No dia 16/05/2014, ocorreu o segundo encontro; estiveram presentes 13 duplas, o pesquisador iniciou retomando os principais resultados atingidos no encontro anterior.
Neste encontro, foi realizada a atividade 3 cujo objetivo é iniciar a introdução, ainda que de maneira intuitiva, de procedimentos que poderão conduzir ao conceito de partição de um intervalo e encaminhar para o cálculo de soma de Riemann.
A atividade apresenta duas situações para o cálculo de área de retângulos, na busca de uma aproximação do valor da velocidade de um móvel em um intervalo de tempo, cujo gráfico é dado. A parte I apresenta o referido gráfico com uma partição do intervalo em quatro subintervalos e a parte II, com oito. As duas partes são compostas por questões, num total de vinte e duas.
Destacamos as respostas das questões que consideramos mais relevantes para nossa análise.
A questão 1 (parte I) e a questão 10 (parte II) encerram a mesma ideia. As questões têm como enunciados:
1) Qual a variação do tempo nos intervalos [0,2]; [2,4]; [4,6]; [6,8]?
10) Qual a variação do tempo nos intervalos [0,1]; [1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]?
Com essas questões, o objetivo é que as duplas consigam perceber que em cada intervalo, a variação do tempo é igual e que o intervalo de tempo de 0 a 8 foi subdividido em quatro (na parte I) e em oito (na parte II). O conhecimento matemático necessário para a resolução da questão é o de partição de um intervalo.
Observamos as duplas conseguiram perceber que a variação do tempo é a mesma em cada intervalo. Mas nenhuma delas conseguiu perceber que estavam realizando uma partição de um intervalo. Apresentamos o protocolo de uma delas:
A questão 2 (parte I) e a questão 11 (parte II) tratam da mesma situação, variando apenas quanto à partição do intervalo. Seus enunciados são:
2) Como você representaria essas variações?
11) Como você representaria essas variações?
Observamos, conforme o esperado, que todas as três duplas criaram uma representação para essa variação. Apresentamos a produção desenvolvida pela dupla DF:
Figura 24: Produção da dupla DL, para as questões 1 (parte I) e 10 (parte II)
Fonte: Autor 2014.
Figura 25: Produção da dupla DF, para as questões 2 (parte I) e 11 (parte II)
Na socialização da sua resposta no quadro, essa dupla relatou como pensou na sua resposta.
DF: Como a questão é de física, me lembrei que na física representamos a variação do tempo dessa forma.
Observamos esses estudantes mobilizaram conceitos estudados na Física para responder a essa questão. Também percebemos que a componente intuitiva estava presente nas respostas das três duplas.
As questões 5 (parte I) e 13 (parte II) têm como enunciados:
5) Que distância total percorreu o objeto, usando a estimativa inferior?
13) Que distância total percorreu o objeto, usando a estimativa inferior?
O objetivo é usar o cálculo de área de retângulos para determinar a distância total por meio da estimativa inferior. Esperávamos que as duplas mobilizassem os conhecimentos já adquiridos nas atividades anteriores.
Ilustramos com as respostas dadas por duas duplas
Observamos que a dupla DF mobilizou conhecimentos já adquiridos
nessa atividade que é o caso da representação de intervalo, bem como nas atividades anteriores que é o caso do cálculo de área e o da soma de áreas. Já a
Figura 26: Produção da dupla DF
dupla DP assim como a DL mobilizaram conhecimento de atividades anteriores
que foi o cálculo de área e soma de áreas para determinar a distância total.
Nas questões 6 (parte I) e 14 (parte II) era solicitado:
6) Que distância total percorreu o objeto, usando a estimativa superior?
14) Que distância total percorreu o objeto, usando a estimativa superior?
O objetivo é usar o cálculo de áreas de retângulos para determinar a distância total por meio da estimativa superior. Esperávamos que as duplas mobilizassem os conhecimentos já adquiridos nas atividades anteriores.
A seguir transcrevemos duas respostas apresentadas:
Figura 27: Produção da dupla DP
Fonte: Autor 2014.
Figura 28: Produção da dupla DF
Observamos que a dupla DF mobilizou conhecimento já adquirido
nessa atividade que é o caso da representação de intervalo, bem como nas atividades anteriores que é o caso do cálculo de área e o da soma de áreas. Já as duplas DP e DL mobilizaram conhecimento de atividades anteriores que foi o
cálculo de área e a soma de áreas para determinar a distância total.
