SEMÂNTICA PARA DL

3. SEMÂNTICA PARA DL

Nesta se_{ção será desenvolvida uma semânti}ca para o c_{álculo DL. A semântica} utilizada _{é no estilo de Henkin, que se mostrou eficaz no tratamento de} outras l_ógicas paraconsistentes.

Defini_{ção 4 –} Conjunto das conseq_{üências lógicas e}m DL.

Cn(_) = {_ LDL: _├DL _} onde LDL _{é o conjunto de todas a}s f_{órmulas de DL} e _ um conjunto de f_{órmulas de DL}.

Defini_{ção 5} - _{é dito trivial se Cn(}) = LDL; do contr_{ário é chamado não}-trivial. _ é dito inconsistente em Dl, se existir pelo menos uma f_{órmula } tal que _, _{¬ } Cn (_); em caso contr_{ário,  é dito} consistente. _{ é maximal não}-trivial se for n_ão-trivial e n_{ão estiver} contido propriamente em nenhum conjunto n_ão-trivial. _{é dito ¬}-incompleto se houver pelo menos uma f_{órmula }, tal que n_{ão ocorre ├}DL _ e nem ocorre _├DL _¬ em caso contr_ário é ¬-completo.

Iremos agora apresentar algumas propriedades dos conjuntos maximais n_ão-triviais a partir do seguinte teorema:

Teorema12 - Se _ for maximal n_ão-trivial em DL e _ e _ forem f_órmulas quaisquer, ent_ão: (utilizando-se _ e _ como abrevia_{ções metalin}guisticas para implica_ção e equival_ência).

35 12.1 _├DL _{}  ~_; ~_{}  ou ~_ 4 _├DL _{} , _{°¬}; _¬, _{°}; e _, _{¬°} , _{}  ou _  e _  ou _ 10 _{°, °} (_)_{°, (})_{°, (})_{°, (¬})_{° }; _{° °° } °¬, ~_ ~_¬ 12.12 _{¬°} ~(_¬) _ ou _{¬}

Demonstra_ção: Faremos a demonstra_{ção para} os itens 12.1, 12.2 e 12.3. Semelhante à demonstração para o caso clássico, pois os conectivos acima descritos possuem as mesmas propriedades dos conectivos cl_ássicos.

Demonstra_ção 12.1. A parte _ obt_ém-se facilmente, pois para as f_órmulas em DL valem os seguintes resultados:

12.1.1{_}_├DL _ (reflexividade)

36 12.1.3 Se _├DL _, e se e para toda _, _├DL _, ent_{ão ├}DL _ (corte)

12.1.4 Se _, ent_{ão ├}DL _ (autodedutibilidade) A volta _{é imediata.}

Demonstra_ção12.2- _ ~_; ~_{}

Suponha-se que _ e que ~_. Ent_{ão por 1, ├}DL _ e _├DL ~_e, portanto _

├DL _ ~_, o que _{é um absurdo.}

Demonstra_ção12.3: Suponha que _{ } e ~_{ }. Como _{ é} maximal n_ão-trivial, temos que _ {_} _├DL _ ~_ e _ {~_} _├DL _ ~_. Logo, _├DL _ (_ ~_) e _├DL ~_ (_{ } ~_). Utilizando-se da prova por casos, temos que _{ ├}DL ((_ ~_) _ (_{ } ~_)). Mas, como _ ~_{é válida}, obtemos _├DL _ ~_, que _{é uma contradição} forte.

Observe que nossa metalinguagem _{é clássica}. Introduz-se a no_{ção crucial de} valora_{ção da seguinte maneira:}

Defini_{ção 6}- Uma valora_ção v para os axiomas de DL _{é uma função v: } {0,1} tal que:

6.1 v(_) = 1 _ v(_) =0 ou v(_) = 1 6.2 v(_) = 1 _ v(_) = v(_) = 1 6.3 v(_) = 1 _ v(_) =1 ou v(_) = 1

37 6.4 v (_¬()) = 1 _ v(_¬) = 1 ou v(_¬) = 1 6.5 v (_¬()) = 1 _ v(_¬) = 1 = v(_¬) = 1 6.6 v(_{º) = v(º) = 1 } v((_)_{º) = v((})_{º) = v((})_{º) = v((¬})_{º) = 1} 6.7 v(_{º) = 1 } v(_{ºº) = 1} 6.8 v(_{º) = 1 } v((_{¬¬ }) = 1 6.9 v(_) = v(_¬) _ v(_º) = 0 6.10 v(_) _{≠ v(¬}) _ v(_{¬º) = 0}

