c˜ao (5.9), uma nova regra ser´a inserida `a estrutura do sistema, ou seja:

M = M + 1 (5.11)

A nova regra com regi˜ao de ativa¸c˜ao tem por objetivo incluir os dados ainda n˜ao con- siderados pelas regras j´a existentes, de tal forma que a parti¸c˜ao do espa¸co de entrada seja otimizada, obtendo assim um novo ´otimo local por meio do re-ajuste do modelo. Desta maneira, o centro da nova regra ´e inicialmente estimada como:

c_M+1 = 1

Nng

X

t∈Ω

x(t) (5.12)

sendo NΩ o n´umero de dados [xt yt] em Ω. Al´em disso, os demais parˆametros da nova regra

nebulosa s˜ao inicializados como segue:

• σM+1 = 1, 0;

• θM+1 = [¯y 0 . . . 0], onde ¯y ´e calculado como o valor m´edio das sa´ıdas desejadas perten-

centes ao conjunto Ω.

• Vi = 10−4I, onde Ip×p ´e a matriz identidade;

• αi = 1/(M).

Ap´os a inser¸c˜ao da nova regra, a estrutura do sistema ´e re-ajustada durante algumas

itera¸c˜oes EM. Como αi indica a relevˆancia de cada regra nebulosa, a sua re-inicializa¸c˜ao ´e

necess´aria para que todas as regras tenham o mesmo peso, fazendo com que o ajuste dos parˆametros seja n˜ao-tendencioso, obtendo assim, uma nova parti¸c˜ao do espa¸co de entrada. A

re-inicializa¸c˜ao de Vi ´e necess´aria j´a que o processo de re-ajuste definir´a novos valores de dis-

pers˜ao para cada regra nebulosa, de acordo com a nova parti¸c˜ao gerada, ou seja, considerando neste processo a nova regra inserida na estrutura do modelo.

5.2.2.2 Elimina¸c˜ao ou poda

Os parˆametros αi, i = 1, . . . , M podem ser considerados como uma medida indireta da

importˆancia ou relevˆancia de cada regra nebulosa para a arquitetura atual do modelo de s´erie temporal, com rela¸c˜ao as outras regras, isto devido `a condi¸c˜ao de unicidade definida no

Capitulo 4, Equa¸c˜ao (4.3), e a defini¸c˜ao de αi dada pela Equa¸c˜ao (5.5).

Como ´e observado, αi ´e proporcional `a soma de todas as estimativas a posteriori hk_i dos

graus de pertinˆencia de todo o conjunto de treinamento. Portanto, quanto mais cada regra ´e

ativada, maior ser´a o respectivo valor de αi.

Esta caracter´ıstica ´e de grande utilidade para a sele¸c˜ao de regras a serem eliminadas. Se existe a necessidade de eliminar alguma regra ou modelo local, um poss´ıvel candidato ser´a

aquele com o menor valor de αi. O valor m´ınimo ou limiar para αi ´e denotado por αmin, de

tal forma que, se

αi < αmin (5.13)

ent˜ao a i−´esima regra nebulosa ser´a eliminada da estrutura atual do modelo, sendo αmin

definido pelo usu´ario via tentativa e erro.

Ap´os a elimina¸c˜ao de uma regra, o C-FSM ´e re-ajustado por algumas itera¸c˜oes EM utilizando as Equa¸c˜oes (5.5)–(5.8) at´e atingir a convergˆencia. Ou seja, at´e a fun¸c˜ao de

verossimilhan¸ca atingir um m´aximo local ou um m´aximo n´umero de itera¸c˜oes previamente

definido.

A utiliza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca como fun¸c˜ao objetivo, em conjunto com o algoritmo EM ´e de interesse neste trabalho, j´a que este n˜ao s´o trata do erro quadr´atico

m´edio, mas tamb´em da variˆancia do erro, aumentando assim, as possibilidades de obter melhores resultados.

Ambos os operadores, de adi¸c˜ao e de elimina¸c˜ao de regras nebulosas ser˜ao tamb´em apli- cados na estrat´egia de aprendizado online a ser descrito no pr´oximo cap´ıtulo.

A primeira etapa de inicializa¸c˜ao descrita para esta abordagem de aprendizado offline ´e necess´aria, j´a que, o algoritmo EM ´e sens´ıvel `a inicializa¸c˜ao. Como o algoritmo de aprendizado construtivo offline ´e baseado nas Equa¸c˜oes (5.5)-(5.8), as quais s˜ao derivadas do algoritmo de otimiza¸c˜ao EM, uma boa inicializa¸c˜ao aumentar´a as possibilidades de obter modelos eficientes no final do aprendizado construtivo. Assim, o algoritmo de aprendizado construtivo pode ser resumido de acordo com os passo seguinte:

Algoritmo 5 APRENDIZADO CONSTRUTIVO OFFLINE

Seja N o n´umero de dados entrada-sa´ıda que comp˜oem o conjunto de treinamento.

Definir αmin.

Passo 1. Inicializa¸c˜ao do modelo C-FSM:

• Passo 1.1 Definir uma estrutura inicial para o modelo, composto por M = M0 regras

nebulosas.

• Passo 1.2 Ajustar os parˆametros utilizando o algoritmo EM tradicional utilizando

o conjunto de treinamento previamente definido. Passo 2. Aprendizado:

• Passo 2.1 Adi¸c˜ao: Verificar a necessidade de uma nova regra utilizando o crit´erio

definido pela Equa¸c˜ao (5.9). Caso seja necess´ario, gerar nova regra e re-ajustar os parˆametros do modelo utilizando o algoritmo EM tradicional.

• Passo 2.2 Puni¸c˜ao: Verificar a relevˆancia de cada uma das regras. Eliminar da

estrutura do modelo as regras que satisfa¸cam o crit´erio de poda definido pela Equa¸c˜ao (5.13). Re-ajustar os parˆametros do modelo utilizando o algoritmo EM tradicional.

• Passo 2.3 Verificar o crit´erio de parada (ou por n´umero m´aximo de itera¸c˜oes ou por

erro m´ınimo atingido). Se o crit´erio de parada for satisfeito, para o processo. Caso contr´ario, voltar para o passo 2.1.