De modo geral, nas questões 5 (parte I) e 13 (parte II) e nas questões 6 (parte I) e 14 (parte II) foi mobilizado o conhecimento de questões e de atividades anteriores em suas respostas. Podemos, também, observar que prevaleceram nas suas soluções apresentadas a componente formal e a componente algorítmico.
As questões 17 e 19 da parte II têm como enunciado:
17) O que você acha que vai acontecer com a distância total (estimativa inferior), se a variação do tempo for ainda menor em relação as que foram trabalhadas? Justifique sua resposta.
19) O que você acha que vai acontecer com a distância total (estimativa superior), se a variação do tempo for ainda menor em relação as que foram trabalhadas? Justifique sua resposta.
O objetivo é verificar se as duplas por meio da análise dos dados da distância total conseguem perceber que a distância total (estimativa inferior)
Figura 29: Produção da dupla DP
aumenta e a distância total (estimativa superior) diminui à medida que a variação do tempo for ainda menor.
Expomos a seguir as respostas de duas duplas.
No protocolo desta dupla, percebemos que na justificativa da questão 17 a dupla errou em sua resposta, mas na questão 19 sua justificativa já foi coerente com aquilo que se pedia.
Na socialização da sua resposta no quadro, a mesma dupla relatou como pensou a sua resposta da questão 17.
DF: Como a distância total (usando a estimativa inferior) é sempre menor quando comparamos com a distância total (usando a estimativa superior), chegamos à conclusão que ela irá diminuir.
Observamos uma generalização do componente intuitivo, levando ao erro a sua resposta.
Figura 30: Produção da dupla DF
Observamos que as duplas DP, assim com a DL, em suas respostas,
mobilizaram o conhecimento intuitivo de limite no momento que usaram as palavras “tende” e “aproxima-se”. Lira (2008) sustenta que o conceito de limite engloba muito mais que a definição. Ele envolve mecanismos cognitivos, que exercitamos desde criança tais como vizinhança, ordem, envolvimento e o contínuo. As produções dessas duplas ‘confiram’ o pensamento de Lira. Percebemos, assim, que o componente intuitivo está presente em suas respostas.
A questão 22 da parte II pedia:
O que você acha que vai acontecer com a diferença entre a estimativa superior e a inferior, se a variação do tempo for ainda menor em relação as que foram trabalhadas? Justifique sua resposta.
Figura 31: Produção da dupla DP
Fonte: Autor 2014.
Figura 32: Produção da dupla DL.
O objetivo era verificar se os estudantes conseguem perceber que a diferença entre a estimativa superior e a inferior é cada vez menor à medida que a variação do tempo for ainda menor. Apresentamos as produções desenvolvidas pelas duplas:
Figura 34: Produção da dupla DF
Fonte: Autor 2014.
Figura 33: Produção da dupla DP
Observamos que as três duplas atenderam ao objetivo da questão. A dupla DL mostra que essa diferença de estimativa depende da variação do tempo,
quanto menor essa variação do tempo, menor a diferença entre as estimativas. Isto mostrou que a dupla mobilizou uma ideia intuitiva de limite.
Por meio dessa atividade e da socialização das soluções no quadro, percebemos que as duplas conseguiram mobilizar alguns elementos já trabalhados nas atividades anteriores e nas atuais para responder as suas questões, como, por exemplo: cálculo de área, somatória de áreas, ideia intuitiva de limite, isto é, elementos que são essenciais para a introdução do conceito de Integral.
Percebemos um avanço na comparação do primeiro encontro para o segundo. Os alunos, em sua maioria, mostraram-se muito mais motivados e participantes durante a realização da atividade. Isto reforça o que Onuchic (1999) e Pinto (2010) dizem a respeito da metodologia de ensino-aprendizagem de matemática por meio da Resolução de Problemas: Ela contribui para a criação de um ambiente de aprendizagem propício para o desenvolvimento das atividades, deixando os alunos usarem as suas próprias ideias e não simplesmente seguir diretrizes, bem como passarem a acredita em suas próprias habilidades.
Figura 35: Produção da dupla DL