Teorema 13 - (Propriedades fundamentais das valora_{ções) Se v é uma} DL-valora_ção, ent_{ão temos:}

13.1 v(_) = 1 _ v(~_) = 0 13.2 v(_╒) = 0 13.3 v(_╔) = 1 13.4 v(_{º) = 1 } v(_) = 1 ou v( _¬) = 1 13.5 v(_{º) = 1 } v(_) = 0 ou v( _¬) = 0 13.6 v(_{º) = v(º) } v(_) = v(_¬) =1 13.7 v(_{º) = 1 } v(_{¬¬}) = 1 13.8 v(_{º) = 1 } v(_¬) = v(~_ ~(_¬)) = 1 13.9 v(_{¬º) = 1 } v(_¬) = 0 ou v(_¬) = 1

A demonstra_{ção dessas propriedades é imediata}. Definiremos algumas no_ções sem_ânticas tradicionais para DL.

38 Defini_{ção 7 –} Uma valora_{ção v é dita singular se existir pelo menos uma fórmula } tal que v(_) = v(_¬), do contr_{ário v é chamada normal}.

Defini_{ção 8 –} Uma f_{órmula dada é válida} se v(_) = 1 para toda valora_{ção v. Um}a valora_{ção v é um} modelo de um conjunto de f_{órmulas }, se v(_) = 1 para toda f_{órmula } tal que _{ }. Se v(_) = 1 para todo modelo v de _, podemos dizer que _{é uma} conseq_üência sem_{ântica de }, e escrevemos: _{ ╞ }. Como de costume ╞  é abreviado como ╞ , e significa que _{é válida.}

Mostraremos que DL _{é consistente e completa com respeito} sem_{ântica de} valora_ções.

Teorema 14 - Se _├DL _ ent_ão╞ DL  (Teorema da Corre_ção)

Demonstra_{ção. Análoga ao caso clássico.}

Teorema 15 (Lindenbaum) _– Todo conjunto de f_{órmulas não}-trivial est_{á contido em} um conjunto maximal n_{ão trivial.}

Demonstra_{ção –} Como no caso cl_ássico.

Corol_ário 15.1- Existem conjuntos de f_{órmulas não}-triviais maximais inconsistentes.

Demonstra_ção: _{É fácil de se verificar que} {p, _¬p} onde p _{é uma variável} proposicional _{é inconsistente, mas é não}-trivial.

39 Corol_ário 15.2- Existem conjuntos de f_{órmulas não}-triviais maximais _¬-incompletos.

Demonstra_ção: {~p, ~(_¬p)}, onde p _{é uma variável} proposicional: _é f_{ácil de} ver que esse conjunto _{é ¬}-incompleto e n_{ão trivial.}

Teorema 16 _– Todo conjunto de f_{órmulas maximal não}-trivial tem modelo. Portanto, a fun_{ção característica de um conjunto maximal não trivial é uma valoração.}

Demonstra_ção:- Seja _ um conjunto de f_{órmulas maximal não}-trivial. Definimos uma fun_{ção v’:} LDL _ {0,1} da seguinte maneira: v_’() = 1 _ e (v_’() = 0 _). Ë f_{ácil de} se mostrar que v_{’ é uma} DL-valora_ção.

Corol_ário 16.1 _– Existem valora_{ções singulares e valorações normais. Existem} valora_{ções normais (e singulares) que são ¬}-incompletas, isto _{é, aquelas que para pelo meno}s uma f_{órmula } se obt_{ém v(}) = v(_¬) = 0.

Demonstra_ção - Imediata em raz_{ão dos corolários} acima e do teorema 15.

Teorema 17 - _{╞├}DL _

Demonstra_ção: An_{áloga a do cálculo proposicional clássico}.

40 Demonstra_ção: Imediata pelos teoremas 14 e 17

Corol_ário 17.2- _├DL _╞

Demonstra_ção: Imediata a partir do corol_ário 17.1 acima.

