Seja V a sucessão que dá volume de cada um dos cubos por etapa e n

n T

V a

sucessão do volume total. Escreve o seu termo geral de cada uma. Estude a monotonia e o limite de cada uma das sucessões.

Anexo 21

A tarefa 3 é uma continuação da tarefa 2, no entanto, agora é pedido aos alunos que façam um raciocínio análogo ao realizado na tarefa 2, mas, agora para um quadrado unitário e para o cubo de aresta cm1 .

A realização da tarefa será em grupos de quatro a cinco elementos cada.

A tarefa é constituída por 15 questões, algumas de resposta directa e outras onde se pede ao aluno que retire conclusões sobre o processo apresentado, tanto para o plano como para o espaço.

A tarefa está divida em dois momentos, ou seja, o primeiro momento estende-se da questão 1 à questão 9 e o segundo momento da questão 10 à questão 15. Após os alunos realizarem as questões referentes ao primeiro momento será feito uma exposição à turma das suas conclusões, só após esta exposição os alunos responderão às questões do segundo momento. No final da tarefa será feito um debate de ideias às quais os alunos chegaram durante a resolução da ficha de trabalho.

Esta tarefa pode ser realizada por alunos do 3º ciclo do ensino básico, podendo estes responder da questão 1 à questão 6, e da questão 10 à 14. Estas questões podem ser colocadas a alunos do 7º ano de escolaridade, quando se está leccionando o tema:

Sequências e Regularidades. Um dos objectivos deste tema é que os alunos saibam

identificar os termos de uma sequência e qual a ordem desse termo. Os alunos devem conseguir, também, escrever o seu termo geral. A forma como se processa a construção do conjunto de Cantor é um bom exemplo para o aluno identificar facilmente os termos de uma sequência e a sua ordem, a qual os alunos devem associar ao número de iteração.

Tanto a questão 1 como a questão 2, 3 e 4, são questões de resposta aberta, pois com base no preenchimento da tabela, o aluno consegue determinar os valores pedidos.

Na questão 5 os alunos deverão observar que existe semelhança entre os quadrados, pois à medida que se aumenta o número de iterações a razão de semelhança vai-se mantendo, ou seja, os quadrados que se obtêm são uma redução de razão,

3 1 =

r ,

dos quadrados da iteração anterior.

Na questão 7 os alunos deverão escrever o termo geral das sucessões identificadas, uma sucessão por coluna.

Neste momento faz-se uma pausa na resolução da tarefa e cada um dos grupos apresentará as suas respostas e conclusões à restante turma. Sempre que o professor ache necessário poderá colocar questões aos grupos quando estes estão a expor as suas

Anexo 22

conclusões. Depois de terminar o debate fazer-se-á uma síntese sobre os conteúdos leccionados.

No referente aos conteúdos leccionados no 8º ano de escolaridade, o professor pode aplicar a tarefa quando leccionar os temas: Sequências e Regularidades,

Números Racionais e Sólidos Geométricos. No entanto, um dos temas já havia sido

leccionado no ano transacto – Sequências e Regularidades, o qual os alunos ainda terão presente nas suas mentes. O aluno pode resolver as questões referentes ao cálculo de áreas e aos volumes, pois o cálculos da área de um quadrado e o volume de um cubo é um dos conteúdos matemáticos que o aluno aprende no 2º ciclo de ensino básico. O único tema que é novo para o aluno é as operações com os Números Racionais, que com o novo Programa da Matemática passou a ser leccionado no 8º ano de escolaridade. Após o primeiro debate, onde os alunos apresentaram as suas conclusões, estes podem continuar a realização da tarefa. Para isso devem fazer um raciocínio análogo ao realizado para as questões 2, 3, 4 e 5, mas agora para o cubo.

A tarefa O conjunto de Cantor, o Plano e o Espaço, na sua totalidade, pode ser introduzida no ensino secundário no 11º ano, pois só neste ano de escolaridade é leccionado o tema Sucessões. Trata-se de uma tarefa que servirá de introdução ao tema Sucessões, pois, esta começa por pedir ao alunos que preencham uma tabela e que com base nesses dados respondam às questões seguintes. Para o aluno conseguir responder a algumas desta questões, bastará recordar alguns conteúdos aprendidos no 3º ciclo do ensino básico – Sequências e Regularidades, Números Racionais e Sólidos

Geométricos leccionados no 7º, 8º e 9º ano de escolaridade. O aluno recordará

conceitos, tais como: termos de uma sequência, ordem do termo, termo geral. No entanto, o aluno deverá associar a ordem do termo com o número de iteração que corresponde ao número da etapa de construção do conjunto de Cantor.

A novidade para o aluno será o estudo da monotonia e verificar se uma sucessão é limitada ou não. Estes dois conceitos são abordados pela primeira vez neste ano de escolaridade. Quanto à monotonia, quando o aluno preenche a tabela, facilmente observa que tanto na segunda coluna como na quarta e na quinta coluna os valores estão a decrescer, logo temos aí uma sucessão decrescente, já a terceira coluna é a única em que os valores estão a crescer, assim sendo, o aluno pode concluir que esta sucessão é crescente.

Com base na observação da tabela o aluno conclui que os valores que estão na segunda, na quarta e na quinta coluna estão a decrescer, pode, por isso especular qual

Anexo 23

será o valor mínimo atingido ou para onde tende a sucessão. O mesmo se passará para a terceira coluna, no entanto, agora especulará qual será o valor máximo atingido ou para onde tende a sucessão.

Quando é pedido ao aluno que determine o termo geral da sucessão nas questões 6 e 15, este verifica que qualquer uma destas sucessões é uma progressão geométrica. Como todas as sucessões presentes nesta tarefa são progressões geométricas, esta tarefa é uma boa forma de introduzir o conceito de progressão geométrica, onde o aluno facilmente determina a razão dessas progressões geométricas.

Anexo 24