Teorema 18 - Existem conjuntos de f_{órmulas inconsistentes (¬}-incompletos) que possuem modelos. Um conjunto de f_{órmulas possui um modelo} se e somente se n_{ão for} trivial.

Demonstra_ção: Imediata face os teoremas 15 e 16 e seus corol_ários.

Nossa sem_{ântica é uma generalização da utilizada em C}0 e torna claro os significados de ~ e _{¬. Em tal semântica} de valora_ções para DL, todas as proposi_ções s_ão ou verdadeiras ou falsas, mas n_ão s_ão proposi_{ções simultaneamente verdadeiras e falsas}.

Defini_{ção 9 –} Se k _{é um número natural maior do que 0, então ¬}^k ser_{á uma} abrevia_{ção de } precedida por k ocorr_{ências de sí}mbolos _¬.

Os lemas seguintes s_ão facilmente demonstr_áveis

41



DL _¬^k p _ p para todo k  1

Lema 9.2 _– Em DL temos:



¬^k p _¬ⁱp, onde p _{é uma variável proposicional e k e} i s_{ão dois números natur}ais diferentes e maiores do que 0.

A defini_{ção de valoração nos permite definir o valor de ¬} independente do valor atribu_{ído a }. Em qualquer caso podemos fazer o valor de _¬^k p diferente do de _¬ⁱp.

A Matriz caracter_ística de DL define-se como nas l_ógicas polivalentes.

Teorema 19 - DL n_{ão possui matriz característica finita.}

Dem. Pelos lemas 9.1 e 9.2 _{é impossível em DL a redução de negações}. Se houvesse uma matriz com i valores e a seq_{üência ¬}¹ p, _¬²p, _¬³p,.... _¬ⁱp, _¬ⁱ⁺¹p, com arranjos com repeti_{ção s}empre ocorrer_{á pelo menos um valor repetido, o que acarretará em algum dos} esquemas de redu_{ção de negação, o que contradiz os lemas} precedentes.

Teorema 20 - Em DL, a f_órmula



(_¬) _{¬(¬}). Demonstra_ção: Basta aplicar a sem_ântica de valora_ções.

42 No artigo de McGill e Parry os princ_{ípios da contradição e do terceiro excluído eram} equivalentes; portanto, a l_{ógica DL afasta}-se nesse tocante do projeto dos autores citados.

Algumas f_{órmulas semelhantes à}s f_{órmulas d}o teorema 20 s_{ão válidas, como} evidencia o teorema a seguir:

Teorema 21 - Em DL, temos:

21.1 _{├ ¬(¬}) _ (_{¬¬¬}) 21.2 _{├ ¬(¬}) _ (_{¬¬¬} 21.3_{├¬} ~(~_ ~(_¬)) 21.4 _├ ~(_¬) _ (~_ ~(_¬))

Demonstra_ção: Em cada caso o teorema _{é válido por aplicações diretas das leis de De} Morgan, que foram postulados para a nega_{ção fraca ¬, e valem para a negação forte ~ devido} a seu car_{áter clássico}, conforme os axiomas 11 e 12.

Do ponto de vista sem_ântico os seguintes casos ocorrem:

I- _ verdadeira e _¬ falsa II- _ falsa e _¬ verdadeira III- _ e _¬ ambas verdadeiras IV- _ e _¬ ambas falsas

43 Teorema 22 _– (E. H. Alves) DL _{é decidível.}

Elias Alves obteve sucesso construindo um processo de decis_{ão para DL. Os detalhes} ser_{ão descritos mais t}arde. O m_{étodo de decisão utiliza a semântica} de valora_ções proposta acima. Para cada f_{órmula de DL, construímos tabelas, chamadas quase}-matrizes, de acordo com um procedimento recursivo.

Uma f_{órmula é um teorema de DL se, e somente se, em toda quasi}-matriz para _, a _{última coluna contenha apenas o valor 1.}

Para se construir uma quase-matriz para a f_{órmula }, o m_étodo geral _{é o seguinte:}

I- Em uma linha, fa_{ça uma lista de todas as subfórmulas que ocorrem em } e algumas outras f_{órmulas, conforme abaixo} descrito:

i- Primeiro escreva todas as f_{órmulas atômicas que ocorrem em } ii- Depois, escreva todas as nega_{ções dessas fórmulas atômicas.}

iii- Escreva as outras subf_{órmulas de }, incluindo, se ainda n_{ão foram, as outras} f_{órmulas, de tal forma que:}

1. _{¬é escrita} antes de _º na tabela.

44 3. _¬, _¬, _{°e °são escritas antes de ¬(}).

°e °são escritas antes de ()_{°, (})_{°, e (})_° 5. _{°é escrito antes de (¬})_º

6. Uma f_{órmula pode ser escri}ta somente se suas subf_{órmulas próprias já} foram escritas.

II- Sobre a lista de f_{órmulas atômicas, insira em linhas sucessivas todas as} combina_{ções possíveis de 0 e 1 que podem ser atribuídas a estas fórmulas.}

III- Abaixo de cada nega_{ção de uma fórmula a}t_{ômica, bifurque cada linha,} escrevendo na primeira parte 0 para a nega_{ção e na segunda parte, 1.} Toda vez que houver uma bifurca_{ção deve se proceder como acima descrito}; isto significa que os valores s_{ão os} mesmos para as duas linhas novas na parte esquerda delas.

IV- Calcule para a constru_{ção da lista, para cada linha}, o valor de cada f_órmula conforme a seguir:

i- Quando n_{ão aparecerem nem fórmulas do tipo ° nem negações, faça como} numa tabela de verdade do c_{álculo proposicional clássico.}

ii- Se qualquer das f_{órmulas em análise for uma negação, e, portanto, da forma} ¬, proceda da seguinte forma:

45 1. Se _{ é da forma º, verifique se o valor de é igual ao valor de} ¬. Se isto ocorrer, bifurque a linha. Se o valor de _{ é diferente} do valor de _¬, escreva simplesmente 0.

2. Se _{ é da forma ¬}, verifique se o valor de _{é igual ao valor de} ¬. Se isto ocorrer, bifurque a linha. Se o valor de _{ é diferente} do valor de _¬, verifique se o valor de _{° é 0 ou 1. Se for 0,} bifurque a linha. Se for 1, escreva simplesmente o mesmo valor de _.

3. Se _{é da forma }, verifique se o valor de _{é igual ao valor} de _¬, ou se o valor de _{ é igual ao valor de ¬}. Se isto ocorrer, bifurque a linha. Se o valor de _{ é diferente do valor de ¬}, e o valor de _{ é diferente do valor de ¬}, verifique se o valor de _° ou de _{° é 0. Se} isso ocorrer, bifurque a linha. Se _° e _° possu_{írem o valor 1,} ent_ão escreva 0 se _ possuir o valor 1 e vice-versa.

4. Se _{é da forma }, escreva 0 se _¬ possuir o valor 0, ou se _¬ possuir o valor 0. Do contr_{ário, escreva 1.}

5. Se _{é da forma }, escreva 0 se _¬ possuir o valor 0, ou se _¬ possuir o valor 0. Do contr_{ário, escreva 1.}

46 iii- Se qualquer uma das f_{órmulas em análise for da forma º, verifique se o valor} de _{ é igual ao valor de ¬}. Se isto acontecer, escreva 0 debaixo de _{º. Do} contr_{ário faça conforme a seguir:}

1. Se _ for uma f_{órmula atômica, bifurque a linha.}

2. Se _{é da forma ¬}, verifique se o valor de _{° é igual a 1. Se isto} ocorrer, escreva 1 debaixo de _{°. Se ° tiver o valor 0, bifurque a} linha.

3. Se _ for da forma _ , _{ } ou _{ }, verifique se os valores de _° e _{° é} 1. Se for o caso, escreva 1 debaixo de _{°. Se,} ao contr_{ário, o valor de ° e o valor de ° for 0, então bifurque a} linha.

4. Se _ for da forma _{°, escreva debaixo de ° o me}smo valor de _º.

Este m_{étodo de decisão, apesar de ser monótono e mecânico como todos os métodos} de decis_{ão, possui a virtude de ser uma generalização do método de tabelas de verdade da} l_{ógica clássica.}

47 Vejamos a aplica_{ção em} duas f_órmulas em DL:

p _{p p  p  p p (p  p)} 0 0 0 1 1 1 ^{0 0 0} 1 1 1 1 ⁰ 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 p q p q p p pp (pp)q (pp)q)(pp) (((pp)q)(pp))p 0 0 0 0 0 ⁰ 0 1 1 ⁰ 1 1 1 1 ⁰ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 ⁰ 0 1 1 ⁰ 1 1 1 1 ⁰ 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 ⁰ 0 1 0 1 0 1 1 1 0 ⁰ 1 0 1 ⁰ 1 1 1 1 0 0 ⁰ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ⁰ 1 1 1 ⁰ 1 1

48

4. A LÓGICA DL^Q

Nesta se_{ção estende}-se DL a uma l_{ógica de predicados de p}rimeira ordem.

Apresentaremos a formaliza_{ção de DL}^Q e alguns metateoremas.

DL^Q possui os seguintes s_{ímbolos primitivos:}

1. Os conectivos _, _, _,_¬ e _º

2. Os quantificadores _ (para todo) e _ (existe)

3. Vari_{áveis individuais: um conjunto infinitamente enumerável de variáveis} individuais que n_{ão especificar}emos.

4. Tr_{ês conjunto}s disjuntos e n_{ão vazios, ’, ’ e ’, contendo símbolos de} predicados constantes de qualquer rank n, 0 < n < _ù

5. Para cada n, 0 < n < _{ù, um conjunto infinito enumerável de variáveis de} predicado de rank n.

6. Par_ênteses

49 As no_{ções sintáticas, por exemplo}: de f_órmula, de demonstra_ção, de dedu_ção e o s_{ímbolo ├}DL^Q , s_{ão introduzid}os como de costume. As letras _, _ e _, com ou sem subscrito, ser_{ão empregadas como variáveis} metaling_üísticas para f_{órmulas; x} ,y e z, com ou sem subscrito denotar_{ão variáveis individuais; a, b e c são variáveis para constantes individuais; t} denota um termo qualquer.

O s_{ímbolo de equivalência é introduzido como habitual}

DL^Q_{é uma extensão de DL, portanto} assumimos os postulados de DL. Para obtermos DL^Q adicionamos os seguintes esquemas e regras, que est_{ão sujeitos às restrições apresentadas} em Kleene [54]. Seja x uma vari_{ável qualquer em DL, }(x) uma f_{órmula qualquer de DL e t e} x vari_áveis, e _(t) o resultado da substitui_{ção de ocorrências livres de x em }(x) por t.

A18- _(x) x_ (x) A19- _x(_(x) _(y) A20- _(x) _ x_(x) A21- _(x) _ x(_(x) _ A22- _x (_(x))_° (_x_(x))_º A23- _x (_(x))_° (_x_(x))_º

50 Defini_ção 1. (Congru_ência). Duas f_{órmulas } e _ s_{ão congruentes se possuírem o} mesmo n_{úmero k de símbolos e para cada} n = 1,...,k se o i-_{ésimo símbolo de } n_{ão for uma} vari_{ável, en}t_{ão o i}-_{ésimo símbolo de } ser_{á o mesmo símbolo. Se o i}-_{ésimo símbolo é uma} ocorr_{ência li}vre de uma vari_{ável, então o i}-_{ésimo símbolo de  é uma ocor}r_{ência livre da} mesma vari_ável. Se o i-_{ésimo símbolo de } for uma ocorr_{ência de uma variável ligada pelo} j-ésimo quantificador de  ent_{ão, o i}-_{ésimo símbolo de } ser_{á uma ocorrência de uma variável,} n_{ão necessariamente a mesma variável, ligada pelo j}-_{ésimo quantificador.} Exemplos dessa defini_{ção de congruência podem ser obtidos para o cálculo clássico em Kle}ene [54]

Teorema 1 - Todos os esquemas e regras da l_{ógica de predicados positiva clássica} s_{ão válidos em DL}^Q.

Demonstra_ção: Consequ_{ência dos axiomas de DL}^Q.

Teorema 2 _– Sejam _, _, C e C onde C_{é uma fórmula com a ocorrência da} f_{órmula }somente com os operadores _, _, _,_{¬ e º}, e C_o _é resultado da substitui_{ção des}sa ocorr_{ência por }ent_ão temos:

2.1 Se uma ocorr_{ência de } em C_ n_{ão está no escopo de um}a ocorr_{ência de ¬ ou de} º, então: ├^x1...xn C  C

51  Se os componentes primos de _, _ e _ forem 1,2...k, ent_{ão: 1º, 2º,} ..._{kº, ├} ^x1...xn C_{ } C_

Demonstra_ção: Como em Kleene [54], os postulados de DL^Q foram selecionados em parte para que este teorema seja v_álido.

Teorema 3 - Seja _ {_} um conjunto de f_{órmulas de DL}^Q, no qual _° n_{ão ocorre, e} cujos componentes primos s_ão 1, 2,...n. Ent_{ão  ├ } vale no c_álculo de predicados cl_{ássico se e somente se }, _{1º, 2º, ...n° ├} DL^Q _ .

Teorema 4- DL^Q_{é indecidível.}

Demonstra_ção: Conseq_{üência imediat}a do teorema 3 e do resultado de Church da indecidibilidade do c_{álculo clássico de predicados.}

Podemos, de forma _{óbvia, introduzir a negação forte ~ em DL}^Q da mesma forma como fizemos em DL.

Defini_ção 2 _– (de uma nega_{ção “}cl_ássica” ou forte) ~_ =def _╒

Defini_ção 3-

52 Ent_{ão o corolário do teorema 7 também é generalizado} o c_álculo DL com quantificadores, DL^Q.

Teorema 5- Em DL^Q, os s_{ímbolos }, _, _, ~, _ e _ satisfazem todos os postulados do c_{álculo de predicados clássico. Em particular, os s}eguintes s_{ão teoremas:}

5.1 _├DL^Q (_) _ ((_ ~_) _ ~_ 5.2 _├DL^Q ~_ 5. 3. _├DL^Q ~_ (_) 5.4. _├DL^Q ~~_ 5.5 _├DL^Qx_(x) _ ~_x~_(x) 5.6 _├DL^Qx_(x) _ ~_x~_(x) 5.7. _├DL^Qx_y_{ }y_x_

5.8. _├DL^Qx_y_(x,y) _z_(z,z) sendo x,y e z livres em _ 5.9. _├DL^Q_z_(z,z) _x_y_(x,y) sendo x,y e z livres em _ 5.10. _├DL^Q ~_x_y_x_y_z~_

Defini_{ção 4 –} (k-transformadas) Introduziremos a defini_{ção de k}-transformadas de uma f_{órmula }onde k _{é um número} entre 1,2,...,n Isto _{é, símbol}os constantes em correspond_{ência com números naturais 1,2,...},n. Por hip_{ótese, estes símbolos não pertencem} à linguagem de DL e DL^Q

53 Caso 1. Se _n_{ão contém variáveis livres, sua k}-transformada _{é obtida da seguinte} maneira: cada parte de _da forma _x_(x) ou da forma _x_(x) _é substitu_ída respectivamente por _{}n_ou por _{}n_Sendo assim, cada k-transformada n_{ão possui variáveis individuais}

Caso 2. Se _cont_{ém variáveis livres, ou seja, se é }x1,...,xm), ent_ão sua k-transformada _{é obtida da seguinte forma:}

i- Substituem-se as vari_{áveis x}1,...,xm por permuta_{ções de 1,2,...,k por} repeti_{ções de ordem k.}

ii- Ent_{ão, obtemos as k}-transformadas do f_{órmula resultante da substituição acima} (i)

Essa defini_{ção é útil pa}ra se provar um resultado referente ao conceito de extens_ão conservativa.

Teorema 6- Se _{ ├ } em DL^Q, ent_{ão qualquer k}-transformada de _ pode ser deduzida, em DL, a partir das k-transformadas de f_{órmulas de }.

Demonstra_ção: Similar ao caso cl_{ássico, mas considerando}-se o fato de que os componentes proposicionais primos de f_{órmulas de} DL^Q sejam s_{ímbolos de predicados de} rank n, seguidos por n ocorr_{ências de símbolos (numerais)} ou termos 1,2,3...,k 0< n <_ù.

Teorema 7 _– DL^Q_{é extensão conservativa de DL, ou seja, esquemas} proposicionais n_ão-v_{álidos em DL não são válidos em DL}^Q.

54 Demonstra_ção: Face o caso cl_ássico.

Pelo Teorema 7, note-se que os seguintes esquemas n_{ão são válidos em DL}^Q :

(_¬) _ (_¬) _¬ ¬ (_)  (_¬) ¬ (_¬)  (_{¬¬}) (_) _ (_{¬¬}) ¬¬ ¬(¬) ¬

No entanto, DL^Q tamb_ém se desvia do c_{álculo de predicados clássico em alguns} teoremas envolvendo quantificadores.

Teorema 8 _– Em DL^Q, os seguintes esquemas n_{ão são válidos:}

¬x_¬(X) _x_(x) ¬x_¬(X) _x_(x)

55 Demonstra_ção: Atrav_{és das} k-transformadas dos esquemas acima e da aplica_{ção do} teorema 7.

Para DL^Q pode-se tamb_{ém formular uma semâ}ntica de valora_{ções análoga a de DL.} Isto pode ser feito de diversas maneiras, como por exemplo:

a- Recorrendo-se ao conjunto de constantes de DL^Q, supondo-se que esse conjunto seja infinito e enumer_ável

b- Considerando-se apenas as senten_{ças de DL}^Q e sua estrutura dedutiva;

c- Utilizando-se um conjunto extra que far_{á o papel de domínio de interpretação} (ver, por exemplo, Arruda, da Costa [10])

56

5. SEMÂNTICA DE DL^Q

A sem_{ântica apresentad}a inicia-se com a defini_{ção de uma interpretação para a} linguagem de DL^Q.

Uma senten_{ça é uma fórmula sem variáveis livres (individuais).} Convenciona-se que  e _ sempre denotar_{ão um conjunto de sentenças e uma sentença, respectivamente.}

Defini_ção 13- Seja _ um conjunto n_ão vazio. Uma interpreta_{ção de DL}^Q _{é um} par _{I =} <_, p>, onde _{é um conjunto não vazio e p é} uma fun_ção, tal que, associa um elemento p(c) de _ a cada constante individual da linguagem de DL^Q e a cada predicado n-_{ário P}, associa uma rela_ção n-_ária em _.

Se _{I é uma interpretação para DL}^Q, ent_{ão para cada elemento de }, escolhemos uma constante individual c o nome do elemento. Essa nova linguagem DL^Q_{ é denominada} linguagem diagrama de DL^Q relativa a _I seguindo o apresentado por Shoenfield [70].

Uma valora_{ção de DL}^Q em _, tendo a fun_{ção p} como sua base, _é uma fun_{ção v do} conjunto das senten_ças de DL^Q_ em {0,1}, tal que:

1. v satisfaz as condi_{ções d}as valora_ções de DL;

57 3. v(_x_(x)) = 1. Para alguma constante individual c de DL^Q_, v(_(c)) = 1

4. v(_x(_(x))_{º) = 1 } v(_x(_(x))_{º) = v(}x(_(x))_{º) = 1}

5. Se _ e _ forem f_órmulas congruentes, ent_{ão v(}) = v(_);

6. Para cada constante individual de DL^Q_, a e b, se p(a) = p(b), ent_{ão v(}(a)) = v (_(b)).

Defini_ção - A valora_{ção v satisfaz uma sentença} de DL^Q_ se v(_) = 1

Defini_ção - Suponha que _{ } {_} seja um conjunto de senten_{ças de DL}^Q e que v _é uma valora_{ção qualquer; v é dita um modelo de } se para todo elemento de _ de _, v(_) = 1. é chamada uma consequência semântica de , se todo modelo v de _ for tal que v(_) =1. Neste caso escrevemos _╞. Se _ = _ escrevemos _╞, e _é dita v_álida.

A prova da corre_{ção de} DL^Q_{é imediata.}

Teorema 9 _– Em DL^Q : _├DL^Q╞

Demonstra_ção: Por indu_{ção no comprimento da dedução de } a partir de _.

Para a prova da completude, que _{é semelhante ao caso clássico, introduzimos as} seguintes defini_ções:

58 Defini_ção 3 - _{é trivial se para cada sentença }de DL^Q, _├DL^Q _, do contr_{ário é} n_ão-trivial. _{é dita inconsistente se existir uma sentença } tal que _{ ├}DL^Q _ e _├ DL^Q _¬ do contr_{ário é consistente.}

Defini_ção 4- _{ é ¬}-incompleta se existir uma senten_{ça } tal que





DL^Q_ e _



DL^Q¬ do contr_{ário é chamada ¬}-completa.

Defini_{ção 5}- _{ é maximal não}-trivial se for n_{ão trivial e não está contida} propriamente em qualquer conjunto n_ão-trivial.

Defini_ção 6 - _{ é chamado um conjunto de Henkin, se para cada fórmula }(x) tendo x como _{única variável livre, existir uma constante individu}al c (de DL^Q), tal que:

├DL^Qx_(x) _(c).

Teorema 10- Se _ for um conjunto de Henkin n_ão-trivial, ele est_{á contido em um} conjunto de Henkin maximal n_ão-trivial.

Demonstra_ção: Similar ao c_álculo cl_ássico.

59 11.1 _ possui todas as propriedades de um conjunto maximal n_ão-trivial de DL;

11.2 _x_(x) _, para toda constante individual c de DL^Q, _(c) _.

11.3 _x_(x) _, existe uma constante individual c de DL^Q, tal que _(c) _.

11.4 Se _ e _ forem f_órmulas congruentes como no axioma 24, ent_{ão }.

Demonstra_ção: Similar ao caso cl_ássico.

Teorema 12- Todo conjunto de Henkin n_ão-trivial (consistente ou inconsistente; _¬ -incompleto ou _¬-completo) tem modelo.

Demonstra_ção - An_{álogo ao} provado para DL.

Corol_ário12.1- Todo conjunto n_ão-trivial de senten_{ças de DL}^Q tem um modelo.

Temos o suficiente para a prova da completude

Teorema 13- Em DL^Q temos: _├DL^Q╞

Demonstra_ção: An_{álogo ao} caso cl_ássico.

60 Demonstra_ção: Pela aplica_{ção dos Teoremas 9 e 13}

Como na teoria dos modelos para o caso cl_{ássico, alguns resultados usuais da teoria} dos modelos podem ser estendidos para DL^Q

.

Por exemplo, o teorema de L_öwenheim-Skolem para toda _ enumer_ável, em DL^Q:

Se _ tem um modelo, ent_{ão } tem um modelo infinito enumer_ável.

Tais resultados s_{ão obviamente de interesse técnico.} Eles indicam aplica_{ções futuras} de DL^Q. Importante observar que nossa sem_{ântica é uma generalização da semântica clássica,} em particular, o esquema T de Tarski¹ permanece v_álido.

Teorema 14- DL^Q _{é consistente e não}-trivial.

Conseq_{üência do teorema 6 e do fato de DL ser consistente e não}-trivial

Conclu_{ímos com isso o capítulo mostrando que o cálculo DL pode ser estendido} para primeira ordem tornando-o mais interessante no _{âmbito técnico, bem como se} posicionando como ferramenta para aplica_{ções. O cálculo DL} ^Q pode ainda ser estendido para um c_{álculo de predicados com igualdade} e para um c_{álculo de predicados de segunda ord}em.

1

O esquema de Tarski foi desenvolvido como uma definição de verdade para linguagens formalizadas

61

6. A LÓGICA DL-DEÔNTICA.

A l_{ógica clássica ao sofrer alterações ou supressões em seus princípios básicos de} car_{áter sintáticos ou semânticos propiciou o surgimento de lógicas denominadas não clássicas} que s_{ão rivais ou complementares à clássica} [45].

Os c_{álculos paraconsistentes estudados nessa dissertação podem ser configurados} como rivais do c_{álculo clássico tanto pela derrogação dos princípios de não}-contradi_{ção e do} terceiro exclu_{ído, como pela definição de novos operadores para a negação.}

Um exemplo de l_{ógica complementar à clássica são as lógicas modais, que sem} necessariamente alterar a l_{ógica clássica, adicionam novos operadores como os de} necessidade e possibilidade. Outro tipo de modalidade que pode ser acrescentada a uma l_ógica é a de_{ôntica, através de operadores para obrigatoriedade, permissividade, proibição e} indiferen_{ça. Essa lógica surgiu dos estudos de G. H. Von Wright [}76 a 78].

Nada impede, portanto, a utiliza_{ção de operadores deônticos para lógicas não} -cl_{ássicas. Dessa t}arefa nos ocuparemos nesse cap_{ítulo como prosseguimento do projeto de}

No documento UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (páginas 42-85)